우달수

수 이론에서, 우달 수(W_n)는 형태의 자연적인 수이다.

W_{n}=n\cdot 2^{n}-1

어떤 자연적인 숫자 n에 대해서. 처음 몇 개의 Woodall 숫자는 다음과 같다.

1, 7, 23, 63, 159, 383, 895, … (OEIS의 순서 A003261).

역사

우달 번호는 1917년 앨런 C. 커닝햄과 H. J. 우달에 의해 처음 연구되었는데,^[1] 이는 제임스 컬런이 이전에 이와 유사하게 정의한 컬런 숫자에 대한 연구에서 영감을 받은 것이다.

우달 프라임

수학의 미해결 문제:

우달 프라임이 무한히 많은가?

(수학에서 더 풀리지 않은 문제)

Woodall numbers that are also prime numbers are called Woodall primes; the first few exponents n for which the corresponding Woodall numbers W_n are prime are 2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, ... (sequence A002234 in the OEIS); the Woodall primes themselves begin with 7, 23, 383, 32212254719, ... (sequence A050918 in the OEIS).

1976년에 크리스토퍼 훌리는 거의 모든 컬렌 수치가 복합적이라는 것을 보여주었다.^[2] 1995년 10월, 윌프레드 켈러는 몇 개의 새로운 컬런 프라임과 다른 컬런과 우달의 숫자를 고려하기 위한 노력을 논하는 논문을 발표했다. 그 논문에는 수야마 히로미로부터 켈러에 대한 개인적인 의사소통이 포함되어 있는데, 후레이의 방법은, a와 b가 정수인 n $\cdot2 n + a + b$ 의 어떤 순서에 대해서도 통한다는 것을 보여주기 위해 개혁될 수 있으며, 특히 우달의 숫자는 거의 모두 복합적인 것이라고 주장한다.^[3] 우달 프라임이 무한히 많은지는 공공연한 문제다. 2018년^[update] 10월 현재 가장 큰 규모로 알려진 우달 프라임은 17016602 × 2 - 1이다^17016602.^[4] 5,122,515자리 숫자로 2018년 3월 디에고 베르톨로티가 분산 컴퓨팅 프로젝트 프라임그리드(PrimeGrid)에서 발견했다.^[5]

제한사항

W₄ = 63과 W₅ = 159로 시작하여 6번째 우달 수마다 3으로 나누기 때문에_n W가 prime이 되기 위해서는 지수 n을 4 또는 5(modulo 6)로 합칠 수 없다. 또한, 양의 정수 m의 경우, 우달 수 W는_2^m 2^m + m가 prime일 경우에만 소수일 수 있다. 2019년 1월 현재 우달 프라임과 메르센 프라임은 모두 W₂ = M₃ = 7, W = M으로₅₂₁ 알려져₅₁₂ 있다.

구분성 특성

Cullen 숫자처럼, Woodall 숫자들은 많은 구별할 수 있는 특성을 가지고 있다. 예를 들어, p가 소수인 경우 p는 분할한다.

W_{(p + 1) / 2} Jacobi 기호

\left({\frac {2}{p}}\right)

)

{\

가

\왼쪽\frac {2}{p}\오른쪽)

+1이고

W_{(3p − 1) / 2} Jacobi 기호

\left({\frac {2}{p}}\right)

)

{\

가

\왼쪽\frac {2}{p}\오른쪽)

-1인 경우.^{[citation needed]}

일반화

일반화된 우달 숫자 베이스 b는 n × bⁿ - 1 형식의 숫자로 정의되는데, 여기서 n + 2 > b는 프라임을 이 형태로 작성할 수 있다면 일반화된 우달 프라임이라고 한다.

n × bⁿ - 1이 b = 1, 2, 3, ...의^[6] prime인 n의 가장 작은 값은

3, 2, 1, 1, 8, 1, 2, 1, 10, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 167, 2, 1, 12, 1, 2, 2, 29028, 1, 2, 3, 10, 2, 26850, 1, 8, 1, 42, 2, 6, 2, 24, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 140, 1, 2, 2, 22, 2, 8, 1, 2064, 2, 468, 6, 2, 1, 362, 1, 2, 2, 6, 3, 26, 1, 2, 3, 20, 1, 2, 1, 28, 2, 38, 5, 3024, 1, 2, 81, 858, 1, 2, 3, 2, 8, 60, 1, 2, 2, 10, 5, 2, 7, 182, 1, 17782, 3, ... (seOEIS에서 Quence A240235)

