순환수

Cyclic number
이 글은 (일부 기초에서) 자릿수의 순열이 관련 숫자를 산출하는 숫자에 관한 것이다. 숫자 이론적 개념은 순환 숫자(그룹 이론)를 참조하십시오.

순환수는 숫자의 주기적인 순열이 숫자의 연속적인 정수 배수인 정수다. 가장 널리 알려진 것은 6자리 숫자 142857로, 처음 6자리 정수 배수는 다음과 같다.

142857 × 1 = 142857
142857 × 2 = 285714
142857 × 3 = 428571
142857 × 4 = 571428
142857 × 5 = 714285
142857 × 6 = 857142

세부 사항

주기적인 숫자로 자격을 얻으려면 연속적인 배수가 주기적인 순열이어야 한다. 따라서 076923이라는 숫자는 모든 주기적 순열은 배수임에도 연속적인 정수 배수가 아니기 때문에 주기적 숫자로 간주되지 않을 것이다.

076923 × 1 = 076923
076923 × 3 = 230769
076923 × 4 = 307692
076923 × 9 = 692307
076923 × 10 = 769230
076923 × 12 = 923076

다음과 같은 사소한 경우는 일반적으로 제외된다.

  1. 한 자리 수(예: 5)
  2. 반복 숫자, 예: 555
  3. 반복 주기 번호(예: 142857142857)

숫자에 선행 0이 허용되지 않는 경우, 다음 절에 제시된 필수 구조 때문에 142857은 소수점 내의 유일한 주기적 숫자다. 선행 0을 허용하면 주기적 숫자의 순서가 시작된다.

(106 - 1) / 7 = 142857(6자리)
(1016 - 1) / 17 = 0588235294117647(16자리)
(1018 - 1) / 19 = 052631578947368421(18자리)
(1022 - 1) / 23 = 0434782608695652173913(22자리)
(1028 - 1) / 29 = 0344827586206896551724137931(28자리)
(1046 - 1) / 47 = 0212765957446808510638297872340425531914893617(46자리)
(1058 - 1) / 59 = 01694915254237288135593220338983050847457611186440677961(58자리)
(1060 - 1) / 61 = 0163934426229508196721311754036065573770490327868852459(60자리)
(1096 - 1) / 97 = 0103092783505154639175257731987628865979384329690724843453452488041237113185567(96자리)

반복 소수점과의 관계

주기적인 숫자는 단위 분수의 반복적인 디지털 표현과 관련이 있다. 반복적인 길이 L은 디지털로 표현된 길이 L이다.

1/(L + 1)

반대로 디지털 기간이 1/p(p가 prime인 경우)인 경우

p − 1,

숫자는 순환 숫자를 나타낸다.

예를 들면 다음과 같다.

1/7 = 0.142857 142857...

이러한 분수의 배수는 주기적인 순열을 나타낸다.

1/7 = 0.142857 142857...
2/7 = 0.285714 285714...
3/7 = 0.428571 428571...
4/7 = 0.571428 571428...
5/7 = 0.714285 714285...
6/7 = 0.857142 857142...

순환수의 형태

단위 분율과의 관계에서, 주기적인 숫자는 페르마트 지수의 형태임을 알 수 있다.

여기서 b는 숫자 베이스(십진수 10)이고, p는 b를 나누지 않는 프라임이다. (base b에 주기적인 숫자를 주는 프라임 p는 base b에서 완전한 파충류 프라임 또는 긴 프라임이라고 불린다.)

예를 들어, 사례 b = 10, p = 7은 주기 번호 142857을, 사례 b = 12, p = 5는 주기 번호 2497을 부여한다.

예를 들어, 사례 b = 10, p = 13은 076923076923, 사례 b = 12, p = 19는 076B45076B45를 나타내는 등 p의 모든 값이 이 공식을 사용하여 주기적인 숫자를 산출하지는 않을 것이다. 이러한 실패 사례들은 항상 자릿수의 반복을 포함할 것이다(아마도 여러 개일 것이다).

이 공식에서 순환 숫자를 소수(b = 10)로 생성하는 p의 첫 번째 값은 (OEIS에서 순서 A001913)이다.

7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 571, 577, 593, 619, 647, 659, 701, 709, 727, 743, 811, 821, 823, 857, 863, 887, 937, 941, 953, 971, 977, 983, ...

b = 12(이중치수)의 경우 이러한 ps는 (OEIS에서 순차 A019340)

5, 7, 17, 31, 41, 43, 53, 67, 101, 103, 113, 127, 137, 139, 149, 151, 163, 173, 197, 223, 257, 269, 281, 283, 293, 317, 353, 367, 379, 389, 401, 449, 461, 509, 523, 547, 557, 569, 571, 593, 607, 617, 619, 631, 641, 653, 691, 701, 739, 751, 761, 773, 787, 797, 809, 821, 857, 881, 929, 953, 967, 977, 991, ...

b = 2(이진수)의 경우 이러한 ps는 (OEIS의 순서 A001122)이다.

