폴리분할수

이 글은 검증을 위해 인용구가 추가로 필요하다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. 공급되지 않은 재료는 도전하여 제거할 수 있다. 출처 찾기: "Polydivate number" – 뉴스 · 신문 · 책 · 학자 · JSTOR (2018년 10월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 학습)

수학에서 polydival number (또는 magic number)는 abcde 숫자를 가진 주어진 숫자 베이스의 숫자다... 다음과 같은 속성을 가진 경우:^[1]

1. 그것의 첫 번째 자릿수 a는 0이 아니다.
2. 처음 두 자리 수 ab으로 형성된 숫자는 2의 배수다.
3. 처음 3자리 abc로 형성된 숫자는 3의 배수다.
4. 첫 4자리 abcd로 형성된 숫자는 4의 배수다.
5. 등

정의

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$을(를) 양의 정수로 하고$$, $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle \lfloor }$ ${\displaystyle 로그}$ b ${\displaystyle \mathrm{b}{}_{}}$n${\displaystyle \rfloor }$ + 1 ${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +$1}을$($를) 기본 b에 기록한 n의 자릿수로 한다$$. 숫자 n은 모든${\displaystyle }1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle i}$ i${\displaystyle k}$k {\$displaystyle$1\$leq$i\$leq$ k$}$에 대해 polydival number이다$.$

${\displaystyle \lfloor n\frac{}{}}$ b ${\displaystyle \frac{k^{}}{}}$- ${\displaystyle \mathrm{i}}$ ${\displaystyle \equiv }$ 0${\displaystyle }$(${\displaystyle mod}$ i${\displaystyle }$) ${\$ 0${\pmod {i$

예

예를 들어, 10801은 베이스 4에서 7자리 폴리분할 수 없는 숫자로서 다음과 같다.

${\displaystyle \left\lpmod{10801}{4^{7-1}\오른쪽\floor =\왼쪽\lfloor {10801}{4096}}\오른쪽\floor =2\equiv 0{\pmod{1},},}$

${\displaystyle \left\lpmod{10801}{4^{7-2}}\오른쪽\lploor =\lfloor {1024}}\frac {10801}{1024}\오른쪽\floor =10\equiv 0{\pmod{2}},},}$

${\displaystyle \left\lpmod {\frac {10801}{4^{7-3}}\right\floor =\frac {10801}{256}\right\pmod{3},}$

${\displaystyle \left\lpmod{10801}{4^{7-4}}\right\floor =\frac {10801}{64}\right\pmod{4},}$

${\displaystyle \left\lfloor {10801}{4^{7-5}}\right\floor =\frac {10801}{16}\right\floor =675\equiv 0{\pmod {5},}$

${\displaystyle \left\lfloor {10801}{4^{7-6}}\right\floor =2700\pmod {6}}$

${\displaystyle \left\lfloor {10801}{4^{7-7}}\right\loor =\lfloor {10801}{1}\right\pmod {7}}.}$

열거

$주어진{\displaystyle }$ b ${\displaystyle b}$에 대해$,$ 한정된 수의 polydival number만 있다.

최대 polydival 수

아래 표에는 일부 베이스 b에 대해 분할할 수 있는 최대 수의 polydival 번호가 나열되어 있으며, 여기서 A-Z는 10에서 35까지의 자릿수 값을 나타낸다.

$F$ ${\displaystyle b_{}}$( ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle F_{b}(n)}$ 및 $\sigma {\displaystyle \mathrm{}(b)}$ ${\displaystyle \Sigma (b)}$에 대한 추정치

기본 10 $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {10}_{}}$( n${\displaystyle }$) ${\displaystyle F_{10}(n)}$에서 n$${\$displaystyle n}$ - 자릿수의$$ polydival 숫자를 나타내는 그래프와 $추정치{\displaystyle {}_{}}$ F ${\displaystyle {10}_{}n)}$ ${\displaystystyle F_{10}(n)$의 그래프

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$을(를) 자릿수로 한다$$. $F{\displaystyle {}_{}n}$) ${\displaystyle F_{b}(n)}$ 함수는 $기본{\displaystyle }$ b ${\displaystyle b$에 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$자리$$ 수를 결정하고$$, $)$ 함수는 기본$$ $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\Sigma$$($$b$$)$에 있는 총 다중 분할 번호 수입니다.