2021년^[update] 11월 현재 베이스가 2 이상인 것으로 알려진 가장 큰 일반화된 우달 수는 2740879 × 32^2740879 - 1이다.^[7]

b	n × b - 1과 같은ⁿ 숫자 n (이 n은 최대 350000까지 점검됨)	OEIS 시퀀스
1	3, 4, 6, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 48, 54, 60, 62, 68, 72, 74, 80, 84, 90, 98, 102, 104, 108, 110, 114, 128, 132, 138, 140, 150, 152, 158, 164, 168, 174, 180, 182, 192, 194, 198, 200, 212, 224, 228, 230, 234, 240, 242, 252, 258, 264, 270, 272, 278, 282, 284, 294, ... (all primes plus 1)	A008864
2	2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, 462, 512, 751, 822, 5312, 7755, 9531, 12379, 15822, 18885, 22971, 23005, 98726, 143018, 151023, 667071, 1195203, 1268979, 1467763, 2013992, 2367906, 3752948, ...	A002234
3	1, 2, 6, 10, 18, 40, 46, 86, 118, 170, 1172, 1698, 1810, 2268, 4338, 18362, 72662, 88392, 94110, 161538, 168660, 292340, 401208, 560750, 1035092, ...	A006553
4	1, 2, 3, 5, 8, 14, 23, 63, 107, 132, 428, 530, 1137, 1973, 2000, 7064, 20747, 79574, 113570, 293912, ..., 1993191, ...	A086661
5	8, 14, 42, 384, 564, 4256, 6368, 21132, 27180, 96584, 349656, 545082, ...	A059676
6	1, 2, 3, 19, 20, 24, 34, 77, 107, 114, 122, 165, 530, 1999, 4359, 11842, 12059, 13802, 22855, 41679, 58185, 145359, 249987, ...	A059675
7	2, 18, 68, 84, 3812, 14838, 51582, ...	A242200
8	1, 2, 7, 12, 25, 44, 219, 252, 507, 1155, 2259, 2972, 4584, 12422, 13905, 75606, ...	A242201
9	10, 58, 264, 1568, 4198, 24500, ...	A242202
10	2, 3, 8, 11, 15, 39, 60, 72, 77, 117, 183, 252, 396, 1745, 2843, 4665, 5364, ...	A059671
11	2, 8, 252, 1184, 1308, ...	A299374
12	1, 6, 43, 175, 821, 910, 1157, 13748, 27032, 71761, 229918, ...	A299375
13	2, 6, 563528, ...	A299376
14	1, 3, 7, 98, 104, 128, 180, 834, 1633, 8000, 28538, 46605, 131941, 147684, 433734, ...	A299377
15	2, 10, 14, 2312, 16718, 26906, 27512, 41260, 45432, 162454, 217606, ...	A299378
16	167, 189, 639, ...	A299379
17	2, 18, 20, 38, 68, 3122, 3488, 39500, ...	A299380
18	1, 2, 6, 8, 10, 28, 30, 39, 45, 112, 348, 380, 458, 585, 17559, 38751, 43346, 46984, 92711, ...	A299381
19	12, 410, 33890, 91850, 146478, 189620, 280524, ...	A299382
20	1, 18, 44, 60, 80, 123, 429, 1166, 2065, 8774, 35340, 42968, 50312, 210129, ...	A299383
21	2, 18, 200, 282, 294, 1174, 2492, 4348, ...
22	2, 5, 140, 158, 263, 795, 992, 341351, ...
23	29028, ...
24	1, 2, 5, 12, 124, 1483, 22075, 29673, 64593, ...
25	2, 68, 104, 450, ...
26	3, 8, 79, 132, 243, 373, 720, 1818, 11904, 134778, ...
27	10, 18, 20, 2420, 6638, 11368, 14040, 103444, ...
28	2, 5, 6, 12, 20, 47, 71, 624, 1149, 2399, 8048, 30650, 39161, ...
29	26850, 237438, 272970, ...
30	1, 63, 331, 366, 1461, 3493, 4002, 5940, 13572, 34992, 182461, 201038, ...

참고 항목

메르센 소수 - 2ⁿ - 1 형태의 소수.

참조

^ Cunningham, A. J. C; Woodall, H. J. (1917), "Factorisation of $Q=(2^{q}\mp q)$ and $(q\cdot {2^{q}}\mp 1)$ ", Messenger of Mathematics, 47: 1–38.
^ Everest, Graham; van der Poorten, Alf; Shparlinski, Igor; Ward, Thomas (2003). Recurrence sequences. Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 104. Providence, RI: American Mathematical Society. p. 94. ISBN 0-8218-3387-1. Zbl 1033.11006.
^ Keller, Wilfrid (January 1995). "New Cullen primes". Mathematics of Computation. 64 (212): 1739. doi:10.1090/S0025-5718-1995-1308456-3. ISSN 0025-5718. Keller, Wilfrid (December 2013). "Wilfrid Keller". www.fermatsearch.org. Hamburg. Archived from the original on February 28, 2020. Retrieved October 1, 2020.
^ "The Prime Database: 8508301*2^17016603-1", Chris Caldwell's The Largest Known Primes Database, retrieved March 24, 2018
^ PrimeGrid, Announcement of 17016602*2^17016602 - 1 (PDF), retrieved April 1, 2018
^ 일반화된 우달 프라임 베이스 3 ~ 10000
^ "The Top Twenty: Generalized Woodall". primes.utm.edu. Retrieved 20 November 2021.

추가 읽기

Guy, Richard K. (2004), Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed.), New York: Springer Verlag, pp. section B20, ISBN 0-387-20860-7.
Keller, Wilfrid (1995), "New Cullen Primes" (PDF), Mathematics of Computation, 64 (212): 1733–1741, doi:10.2307/2153382.
Caldwell, Chris, "The Top Twenty: Woodall Primes", The Prime Pages, retrieved December 29, 2007.