3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, 509, 523, 541, 547, 557, 563, 587, 613, 619, 653, 659, 661, 677, 701, 709, 757, 773, 787, 797, 821, 827, 829, 853, 859, 877, 883, 907, 941, 947, ...

b = 3(말기)의 경우, 이러한 ps는 (OEIS의 순서 A019334)이다.

2, 5, 7, 17, 19, 29, 31, 43, 53, 79, 89, 101, 113, 127, 137, 139, 149, 163, 173, 197, 199, 211, 223, 233, 257, 269, 281, 283, 293, 317, 331, 353, 379, 389, 401, 449, 461, 463, 487, 509, 521, 557, 569, 571, 593, 607, 617, 631, 641, 653, 677, 691, 701, 739, 751, 773, 797, 809, 811, 821, 823, 857, 859, 881, 907, 929, 941, 953, 977, ...

16진법에는 그런 ps가 없다.

이 수열의 알려진 패턴은 대수적 숫자 이론에서 비롯된다. 특히, 이 수열은 primes p의 집합으로 b는 원시적인 뿌리 모둘로 p이다. Emil Artin의[1] 추측에 따르면 이 시퀀스에 37.395가 포함되어 있다.프라임의 백분율(OEIS의 b: A085397)

순환수 구성

순환 번호는 다음과 같은 절차에 의해 구성할 수 있다.

b를 숫자 베이스로 한다(십진수는 10).
p는 b를 나누지 않는 프라임이 되게 하라.
t = 0으로 한다.
r = 1.
n = 0으로 한다.
루프:

t = t + 1로 설정
레트 x = r · b
let d = int(x / p)
r = x mod p로 설정 p
let n = n · b + d
r ≠ 1이면 루프를 반복한다.

t = p - 1이면 n은 순환수다.

이 절차는 base b에서 1/p의 숫자를 긴 분할로 계산하여 작동한다. r은 각 단계에서 나머지이고, d는 생성된 자릿수다.

스텝

n = n · b + d

단순히 숫자를 모으는 역할을 한다. 매우 큰 정수를 표현할 수 없는 컴퓨터의 경우, 숫자는 다른 방법으로 출력되거나 수집될 수 있다.

t가 p/2를 초과하는 경우, 나머지 숫자를 계산할 필요 없이 순환해야 한다.

순환수 특성

  • 생성 프라임으로 곱하면 결과는 b - 1자리 순서가 되며 여기서 b는 기준(예: 10진수 9)이다. 예를 들어, 소수점에서는 142857 × 7 = 9999999.
  • 둘, 셋, 넷 등으로 나누면... 숫자, 그리고 그룹이 추가되면 결과는 9s의 순서가 된다. 예를 들어 14 + 28 + 57 = 99, 142 + 857 = 999, 1428 + 5714+ 2857 = 9999 등... 이것은 미디의 정리(Midy's Organization)의 특별한 경우다.
  • 모든 주기적 숫자는 b - 1로 나눌 수 있다. 여기서 b는 기본이고(예: 소수점 9), 나머지 합은 분할자의 배수다. (이것은 앞의 점부터입니다.)

기타 숫자 기준

위의 기법을 사용하면 다른 숫자 베이스에서 주기적인 숫자를 찾을 수 있다. (이들 모두가 위의 특수 사례 섹션에 열거된 두 번째 규칙(모든 연속적인 배수가 순환 순열인 것)을 따르는 것은 아니다) 이 경우 각각 절반의 기간에 걸친 자릿수가 베이스에서 1을 뺀 값으로 합산된다. 따라서 2진수의 경우, 절반에 걸친 비트의 합은 1이고, 3진수의 경우 2이다.

2진수에서 주기적 숫자의 순서는 다음과 같다: (OEIS의 순서 A001122).