$k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k$$}$이(가) ${\displaystyle \mathrm{n}}$- 1 ${\displaystyle n-1$$}$자리의$$$$ $b{\displaystyle }$ ${\$displaystyle $bk$}에서 polydival n$}$$자리$의 숫자인 경우 b {\$displaystyle$ $bk$$}$과$(k+1)-1자$ 사이의 숫자인 ${\displaystyle \mathrm{경우}}$ 확장하여 n ${\$$displaysty$ $n$을 생성할 수 있다. $n{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle n}$이$($가$)$ $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$보다$$작거나$$ 같으면 항상${\displaystyle }n{\displaystyle }$ - ${\displaystyle 1}${\$displaystyle n-1}$자리$$ polydival 숫자를 이런 $방식$으로$$n {\$displaystyle n}$자리$$ polydival 번호로 확장할 수 있으며, 실제로 두 개 이상의 가능성이 있을 수 있다.e 내선 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이$($가) $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$보다 크면 항상 이러한 방식으로 다분할 수 있는 숫자를 확장할 수 있는 것은 아니며, $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이(가) 커질수록$$ 주어진 다분할 수 있는 숫자를 확장할 수 있는 가능성은 작아진다. 평균적으로 $n{\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\$$displaystyle n-1}$자리의$$ 각 polydival 숫자를 b {\$displaystyle$ n$}$자리의 polydival 번호로 b {\$displaystyle$ ${b}{n$}}} $다른$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{방법}}{}}$으로 확장할 수 있다$.$ 이에 $따라{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle F_{}}$b (${\displaystyle }$n ) ${\displaystyle F_{b}(n)}$에 대한 다음 추정치가 도출된다$.$

${\displaystyle F_{b}(n)\reason (b-1){\frac {b^{n-1}{n!}}.}$

n의 모든 값을 종합하면, 이 추정치는 분할할 수 있는 총 숫자의 수가 대략적으로 될 것임을 시사한다.

${\displaystyle \Sigma (b)\약간 {\frac {b-1}{b}}}(e^{b}-1)}$

$기준{\displaystyle }$ b ${\displaystyle b}$	${\displaystyle \Sigma (b)}$	${\displaystyle \mathrm{Est}}$. of${$(b ) {\$displaystyle$\Sigma ($b)}$	백분율 오류
2	2	${\displaystyle {\frac {e^{2}-1}{2}}\약 3.15}$	59.7%
3	15	${\displaystyle {\frac {2}{3}}(e^{3}-1)\약 12.725}$	-15.1%
4	37	${\displaystyle {\frac {3}{4}{4}(e^{4}-1)\약 40.199}$	8.64%
5	127	${\displaystyle {\frac {4}{5}{5}(e^{5}-1)\ 약 117.93}$	−7.14%
10	20456[2]	${\displaystyle {\frac {9}{10}}(e^{10}-1)\약 19823}$	-3.09%

구체적인 근거

모든 숫자는 10에서 35까지의 자릿수 값을 나타내기 위해 A-Z를 사용하여$$$베이스{\displaystyle }$ b ${\displaystyle b}$에 표시된다.

베이스 2

베이스 3

길이 n	F3(n)	에스트3 오브 F(n)	분리할 수 있는 수
1	2	2	1, 2
2	3	3	11, 20, 22
3	3	3	110, 200, 220
4	3	2	1100, 2002, 2200
5	2	1	11002, 20022
6	2	1	110020, 200220
7	0	0	${\displaystyle \varnothing}$

베이스 4

길이 n	F4(n)	에스트4 오브 F(n)	분리할 수 있는 수
1	3	3	1, 2, 3
2	6	6	10, 12, 20, 22, 30, 32
3	8	8	102, 120, 123, 201, 222, 300, 303, 321
4	8	8	1020, 1200, 1230, 2010, 2220, 3000, 3030, 3210
5	7	6	10202, 12001, 12303, 20102, 22203, 30002, 32103
6	4	4	120012, 123030, 222030, 321030
7	1	2	2220301
8	0	1	${\displaystyle \varnothing}$

베이스 5

base 5에서 polydiv 숫자들은

1, 2, 3, 4, 11, 13, 20, 22, 24, 31, 33, 40, 42, 44, 110, 113, 132, 201, 204, 220, 223, 242, 311, 314, 330, 333, 402, 421, 424, 440, 443, 1102, 1133, 1322, 2011, 2042, 2200, 2204, 2231, 2420, 2424, 3113, 3140, 3144, 3302, 3333, 4022, 4211, 4242, 4400, 4404, 4431, 11020, 11330, 13220, 20110, 20420, 22000, 22040, 22310, 24200, 24240, 31130, 31400, 31440, 33020, 33330, 40220, 42110, 42420, 44000, 44040, 44310, 110204, 113300, 132204, 201102, 204204, 220000, 220402, 223102, 242000, 242402, 311300, 314000, 314402, 330204, 333300, 402204, 421102, 424204, 440000, 440402, 443102, 1133000, 1322043, 2011021, 2042040, 2204020, 2420003, 2424024, 3113002, 3140000, 3144021, 4022042, 4211020, 4431024, 11330000, 13220431, 20110211, 20420404, 24200031, 31400004, 31440211, 40220422, 42110202, 44310242, 132204314, 201102110, 242000311, 314000044, 402204220, 443102421, 1322043140, 2011021100, 3140000440, 4022042200

가장 작은 base 5 polydival n자리 수는

1, 11, 110, 1102, 11020, 110204, 1133000, 11330000, 132204314, 1322043140, 없음...

