정사각형(대수)

Square (algebra)
5⁄5 또는2 5(5의 제곱)는 정사각형을 사용하여 그래픽으로 표시할 수 있습니다.각 블록은 1단위, 1⁄1을 나타내며, 정사각형 전체는 5⁄5 즉 정사각형의 면적을 나타냅니다.

수학에서, 정사각형숫자 자체를 곱한 결과이다.동사 "to square"는 이 연산을 나타내기 위해 사용됩니다.제곱은 제곱 2같으며, 윗첨자 2로 표시됩니다. 예를 들어 3의 제곱은 숫자 9인 3으로2 쓸 수 있습니다.예를 들어 프로그래밍 언어나 일반 텍스트파일 등 슈퍼스크립트를 사용할 수 없는 경우에는 를 대신하여 표기(caret) 또는 를 사용할 수 있습니다.제곱에 해당하는 형용사는 2차이다.

정수의 제곱은 제곱수 또는 완전제곱수라고도 불립니다.대수학에서, 제곱의 연산은 종종 다항식, 다른 , 또는 숫자와는 다른 수학적 값의 시스템으로 일반화된다.예를 들어, 선형 다항식 x + 1의 제곱은 2차 다항식(x + 21) = x2 + 2x + 1입니다.

숫자와 다른 많은 수학 체계에서 제곱의 중요한 특성 중 하나는 (모든 숫자 x에 대해) x의 제곱은 덧셈-x의 제곱과 동일하다는 것이다.즉, 제곱 함수는 항등식2 x =(-x)2을 만족합니다.이는 제곱함수가 짝수함수라는 말로도 표현할 수 있다.

실수로

제곱 함수 y = x2 그래프는 포물선입니다.

제곱 연산은 제곱 함수 또는 제곱 함수라고 불리는 실제 함수를 정의합니다.그것의 영역은 실선 전체이며, 그것의 이미지는 음이 아닌 실수의 집합이다.

제곱 함수는 양수의 순서를 유지합니다. 즉, 숫자가 클수록 제곱이 커집니다.즉, 제곱은 구간 [0,]에 대한 단조 함수입니다.음수에서는 절대값이 큰 숫자가 더 큰 제곱을 가지므로 제곱은 (-∞,0)에서 단조롭게 감소하는 함수입니다.따라서 0은 제곱 함수의 (글로벌) 최소값입니다.숫자 x 의 제곱2 x 는, 0 < x < 1경우, 즉 x 가 오픈 간격(0, 1) 에 속하는 경우에만 x 보다2 작습니다.이는 정수의 제곱이 원래 숫자 x보다 작지 않음을 의미합니다.

모든 양의 실수는 정확히 두 개의 숫자의 제곱으로, 하나는 엄밀하게 양의 숫자이고 다른 하나는 엄밀하게 음의 숫자입니다.0은 숫자 한 개만의 제곱이다.이 때문에, 음이 아닌 실수에 대응하는 제곱근 함수를 정의할 수 있다.

모든 실수의 제곱근은 음수가 아니기 때문에 실수의 체계 내에서 음수의 제곱근을 취할 수 없습니다.음수에 대한 실수 제곱근의 부족은 -1의 제곱근 중 하나인 가상 단위 i를 가정함으로써 실수 체계를 복소수로 확장하는데 사용될 수 있다.

"모든 음이 아닌 실수는 정사각형"이라는 속성은 모든 음이 아닌 요소가 정사각형이고 홀수 차수의 모든 다항식이 루트를 가지도록 순서 있는 필드인 실제 닫힌 필드의 개념으로 일반화되었습니다.실수의 닫힌 필드는 대수적 특성에 의해 실수의 장과 구별될 수 없다: 실수의 모든 속성은 1차 논리로 표현될 수 있다. (that 또는 of로 양자화된 변수가 집합이 아닌 요소를 나타내는 공식에 의해 표현되는) 실수의 모든 속성은 모든 닫힌 필드에 대해 참이다.1차 논리의 모든 성질은, 특정의 실폐장에 대해서 참이며, 실수에 대해서도 참이다.

기하학에서

기하학에서 제곱 함수는 주로 몇 가지 용도로 사용됩니다.