11 (3) → 01
101 (5) → 0011
1011 (11) → 0001011101
1101 (13) → 000100111011
10011 (19) → 000011010111100101
11101 (29) → 0000100011010011110111001011
100101 (37) → 00000110101011100101111100101010001101
110101 (53) → 00000100101101001111001001101101111101101001011000011011001001

3번째 줄임말: (OEIS에서 순서 A019334)

2 (2) → 1
12 (5) → 0121
21 (7) → 010212
122 (17) → 0011202122110201
201 (19) → 001102100221120122


분기별:

(iii)

2진수: (OEIS의 시퀀스 A019335)

2 (2) → 2
3 (3) → 13
12 (7) → 032412
32 (17) → 0121340243231042
43 (23) → 0102041332143424031123
122 (37) → 003142122040113342441302322404331102
133 (43) → 002423141223434043111442021303221010401333

상위 항목: (OEIS에서 시퀀스 A167794)

15 (11) → 0313452421
21 (13) → 024340531215
25 (17) → 0204122453514331
105 (41) → 0051335412440330234455042201431152253211
135 (59) → 0033544402235104134324250301455220111533204514212313052541
141 (61) → 003312504044154453014342320220552243051511401102541213235335
211 (79) → 002422325434441304033512354102140052450553133230121114251522043201453415503105

베이스 7: (OEIS의 시퀀스 A019337)

2 (2) → 3
5 (5) → 1254
14 (11) → 0431162355
16 (13) → 035245631421
23 (17) → 0261143464055232
32 (23) → 0206251134364604155323
56 (41) → 0112363262135202250565543034045314644161

8진수: (OEIS의 순서 A019338)

3 (3) → 25
5 (5) → 1463
13 (11) → 0564272135
35 (29) → 0215173454106475626043236713
65 (53) → 0115220717545336140465103476625570602324416373126743
73 (59) → 0105330745756511606404255436276724470320212661713735223415
123 (83) → 0061262710366576352321570224030531344173277165150674112014254562075537472464336045

비예리인 경우:

2 (2) → 4
(다른 항목 없음)

베이스 11: (OEIS의 시퀀스 A019339)

2 (2) → 5
3 (3) → 37
12 (13) → 093425A17685
16 (17) → 07132651A3978459
21(23) → 05296243390A581486771a
27(29) → 04199534608387A691115764A2723
29 (31) → 039A32146818574A71078964292536

10진수 단위: (OEIS의 시퀀스 A019340)

5 (5) → 2497
7 (7) → 186A35
15 (17) → 08579214B36429A7
27 (31) → 0478AA093598166B74311B28623A55
35(41) → 036190A653277397A9B4B85A2B15689448241207
37 (43) → 0342295A3AA730A068456B879926181148B1B53765
45 (53) → 02872B3A23205525A784640AA4B9349081989B6696143757B117

베이스 13: (OEIS의 시퀀스 A019341)

2 (2) → 6
5 (5) → 27A5
B(11) → 12495BA837
16 (19) → 08B82976AC414A3562
25 (31) → 055B42692C21347C7718A63A0AB985
2B(37) → 0474BC3B3215368A25C85810919AB79642A7
32 (41) → 04177C08322B13645926C8B550C49AA1B96873A6

베이스 14: (OEIS의 시퀀스 A019342)

3 (3) → 49
13 (17) → 0B75A9C4D2683419
15 (19) → 0A45C7522D398168BB
19(23) → 0874391B7CAD569A4C2613
21(29) → 06A89925B163C0D73544B82C7A1D
3B(53) → 039AB8A075793610B146C21828DA43253D6864A7CD2C971BC5B5
43 (59) → 03471937B8ACB5659A2BC15D09D74DA96C4A62531287843B21C80D4069

베이스 15: (OEIS의 시퀀스 A019343)

2 (2) → 7
D(13) → 124936DCA5B8
14 (19) → 0BC9718A3E3257D64B
18 (23) → 09BB1487291E533DA67C5D
1E(29) → 07B5A528BD6ACDE73949C6318421
27 (37) → 061339AE2C87A8194CE8DBB540C26746D5A2
2B(41) → 0574B51C68BA922DD80AE97A39D286345CC116E4

16진수:

(iii)

베이스 17: (OEIS의 시퀀스 A019344)

2 (2) → 8
3 (3) → 5B
5 (5) → 36DA
7 (7) → 274E9C
B(11) → 194ADF7C63
16(23) → 0C9A5F8ED52G476B1823있다
1E(31) → 09583E469EDC11AG7B8D2CA7234FF6

베이스 18: (OEIS의 시퀀스 A019345)

5 (5) → 3AE7
B(11) → 1B834H69ED
1B(29) → 0B31F95A9GDA4H6EG28C781463D
21 (37) → 08DB37565F184FA3G0H946EACBC2G9D27E1h
27 (43) → 079B57H2GD721C293DEBCA86CA0F14AFG5F8E4365
2H(53) → 0620C41682CG57EAFB3D4788EGHBFH5DGB9F51CA3726E4DA9931
35 (59) → 058F4A6CEBAC3BG30G89DD227GE0AHC92D7B53675E61EH19844FFA13H7

베이스 19: (OEIS의 시퀀스 A019346)

