설정(수학)

집합은 다른^[1] 사물의 집합에 대한 수학적 모델이다;^[2][3][4] 집합은 어떤 종류의 수학적 물체가 될 수 있는 요소나 구성원을 포함한다: 숫자, 기호,^[5] 공간의 점, 선, 다른 기하학적 모양, 변수 또는 심지어 다른 집합.원소가 없는 세트는 빈 세트, 원소가 하나 있는 세트는 싱글톤이다.집합은 유한한 수의 원소를 가지거나 무한 집합일 수 있다.두 세트는 정확히 같은 요소를 가지고 있다면 동일하다.^[6]

집합은 현대 수학에서 어디에나 있다.실제로, 세트 이론, 더 구체적으로는 제르멜로-프렌켈 세트 이론은 20세기 전반 이후 수학의 모든 분야에 엄격한 기초를 제공하는 표준적인 방법이 되어 왔다.^[5]

역사

집합의 개념은 19세기 말에 수학에서 나타났다.^[7]세트라는 독일어 단어인 Menge는 Bernard Bolzano가 그의 작품 Paradoses of the Infinite에서 만들었다.^[8][9][10]

세트 이론의 창시자 중 한 명인 게오르크 칸토르는 그의 베이트레주르 베그룬둥 데르 트란스피니텐 멘겐레르(Beitrége sur Begrndung der transpiniten Mengenlehre)의 시작에서 다음과 같은 정의를 내렸다.^[1]

집합은 집합의 요소라고 불리는 우리의 지각이나 생각의 확실하고 뚜렷한 전체 대상들로 함께 모이는 것이다.

베르트랑 러셀은 한 세트를 다음과 같이 불렀다.^[11]

수학자들이 다지관, 골재, 멘지, 앙상블 또는 어떤 등가명이라고 부르는 것을 다룰 때, 특히 관련된 용어의 수가 유한한 경우에는 그 용어의 열거에 의해 정의된 대로, 그리고 가능한 한 하나의 용어로 구성되는 것으로 간주하는 것이 일반적이다.학급이다.

순진한 집합론

한 세트의 가장 중요한 특성은 멤버라고도 불리는 요소들을 가질 수 있다는 것이다.두 세트는 동일한 요소를 가질 때 동일하다.더 정확히 말하면, A의 모든 요소가 B의 요소이고, B의 모든 요소가 A의 요소인 경우, 세트 A와 B는 동일하다. 이 속성을 세트의 확장성이라고 한다.^[12]

집합의 단순한 개념은 수학에서 매우 유용하다는 것이 증명되었지만, 집합이 구성될 수 있는 방법에 제한이 없다면 역설은 발생한다.

• 러셀의 역설은 "자신을 포함하지 않는 모든 세트의 집합" 즉, {x x는 집합이고 x ∉ x}은 존재할 수 없다는 것을 보여준다.
• 칸토어의 역설은 "모든 세트의 집합"은 존재할 수 없다는 것을 보여준다.

Naïve set 이론은 집합을 구별되는 요소들의 잘 정의된 집합으로 정의하지만, 문제는 잘 정의된 용어의 애매함에서 발생한다.

자명 집합론

천진난만한 집합이론의 원래 공식화된 시점부터 이러한 역설들을 해결하기 위한 후속적인 노력에서 집합의 성질은 공리에 의해 정의되어 왔다.자명 집합론은 집합의 개념을 원시 개념으로 받아들인다.^[13]공리의 목적은 1차 논리를 이용하여 집합에 관한 특정 수학 명제(명제)의 진실이나 거짓을 추론할 수 있는 기본적인 틀을 제공하는 데 있다.그러나 괴델의 불완전성 이론에 따르면, 그러한 특정한 자명성 집합 이론이 역설에서 자유롭다는 것을 증명하기 위해 1차 논리를 사용하는 것은 불가능하다.^{[citation needed]}

집합 정의 및 표기법 설정 방법

수학 텍스트는 일반적으로 A, B, C와 같이 이탤릭체로 된 대문자에^[14][5] 의해 집합된 것을 나타낸다.^[15] 집합은 집합체 또는 가족이라고도 불릴 수 있으며, 특히 그 요소 자체가 집합된 경우 더욱 그러하다.

로스터 표기법

리스트 또는 열거 표기법은 그 요소를 콤마로 구분하여 곱슬 괄호 사이에 나열하여 집합을 정의한다.^{[16][17][18][19]}

A = {4, 2, 1, 3}

B = {파란색, 흰색, 빨간색}.

집합에서 중요한 것은 각 원소가 그 안에 있는지 여부뿐이므로, 리스트 표기법에서 원소의 순서는 관련성이 없다(반대로, 순차적으로, 튜플 또는 집합의 순열은 용어 순서가 중요하다).예를 들어, {2, 4, 6} 및 {4, 6, 4, 2}은(^[20][15][21]는) 동일한 집합을 나타낸다.

많은 요소를 가진 집합, 특히 암묵적 패턴을 따르는 집합의 경우, 멤버 목록은 줄임표 '...'^[22][23]를 사용하여 약칭할 수 있다. 예를 들어, 1천 개의 양의 정수 집합을 로스터 표기법에서 다음과 같이 지정할 수 있다.

{1, 2, 3, ..., 1000}.