제곱함수의 이름은 면적의 정의에서 그 중요성을 나타냅니다. 즉, 길이가 l인 정사각형의 면적이 l과 같다는2 사실에서 유래합니다.면적은 크기에 따라 2차적으로 달라집니다. 즉, 도형의 면적이 n배 더 큽니다2.이것은 평면뿐만 아니라 3차원 영역에도 적용됩니다. 예를 들어, 의 표면적은 반지름의 제곱에 비례합니다. 이 사실은 중력과 같은 물리적인 힘의 강도가 거리에 따라 어떻게 변화하는지를 설명하는 역제곱 법칙에 의해 물리적으로 나타납니다.

플레넬의 구역 플레이트에는 중심까지의 거리 제곱이 동일한 링이 있습니다.

제곱 함수는 피타고라스 정리 및 그 일반화인 평행사변형 법칙을 통한 거리와 관련이 있다.유클리드 거리매끄러운 함수가 아니다: 고정된 점으로부터의 거리에 대한 3차원 그래프는 원뿔을 형성하고 원뿔의 끝에는 평활하지 않은 점이 있다.단, 포물선을 그래프로 하는 거리의 제곱(d2 또는 r로 표시2)은 매끄럽고 해석적인 함수이다.

유클리드 벡터의 점곱은 그 길이의 제곱과 같다: vµv = v2.이는 내부 곱을 통해 선형 공간2차 형식으로 더욱 일반화된다.역학관성 텐서는 2차 형식의 한 예이다.이 값은 크기(길이)에 대한 관성 모멘트의 2차 관계를 나타냅니다.

피타고라스에는 세 개의 양의 정수 집합인 무한히 많은 세 개의 피타고라스의 세 배가 있습니다. 그래서 처음 두 개의 제곱합은 세 번째의 제곱합과 같습니다.이 세 배 각각은 직각 삼각형의 정수 변을 나타낸다.

추상대수와 수론에서

제곱 함수는 모든 필드 또는 에서 정의됩니다.이 함수의 화상의 요소를 정사각형이라고 하고, 정사각형의 역상을 정사각근이라고 한다.

제곱의 개념은 홀수 소수 p의 모듈로 이루어진 유한 필드 Z/pZ에서 특히 중요합니다.이 필드의 0이 아닌 원소는 Z/pZ 단위의 제곱이면 2차 잔차라고 하고, 그렇지 않으면 2차 비잔차라고 합니다.0은 정사각형이지만 2차 잔차로 간주되지 않습니다.이 유형의 모든 유한 필드는 정확히 (p - 1)/2차 잔기와 정확히 (p - 1)/2차 비잔기를 가집니다.2차 잔기는 곱셈 아래 을 형성한다.2차 잔기의 특성은 수 이론에서 널리 사용된다.

보다 일반적으로 링에서는 제곱 함수가 링 분류에 사용되는 특성이 다를 수 있습니다.

0은 0이 아닌 일부 요소의 제곱일 수 있습니다.0이 아닌 원소의 제곱이 결코 0이 되지 않는 교환환환원환이라고 한다.보다 일반적으로, 교환환에서, 급진적 아이디얼은 x I( xI)가 xI(\ xI하도록 아이디얼 I이다. 힐베르트의 늘스텔라츠에 의해 대수기하학에서 두 개념 모두 중요하다.

자신의 제곱과 같은 고리의 원소를 등가원소라고 합니다.어느 링에서도 0과 1은 idempotents입니다.필드에는 다른 idempotent가 없으며 일반적으로 통합 도메인에는 없습니다.그러나 정수 모듈n의 링은 2개의 아이덴포텐트를 가지며k, 여기서 k는 n구별되는 소수 인자의 수입니다.모든 원소가 제곱과 동일한 교환환(모든 원소는 등가)을 부울링이라고 합니다.컴퓨터 과학의 예로는 원소가 이진수이고 곱셈 연산으로서 비트 AND, 가산 연산으로서 비트 XOR가 있는 링이 있습니다.

완전 순서 링에서는 임의2 x에 대해 x 0 0입니다.또한 x = 0경우에만 x2 = 0입니다.

2가 가역인 초가환대수에서 홀수 원소의 제곱은 0이 됩니다.

A가 가환 반군경우, 다음과 같이 된다.

