퍼머블 프라임

알파벳 primary라고도 알려진 permable prime은 주어진 base에서 어떤 permution을 통해서도 자릿수의 위치를 바꿀 수 있는 primary number이다.이러한 소수들을 처음으로 연구한 것으로 추정되는 H. E. 리히트는 그것들을 퍼머블 소수라고 불렀지만,^[1] 나중에는 절대 소수라고도 불렸다.^[2]

베이스 10에서는 49,081자리 미만의 모든 허용 가능한 프리임이 알려져 있다.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 73, 73, 97, 97, 113, 131, 199, 311, 337, 373, 733, 919111111111111111, 991, R(11111111111111111111) R(11111), R₁₉₂₃, R₃₁₇, R, R₁₀₃₁, R, R, R, OEIS의 경우...

위 중 16개의 고유 순열 세트가 있으며, 원소가 가장 작다.

2, 3, 5, 7, R₂, 13, 17, 37, 79, 113, 199, 337, R₁₉, R₂₃, R, R₃₁₇, R₁₀₃₁, ... (시퀀스 A258706 in OEIS)

참고 R_n = ${\displaystyle \frac{{10n}^{}}{}}$- ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{9}{}}$ ${\$은(는) repunit이며, 숫자는 n개(기본 10)로만 구성된다.임의의 repunit prime은 위의 정의를 가진 permable prime이지만, 어떤 정의는 적어도 두 개의 구별되는 숫자가 필요하다.^[3]

2자리 이상의 모든 허용오차는 1, 3, 7, 9자리 숫자로 구성되는데, 2자리 이외의 소수점은 짝수이고, 5자리 이외의 소수점은 5로 나눌 수 없기 때문이다.1, 3, 7, 9의 네 자리수 중 세 개의 다른 숫자를 포함하는 퍼머블 프라임이 존재하지 않으며 1, 3, 7, 9에서 선택한 두 자리 각각 두 자리 수로 구성된 퍼머블 프라임이 존재하지 않는다는 것이 증명되었다^[4].

3 < n < 6·10¹⁷⁵>에는 리플유닛이 아닌 n자리 허용 가능한 프라임이 없다.^[1]위에 열거한 것 외에 비단위 허용오차가 없는 것은 없을 것으로 추측된다.

베이스 2에서는 리퍼니트만 허용 가능한 프리타임으로 할 수 있는데, 그 이유는 0에 해당하는 리퍼니트는 짝수가 되기 때문이다.따라서, 기본 2의 허용 가능한 프리타임은 메르센 프리타임이다.어떤 위치 번호 시스템의 경우, 두 자리 이상의 허용 가능한 프리타임은 숫자 시스템의 라디스와 일치하는 숫자만 가질 수 있도록 일반화할 수 있다.한 자릿수 프리마임은 라딕스 아래의 모든 프라임을 의미하며, 항상 사소한 것으로 허용된다.

베이스 12에서는 9,739자리 미만의 순열 가능한 프리임의 고유 순열 집합 중 가장 작은 요소가 알려져 있다(각각 10과 11의 경우 반전 2와 3을 사용).

2, 3, 5, 7, ɛ, R₂, 15, 57, 5ɛ, R₃, 117, 11ɛ, 555ɛ, R₅, R₁₇, R₈₁, R₉₁, R₂₂₅, R₂₅₅, R, R, R, R_4ᘔ5, R, R, R, R, R, R, R, ...

4 < n < 12의¹⁴⁴ 베이스 12에는 재유닛이 아닌 n자리 허용 가능한 프라임이 없다.베이스 12에는 위에 열거한 것 외에 비단위 허용오차가 없을 것으로 추측된다.

베이스 10과 베이스 12에서, 모든 퍼머블 프라임은 리퍼 단위 또는 거의 리퍼지트에 가까운 숫자, 즉, 정수 P(b, n, x, y) = xxxxx의 퍼머레이션이다...xxxy_b(n 자리수, base b) 여기서 x와 y는 b와 같은 숫자다.게다가 x, y가 되어야 한다 또한coprime(이후다면 유력한 p, 둘 다 x와 y을 나누는 데가 있다면 p도 나누), 만약 x)y, 다음 돌아선 y=1.(이것은 진실의 모든 기지지만 예외 없는 것일 수도 있골 유한으로 어떤 주어진 기반했던 유일한 예외 아래 109에 기지까지 20이다:13911, 36A11, 24713, 78A13, 29E19(M.Fiorentini, 2.015)