가장 큰 베이스 5 polydival n자리 수는

4, 443, 4433, 4431, 443102, 443102, 4431024, 44310242, 44310242, 443102421, 4022042200, 없음...

기본 5 polydival n자리의 수는

4, 10, 17, 21, 21, 21, 13, 10, 6, 4, 0, 0, 0...

베이스 10

base 10의 polydiv 숫자들은

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98, 102, 105, 108, 120, 123, 126, 129, 141, 144, 147, 162, 165, 168, 180, 183, 186, 189, ... (sequence A144688 in the OEIS)

가장 작은 base 10 polydival n자리 수는

1, 10, 102, 1020, 10200, 102000, 1020005, 10200056, 102000564, 1020005640, 10200056405, 102006162060, 1020061620604, 10200616206046, 102006162060465, 1020061620604656, 10200616206046568, 108054801036000018, 1080548010360000180, 10805480103600001800, ... (sequence A214437 in the OEIS)

가장 큰 베이스 10 polydival n자리 수는

9, 98, 987, 9876, 98765, 987654, 9876545, 98765456, 987654564, 9876545640, 98765456405, 987606963096, 9876069630960, 98760696309604, 987606963096045, 9876062430364208, 98485872309636009, 984450645096105672, 9812523240364656789, 96685896604836004260, ... (sequence A225608 in the OEIS)

기본 10 polydival n자리의 수는 다음과 같다.

9, 45, 150, 375, 750, 1200, 1713, 2227, 2492, 2492, 2225, 2041, 1575, 1132, 770, 571, 335, 180, 90, 44, 18, 12, 6, 3, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ... (sequence A143671 in the OEIS)

프로그래밍 예제

아래 예제는 Python에서 polydival number를 검색한다.

d, e, f find_sivdivate.(밑의: 인트로) -> 리스트[인트로]:     """"다분할 수 없는 숫자를 찾아라."""     숫자 = []     이전의 = []     을 위해 i 에 범위(1, 밑의):         이전의.덧셈을(i)     새로운 = []     숫자 = 2     하는 동안에 아닌 이전의 == []:         숫자.덧셈을(이전의)         을 위해 i 에 범위(0, 렌(이전의)):             을 위해 j 에 범위(0, 밑의):                 번호를 붙이다 = 이전의[i] * 밑의 + j                 만일 번호를 붙이다 % 숫자 == 0:                     새로운.덧셈을(번호를 붙이다)         이전의 = 새로운         새로운 = []         숫자 = 숫자 + 1     돌아오다 숫자 

관련 문제

분리할 수 없는 숫자는 오락성 수학에서 다음과 같이 잘 알려진^[2] 문제의 일반화를 나타낸다.

1부터 9까지의 숫자를 순서대로 배열하여 처음 두 자리가 2의 배수를 이루고, 처음 세 자리가 3의 배수를 이루며, 처음 네 자리가 4 등의 배수를 이루도록 하고, 마지막으로 전체 숫자가 9의 배수를 이루도록 한다.

문제의 해결책은 9자리 폴리분할 수 있는 숫자로, 1자리부터 9자리까지 정확히 한 자리씩 포함한다는 추가 조건이 붙었다. 9자리 폴리분할 수 있는 숫자가 2,492개 있지만, 그 추가 조건을 만족시키는 것은 오직 하나뿐이다.

381 654 729^[6]

폴리 구분할 수 없는 숫자와 관련된 다른 문제에는 다음이 포함된다.

• 숫자에 대한 추가 제한과 함께 polydival 숫자를 찾는 것 - 예를 들어 짝수 숫자만 사용하는 가장 긴 polydival 숫자는

48 000 688 208 466 084 040

• Palindromic polydival number 찾기 - 예를 들어, 가장 긴 Palindromic polydival number는

30 000 600 003

• 앞서 말한 예시의 공통적이고 사소한 확장으로는 0에서 9까지의 숫자를 배열하여 같은 방법으로 10자리 숫자를 만들면 결과는 3816547290이다. 이것은 판디지탈 폴리분할 수 없는 숫자다.

참조

외부 링크

• YouTube - polydival(다중 분할)도 가능한 유행수