2차 형식의 언어에서, 이 등식은 제곱 함수가 "구성을 허용하는 형태"라고 말한다.사실, 제곱 함수는 구성을 허용하는 다른 2차 형식을 구성하는 기초입니다. 과정은 L. E. 딕슨에 의해 도입되어 4분의 1에서 2배로 옥토니언을 생산했습니다.더블링 방식은 A에 의해 공식화되었습니다. A. 실수장 δ와 제곱함수로 시작한 앨버트는 이를 2배로 하여 2차 형식2 x+y2 복소수장을 얻은 후 다시 2배로 하여 4분의 1을 구한다.이중화 절차는 케일리-딕슨 구조라고 불리며, 진동이 있는 필드 F 위에 차원n 2의 대수를 형성하도록 일반화되었습니다.

제곱 함수2 z는 합성 대수 δ의 "정규"이며, 여기서 항등 함수는 이중플렉스, 비쿼터니온 및 바이오크톤 합성 대수로 이어지는 케일리-딕슨 구성을 시작하기 위한 간단한 혁명을 형성한다.

실수에 대한 복소수 및 관련 대수

일반 복소수 제곱함수2 z는 복소 평면의 이중 덮개이며, 0이 아닌 복소수 각각은 정확히 두 개의 제곱근을 가진다.이 지도는 포물선 좌표와 관련이 있습니다.

복소수의 절대 제곱복소 [1][2][3][4][5][6][7][8]켤레를 포함하는 z 입니다*.이는 복소수 계수(크기 또는 절대값)의 실값 제곱 z를 따서 계수 제곱 또는 진폭 제곱이라고도 한다. 이는 복소수의 실수와 허수인 z 2 2 () + () ( \ z { 2} = 2 (z ) }^{ } 2 ( ) }^{{displaystyparchydismathfrate mathfrak rak {R} 2 }^2 }^2 }^2 (z 노름 제곱으로서 복소수 벡터로 일반화 할 수 있다.

제곱 계수는 푸리에 변환파워 스펙트럼을 관련짓기 위해 신호 처리에서 적용되며, 양자 역학에서도 확률 진폭과 확률 밀도를 관련짓습니다.

기타 용도

제곱은 대수학에서, 보다 일반적으로, 수학의 거의 모든 분야에서, 그리고 많은 단위제곱과 역제곱을 사용하여 정의되는 물리학에서도 흔합니다: 아래를 참조하십시오.

최소 제곱은 과도하게 결정된 시스템에서 사용되는 표준 방법입니다.

제곱은 통계 및 확률 이론에서 일련의 값 또는 랜덤 변수의 표준 편차를 결정할 때 사용됩니다.각 값 x의 평균 {로부터의i 편차는 - x{\({로 정의됩니다.이러한 편차는 제곱된 다음 새 숫자 집합(각각 양수)의 평균을 취합니다.이 평균은 분산이고 제곱근은 표준 편차입니다.금융에서 금융상품의 변동성은 금융상품의 가치의 표준편차이다.

「 」를 참조해 주세요.

관련 아이덴티티

대수적(가환환 필요)
다른.

관련 물리 수량

각주

  1. ^ Weisstein, Eric W. "Absolute Square". mathworld.wolfram.com.
  2. ^ Moore, Thomas (January 9, 2003). Six Ideas That Shaped Physics: Unit Q - Particles Behaves Like Waves. McGraw-Hill Education. ISBN 9780072397130 – via Google Books.
  3. ^ Blanpied, William A. (September 4, 1969). Physics: Its Structure and Evolution. Blaisdell Publishing Company. ISBN 9780471000341 – via Google Books.
  4. ^ Greiner, Walter (December 6, 2012). Quantum Mechanics: An Introduction. Springer Science & Business Media. ISBN 9783642579745 – via Google Books.
  5. ^ Burkhardt, Charles E.; Leventhal, Jacob J. (December 15, 2008). Foundations of Quantum Physics. Springer Science & Business Media. ISBN 9780387776521 – via Google Books.
  6. ^ Senese, Fred (August 24, 2018). Symbolic Mathematics for Chemists: A Guide for Maxima Users. John Wiley & Sons. ISBN 9781119273233 – via Google Books.
  7. ^ Steiner, Mark (June 30, 2009). The Applicability of Mathematics as a Philosophical Problem. Harvard University Press. ISBN 9780674043985 – via Google Books.
  8. ^ Maudlin, Tim (March 19, 2019). Philosophy of Physics: Quantum Theory. Princeton University Press. ISBN 9780691183527 – via Google Books.

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