데카르트 수

숫자 이론에서 데카르트 숫자는 그것의 복합적인 요소들 중 하나가 소수였다면 홀수 만점이었을 홀수다. D = 3² 37²⋅11²⋅13²⋅22021 = (3⋅1001) ²⋅(22⋅1001 - 1) = 198585576189는 22021이 프라임이었다면 D의 합계함수가 충족되기 때문에 22021만이 프라임 숫자라면 홀수 만점일 것이라고 관측한 르네 데카르트의 이름을 따서 명명되었다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (D)&=(3^{2}+3+1)\cdot (7^{2}+7+1)\cdot (11^{2}+11+1)\cdot (13^{2}+13+1)\cdot (22021+1)=(13)\cdot (3\cdot 19)\cdot (7\cdot 19)\cdot (3\cdot 61)\cdot (22\cdot 1001)\\&=3^{2}\cdot 7\cdot 13\cdot 19^{2}\cdot 61\cdot (22\cdot 7\cdot 11\cdot 13)=2\cdot (3^{2}\cdot 7^{2}\cdot 11^{2}\cdot 13^{2})\cdot (19^{2}\cdot 61)=2\cdot (3^{2}\cdot 7^{2}\cdot 11^{2}\cdot 13^{2})\cdot 22021=2D,\end{aligned}}}$

여기서 우리는 22021이 복합적이라는 사실을 무시한다(22021 = 19² ⋅ 61).

데카르트 숫자는 홀수 n = m ⋅ p로 정의되며 여기서 m과 p는 동시임과 2n = σ(m) ⋅(p + 1)이며, 이때 p는 '스푸프' prime으로 한다. 주어진 예는 현재 알려진 유일한 것이다.

If m is an odd almost perfect number,^[1] that is, σ(m) = 2m − 1 and 2m − 1 is taken as a 'spoof' prime, then n = m ⋅ (2m − 1) is a Descartes number, since σ(n) = σ(m ⋅ (2m − 1)) = σ(m) ⋅ 2m = (2m − 1) ⋅ 2m = 2n. 2m - 1이 소수라면 n은 홀수 만점일 것이다.

특성.

뱅크스 외 연구진은 2008년에 n이 $[\displaystyle 3$로 나눌 수 없는 입방체 없는 데카르트 수라면 n은 백만 개 이상의 뚜렷한 소수점 이상을 가지고 있다는 것을 보여주었다.

일반화

존 보이트는 음의 지수를 허용하기 위해 데카르트 숫자를 일반화했다. 그는 $예시{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 3 ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$ 7 ${\displaystyle {}^{}{\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {11}^{}}$ 2 ${\displaystyle {19\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle 127{}^{}}$) 1 ${\$ 3$^{4}7^{2}11^{2}19^{$2}^{$2}(-127)^{1$}{1$}}$를 발견했다$.$^[2] 브리검 영 대학의 한 그룹의 후속 연구에서는 보이트의 예시와 유사한 예시들이 더 많이 발견되었다.^[2]

참고 항목

• 에르드-니콜라 수, 또 다른 유형의 거의 완벽한 수

메모들

참조

• Banks, William D.; Güloğlu, Ahmet M.; Nevans, C. Wesley; Saidak, Filip (2008). "Descartes numbers". In De Koninck, Jean-Marie; Granville, Andrew; Luca, Florian (eds.). Anatomy of integers. Based on the CRM workshop, Montreal, Canada, March 13--17, 2006. CRM Proceedings and Lecture Notes. Vol. 46. Providence, RI: American Mathematical Society. pp. 167–173. ISBN 978-0-8218-4406-9. Zbl 1186.11004.
• Klee, Victor; Wagon, Stan (1991). Old and new unsolved problems in plane geometry and number theory. The Dolciani Mathematical Expositions. Vol. 11. Washington, DC: Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-315-9. Zbl 0784.51002.