팔면수

수 이론에서 팔면수는 밀집된 구에서 형성된 팔면체의 구 수를 나타내는 형상의 수이다.n번째 팔면수 ${\displaystyle {On}_{}}$ ${\$는 다음 공식으로 구할 수 있다$$.^[1]

${\displaystyle O_{n}={n(2n^{2}+1) \over 3}.}$

처음 몇 개의 팔면 숫자는 다음과 같다.

1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489, 670, 891(OEIS에서 연속 A005900).

속성 및 응용 프로그램

팔면수에는 생성함수가 있다.

${\displaystyle {\frac {z(z+1)^{2}}:{{{}}^{4}}=\sum _{n=1}^{n_{n}z^{n}}=z+6z^{2}+19z^{3}+\cdots .}}$

프레데릭 폴록 경은 1850년에 모든 양의 정수는 최대 7개의 팔면수들의 합이라고 추측했다.^[2]이 진술, 즉 폴록 옥타헤드럴 수 추측은 거의 모든 숫자에 대해 사실임이 증명되었다.^[3]

화학에서, 팔면수는 팔면 군집의 원자의 수를 설명하기 위해 사용될 수 있다. 이러한 맥락에서 그것들은 마법의 숫자라고 불린다.^[4][5]

다른 조형 수와의 관계

사각 피라미드

구들의 팔면포장은 정사각형 단면을 따라 그것을 분할함으로써 다른 하나의 아래 거꾸로 된 두 개의 정사각형 피라미드로 분할될 수 있다.따라서 n번째 팔면수 ${\displaystyle {On}_{}}$ ${\$는 두 개의 연속된 사각 피라미드 숫자를 함께 추가하여 얻을 수 있다$$.^[1]

${\displaystyle O_{n}=P_{n-1}+P_{n}.}$

테트라헤드라속

${\displaystyle {On}_{}}$ ${\$이 n번째 팔면수이고 $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$이 n번째 사면수인 경우

${\displaystyle O_{n}+4T_{n-1}=T_{2n-1}.}$

이것은 팔면체의 네 개의 비인접면 각각에 사면체를 붙이면 크기가 두 배나 되는 사면체를 만든다는 기하학적 사실을 나타낸다.

팔면수와 사면수 사이의 다른 관계도 가능하다. 팔면수는 각각 두 개의 인접한 원래 면을 가진 네 개의 사면체(또는 대안으로 각 사각 피라미드 수가 두 개의 사면체 숫자의 합이라는 사실에 기초하여)로 나눌 수 있다.

${\displaystyle O_{n}=T_{n}+2T_{n-1}+T_{n-2}.}$

큐브

팔면체의 반대 면에 사면체 두 개가 붙어 있으면 그 결과는 횡면체(Rhombohedron이다.^[6]심보헤드론에서 촘촘히 포장된 구의 수는 입방체로서 방정식을 정당화한다.

${\displaystyle O_{n}+2T_{n-1}=n^{3}.}$

중심 정사각형

연속된 두 팔면수 사이의 차이는 중심 정사각형 수이다.^[1]

${\displaystyle O_{n}-O_{n-1}=C_{4,n}=n^{2}+(n-1)^{2}}$

따라서, 팔면수는 또한 중심 정사각형을 쌓아서 형성된 사각 피라미드의 점의 수를 나타낸다. 이러한 이유로 프란체스코 마우로리코는 그의 저서 Mathalorum libri 듀오 (1575년)에서 이 숫자들을 "피라미데스 사분오열 세컨대"라고 불렀다.^[7]

중심 정사각형을 쌓아서 형성된 팔면체의 정육면체 수는 중심 팔면체 수로서, 두 연속 팔면수를 합한 것이다.이 숫자들은

1, 7, 7, 25, 63, 129, 231, 371, 575, 833, 1159, 1561, 2047, 2625, ... (OEIS에서 연속 A001845)

공식으로 주어지는

${\$$$$}}}$에 대해 n = 1, 2, 3, ...

역사

팔면수에 대한 첫 번째 연구는 1630년경 레네 데카르트가 그의 드솔로룸 원소에서 한 것으로 보인다.데카르트 이전에는 고대 그리스인과 요한 파울하버에 의해 구상적인 숫자들이 연구되었지만, 폴리곤 수, 피라미드 수, 큐브에 대해서만 연구되었다.데카르트는 플라토닉 고형물과 반정형 다면체의 일부에 기초한 구상적 숫자의 연구를 소개했다. 그의 연구는 팔면수를 포함했다.그러나, De solidorum 원소는 분실되었고, 1860년까지 재발견되지 않았다.그 사이 1774년 프리드리히 빌헬름 마르푸르, 1808년 게오르크 시몬 클뤼겔, 1850년 프레데릭 폴록 경 등 다른 수학자들이 다시 팔면수를 연구해 왔다.^[8]

참조

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Octahedral Number". MathWorld.