외부 링크

Chris Caldwell, The Prime Glogarary: Woodall number and The Top 20: 우달, 그리고 The Top 20: The Prime Page에서 일반 우달.
Weisstein, Eric W. "Woodall number". MathWorld.
Steven Harvey, 일반화 우달 프라임 리스트.
폴 레이랜드, 일반 컬런 및 우달 번호

[1] Cunningham, A. J. C; Woodall, H. J. (1917), "Factorisation of $Q=(2^{q}\mp q)$ and $(q\cdot {2^{q}}\mp 1)$ ", Messenger of Mathematics, 47: 1–38.

[EPSW94-2] Everest, Graham; van der Poorten, Alf; Shparlinski, Igor; Ward, Thomas (2003). Recurrence sequences. Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 104. Providence, RI: American Mathematical Society. p. 94. ISBN 0-8218-3387-1. Zbl 1033.11006.

[3] Keller, Wilfrid (January 1995). "New Cullen primes". Mathematics of Computation. 64 (212): 1739. doi:10.1090/S0025-5718-1995-1308456-3. ISSN 0025-5718. Keller, Wilfrid (December 2013). "Wilfrid Keller". www.fermatsearch.org. Hamburg. Archived from the original on February 28, 2020. Retrieved October 1, 2020.

[4] "The Prime Database: 8508301*2^17016603-1", Chris Caldwell's The Largest Known Primes Database, retrieved March 24, 2018

[5] PrimeGrid, Announcement of 17016602*2^17016602 - 1 (PDF), retrieved April 1, 2018

[6] 일반화된 우달 프라임 베이스 3 ~ 10000

[7] "The Top Twenty: Generalized Woodall". primes.utm.edu. Retrieved 20 November 2021.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

v t 프라임 번호 클래스
수식별	페르마( $2 2 n$ + $1$ ) 메르센( $2 p$ - $1$ ) 더블 메르센( $2 2 p -1$ - $1$ ) 와그스태프( $2 p +1)/3$ 프로트( $k /2 n$ + $1$ ) 요인( $n!$ ± $1$ ) 원시적( $p n #$ ± $1$ ) 유클리드( $p n #$ + $1$ ) 피타고라스 ( $4n$ + 1) 삐에폰트(2 $/3 m n$ + $1$ ) 쿼탄( $x 4 4$ + y) 솔리나스( $2 m$ ± 2 ± $1 n$ ) 컬렌 ( $n \cdot2 n$ + $1$ ) 우달( $n /2 n$ - $1$ ) 쿠바어( $x 3 3$ - y $)/(x$ - $y$ ) 레이랜드( $x y x$ + y) 타비트( $3/2 n$ - $1$ ) 윌리엄스 ( $b-1)\cdot b n$ - $1$ ) 밀스(⌊ $A 3 n ⌋)$
정수순별	피보나치 루카스 펠 뉴먼-상크스-윌리엄스 페린 파티션 벨 모츠킨
재산별	위페리히 (페어) 월선 월스텐홀름 윌슨 럭키 행운의 라마누잔 필라이 정규 강하다 선미 초점수(엘리프틱 곡선) 슈퍼싱글러 (달빛설) 좋아 잘 하는 군요 힉스 매우 편협한
기저 의존적	팔린드로믹 에미르프 재단위 $(10 n$ - 1 $)/9$ 퍼머블 원형 잘릴 수 있음 미니멀 섬세한 프라임벌 풀 파충류 유니크 행복하다 셀프 스마란다체-웰린 스트로보그램법 디헤드랄 테트라디어
패턴	트윈( $p,$ p + $2$ ) 바이-트윈 체인( $n$ - 1 $, n$ + 1 $, 2n$ - 1 $, 2n$ + 1, $\dots)$ 트리플릿( $p,$ $p$ + 2 $또는$ $p$ + 4 $, p$ + $6$ ) 쿼드러플릿( $p,$ $p$ + 2 $,$ $p$ + 6 $, p$ + $8$ ) k-투플 사촌( $p,$ p + $4$ ) 섹시( $p,$ p + $6$ ) 첸 소피 제르맹/세이프( $p, 2p$ + $1$ ) 커닝햄( $p, 2p$ ± 1, $4p$ ± 3, $8p$ ± 7, $...)$ 산술수열( $p$ + $a\cdotn,$ $n$ = $0,$ 1, 2 $, 3$ , $...)$ 균형( $연속$ $p$ - $n,$ $p,$ p + $n$ )
크기별	메가(100,000자리 이상) 알려진 것 중 가장 큰 것
콤플렉스	아이젠슈타인 전성기 가우스 프라임
합성수	가성비 카탈루냐 주 타원체 오일러 오일러자코비 페르마 프로베니우스 루카스 소머루카스 강하다 카마이클 수 거의 전성기 세미프라임 인터프라임 치명적
관련 항목	개연성 프라임 산업용 프라임 불법 프라임 소수점 수식 프라임 갭
처음 60회	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
소수 목록

Search

우달수

네임스페이스

더

역사