P(b, n, x, y)를 base의 permable prime으로 하고 p를 n p p와 같이 p를 p의 원시근으로 하고, p가 x 또는 x - y를 나누지 않으면 n은 p - 1의 배수다.(b는 원시근원모드 p이고 p는 x - y를 나누지 않기 때문에 p xxxxxxxx...xxxy, xxxx...xxxx, xxxxx...xyxx, ..., xxxxx...xyxx...xxxxx(b자리만^p−2 y이고, 나머지는 모두 xxx), xxxxx...yxxx...xxxx(b자리만^p−1 y이고, 다른 자리는 모두 xxx), xxxxx...xxxx(n xs가 있는 숫자) mod p는 모두 다르다.즉, 하나는 0, 다른 하나는 1, 다른 하나는 2, ..., 다른 하나는 p - 1이다.따라서 첫 번째 p - 1 숫자는 모두 소수이기 때문에 마지막 숫자(n xs가 있는 숫자)는 p로 구분해야 한다.p는 x를 나누지 않으므로 p는 repunit을 n 1s로 나누어야 한다.b는 원시 뿌리모드 p이기 때문에 n mod p의 승수 순서는 p - 1이다.따라서 n은 p - 1)로 구분되어야 한다.

따라서 b = 10이면 10까지의 자릿수는 {1, 3, 7, 9}이다.10은 원시 루트모드 7이므로 n ≥ 7이면 7이 x를 나눈다(이 경우 x = 7, x ∈ {1, 3, 7, 9 이후 x ∈ {1, 7, 9}). 또는 x - y(이 경우 x = y = 1, x { {1, 3, 7, 9} 이후 x = 1, y since {1, 7, 9}).즉, 프라임은 repunit) 또는 n은 7 - 1 = 6의 배수인 것이다. 마찬가지로 10은 원시적인 뿌리모드 17이기 때문에 n 17 17이면 17은 x를 나눈다(이 경우 x 9 {1, 3, 7, 9} 이후, x = y = 1, x, y 1 {1, 3, 7, 9}).즉, prime은 repunit) 또는 n은 17 - 1 = 16의 배수다.Besides, 10 is also a primitive root mod 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, ..., so n ≥ 17 is very impossible (since for this primes p, if n ≥ p, then n is divisible by p − 1), and if 7 ≤ n < 17, then x = 7, or n is divisible by 6 (the only possible n is 12).b = 12일 경우 12에 해당하는 자릿수는 {1, 5, 7, 11}이다.Since 12 is a primitive root mod 5, so if n ≥ 5, then either 5 divides x (in this case, x = 5, since x ∈ {1, 5, 7, 11}) or x − y (in this case, either x = y = 1 (That is, the prime is a repunit) or x = 1, y = 11 or x = 11, y = 1, since x, y ∈ {1, 5, 7, 11}.) or n is a multiple of 5 − 1 = 4. Similarly, since 12 is a primitive root mod 7, so if n≥ 7, 그 다음, 7이 x를 나누거나(이 경우 x = 7, x ∈ {1, 5, 7, 11} 이후) x - y(이 경우 x = y = 1, x, y ∈ {1, 5, 7, 11}).즉, 프라임은 repunit) 또는 n은 7 - 1 = 6의 배수인 것이다. 마찬가지로 12는 원시적 루트모드 17이기 때문에 n 17 17이면 17은 x를 나눈다(이 경우 x 11 {1, 5, 7, 11} 이후, x = y = 1, x y {1, 5, 7, 11}).즉, prime은 repunit) 또는 n은 17 - 1 = 16의 배수다.모드 족인지 조차 31일 41,43,53,67,101,103,113,127,137,139,149,151,163,173,197, 외에도 12또한 원시적인 뿌리..., 그렇게 n≥ 17은 매우 불가능한(만약 n≥ p이후 이 primes p에, np에 의해 1− 나누어 진다), 그리고 만약 7≤ n<>17,=7(이 경우에, 5이후 또는−이 어두워져서 x, 그래서 n4로 나누어야 한다 x로 나누지 않는다)또는 n으로 나누어 떨어진다 x.6(가능한 유일한 n은 12이다.)

참조