2 (2) → 9
7 (7) → 2DAG58
B(11) → 1DFA6H538C
D(13) → 18EBD2HA475G
14(23) → 0FD4291C784I35EG9H6BAE
1A(29) → 0C89FDE7G73HD1I6A9354B2BF15h
1I(37) → 09E73B5C631A52AEGHI94BF7D6CFH8DG8421

베이스 20: (OEIS의 시퀀스 A019347)

3 (3) → 6D
D(13) → 1AF7DGI94C63
H(17) → 13ABF5HCIG984E27
13(23) → 0H7GA8DI546J2C39B61EFD
1H(37) → 0AG469EBHGF2E11C8CJ93FDA58234H5II7B7
23 (43) → 0960IC1H43E878GEHD9F6JADJ17I2FG5BCB3526A4d
27(47) → 08A4522B15ACF67D3GBI5J2JB9FEH8IE974DC6G381E0H

베이스 21: (OEIS의 시퀀스 A019348)

2(2) → A
J(19) → 1248HE7F9JIGC36D5B
12 (23) → 0J3DECG92FAK1H7684BI5A
18 (29) → 0F475198EA2IH7K5GDFJBC6AI23D
1A(31) → 0E4FC4179A382EIK6G58GJDBAHCI62
2B(53) → 086F9AEDI4FH927J8F13K47B1KCE5672G533BID1C5JH0GD9j
38 (71) → 06493BB50C8I721A13HFE42K27EA785J4F7KEGBH99FK8C2DIJJH356GI0ID6ADCF1G5D

베이스 22: (OEIS의 시퀀스 A019349)

5 (5) → 48HD
H(17) → 16A7GI2CKFBE53J9
J(19) → 13A95H826KIBCG4DJF
19 (31) → 0FDAE45EJJ3C194L68B7HG722I9KCH
1F(37) → 0D1H57G143CAFA2872L8KGE5KHI9B6BJDEJ
1J(41) → 0BHFC7B5JIH3GDK8CJ6LA469EGI234I5811D92F
23(47) → 0A6C3G897L18JEB5361J44ELBF9I5DCE0KD27AGIFK2HH7

베이스 23: (OEIS에서 시퀀스 A019350)

2(2) → B
3(3) → 7F
5 (5) → 4DI9
H(17) → 182G59AILEK6HDC4
21 (47) → 0B5K1AHE496JD4KCGEFF3L0MBH2L58IDG39I2A6877J1M
2D(59) → 08M51CJK65AC1LJ27I79846E9H3BFME0HLA32GCAL13KF4FDEIG8D5JB7
3K(89) → 05LG6ADG0BK9CL4910HJ2J8I21CF5FHD4327B8C3864MB16GC96MB2DA1IDLM53K3E4KLA7H759IJKFBEAJE8

베이스 24: (OEIS의 시퀀스 A019351)

7 (7) → 3A6KDH
B(11) → 248HALJF6D
D(13) → 1L795CM3GEIB
H(17) → 19L45FCGME2JI8B7
17(31) → 0IDMAK327HJ8C96N5A1D3KLG64FBEH
1D(37) → 0FDEM1735K2E6BG54CN8A91 MGKI3L9HC7IJB
1H(41) → 0E14284G98IHDB2M5KBGN9MJJ7EF56ACL1I3C7

베이스 25:

2(2) → C
(다른 항목 없음)

3차(b = 3)에서 사례 p = 2는 1을 주기적인 숫자로 산출한다. 한 자릿수는 사소한 경우로 간주할 수도 있지만, 이러한 방식으로 생성된 경우에만 이를 고려하는 것이 이론의 완전성에 유용할 수 있다.

완벽한 사각형인 숫자 베이스, 즉 베이스 4, 9, 16, 25 등에 주기적 숫자(예: p = 2)가 존재하지 않음을 알 수 있다.

참고 항목

참조

  1. ^ Weisstein, Eric W. "Artin's Constant". mathworld.wolfram.com.

추가 읽기

  • 가드너, 마틴 수학 서커스: 더 많은 퍼즐, 게임, 패러독스 그리고 과학 미국인의 다른 수학 오락. 뉴욕: 미국수학협회, 1979. 페이지 111-122.
  • 칼만, 댄; '사이클링 디지트 패턴이 있는 찬양' 대학 수학 저널, 제27권, 제2권 (1996년 3월), 페이지 109–115.
  • 레슬리, 존. "산수철학: 1820년 ISBN 1-4020-1546-1, Longman, Hurst, Rees, Orme, Brown, 1820년 "...의 이론과 실천에 대한 진보적 관점을 보여준다."
  • Wells, David; "호기심 많고 흥미로운 숫자의 펭귄 사전," Penguin Press. ISBN 0-14-008029-5

외부 링크