로스터 표기법의 무한 세트

무한 집합은 끝없는 요소 리스트가 있는 집합이다.리스트 표기법에서 무한 집합을 설명하기 위해 리스트의 끝 또는 양 끝에 줄임표를 배치하여 리스트가 영원히 지속됨을 표시한다.예를 들어, 음이 아닌 정수의 집합은

{0, 1, 2, 3, 4, ...},

그리고 모든 정수의 집합은

{..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}.

의미적 정의

집합을 정의하는 또 다른 방법은 규칙을 사용하여 요소가 무엇인지 결정하는 것이다.

첫 번째 네 명의 긍정적인 정수를 가진 멤버를 A로 합시다.

B를 프랑스 국기의 세트로 하자.

그러한 정의를 의미론적 서술이라고 한다.^[24][25]

세트빌더 표기법

세트빌더 표기법은 원소의 조건에 의해 결정되는 더 큰 집합의 선택으로 세트를 지정한다.^[25][26][27]예를 들어, 집합 F는 다음과 같이 정의될 수 있다.

F ${\displaystyle =\{n\mid n{\text{}는 정수이며, }}0\leq n\leq 19\}.}$

이 표기법에서 세로 막대 "는 "그러한 것"을 의미하며, 설명은 "F는 "n이 0에서 19까지의 범위의 정수인 것과 같은 모든 숫자의 집합"으로 해석할 수 있다.일부 저자들은 세로 막대 대신 콜론 ":"를 사용한다.^[28]

정의 방법 분류

철학은 특정한 용어를 사용하여 정의의 유형을 분류한다.

• 강도 정의는 규칙을 사용하여 멤버십을 결정한다.세트빌더 표기법을 이용한 의미적 정의와 정의가 그 예다.
• 확장적 정의는 모든 요소를 나열하여 세트를 설명한다.^[25]그러한 정의를 열거형이라고도 한다.
• 허세적인 정의는 요소들의 예를 들어 설명함으로써 세트를 설명하는 것이다; 줄임표를 포함하는 명단이 예일 것이다.

멤버십

만약 B가 세트이고 x가 B의 요소라면, 이것은 속기로 x b B로 쓰여 있는데, 이것은 또한 "x는 B에 속함" 또는 "x는 B에 속함"^[12]으로 읽힐 수 있다."y는 B의 요소가 아니다"라는 문구는 y ∉ B로 쓰여 있는데, "y는 B에 있지 않다"^[29][30]라고도 읽을 수 있다.

예를 들어 A = {1, 2, 3, 4}, B = {파란색, 흰색, 빨간색}, F = {n}은(는) 정수, 0 ≤n ≤ 19},

4 a A 및 12 ∈ F;

화씨 20도, 녹색 B.

빈 세트

빈 집합(또는 null 집합)은 멤버가 없는 고유한 집합이다.∅ 또는 $\varnothing {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \emptyset },$ { }^[31][32] 또는$$ ϕ^[33](또는 ϕ)^[34]로 표시된다.

싱글톤 세트

싱글톤 세트는 정확히 하나의 요소가 있는 세트인데, 그러한 세트를 단위 세트라고도 할 수 있다.^[6]그러한 집합은 {x}(으)로 쓸 수 있으며, 여기서 x는 요소다.세트 {x}과 요소 x는 서로 다른 의미를 가지고 있다. 할모스는^[35] 모자가 들어 있는 상자가 모자와 같지 않다는 비유를 그린다.

하위 집합

만약 A 세트의 모든 요소가 B에도 있다면, A는 B의 하위 집합으로 설명되거나, A written B ^[36]또는 B ⊇ A로 쓰여진 B에 포함되어 있다.^[37]후자의 표기법은 A를 포함하거나, B를 포함하거나, B를 A의 Superset으로 읽을 수 있다.⊆에 의해 확립된 세트간의 관계를 포함 또는 격납이라고 한다.두 세트는 서로 포함하면 같다: A ⊆ B와 B ⊆ A는 A = B와 같다.^[26]

A가 B의 부분집합이지만 A가 B와 같지 않으면 A를 B의 적절한 부분집합이라고 한다.이것은 A ⊊ B라고 쓰여질 수 있다. 마찬가지로 B ⊋ A는 B가 A의 적절한 상위 집합, 즉 B가 A를 포함하고 A와 같지 않다는 것을 의미한다.

세 번째 쌍의 연산자 ⊂과 ⊃은 서로 다른 저자에 의해 다르게 사용된다: 어떤 저자는 A ⊂ B와 B ⊃ A를 B의 어떤 부분 집합(필수적으로 적절한 부분 집합은 아님)이라는 뜻으로 사용하는 반면,^[38][29] 다른 저자는 A ⊂ B와 B ⊃ A를 B의 적절한 부분 집합인 경우에 대해 유보한다.^[36]

예:

• 모든 인간의 집합은 모든 포유류 집합의 적절한 집합이다.
• {1, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4}.
• {1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}.

빈 집합은 모든 집합의 하위 집합이며,^[31] 모든 집합은 자신의 하위 집합이다.^[38]

• ∅ ⊆ A.
• A ⊆ A

오일러 및 벤 다이어그램

오일러 도표는 집합의 집합을 그래픽으로 나타낸 것이다. 각 집합은 요소들이 안에 있는 루프에 둘러싸인 평면 영역으로 묘사된다.A가 B의 부분 집합인 경우 A를 나타내는 영역은 B를 나타내는 영역 내에 완전히 포함된다.두 세트의 공통 요소가 없는 경우 영역은 겹치지 않는다.

반면 벤 다이어그램은 n개의 루프가 평면을 2개의ⁿ 구역으로 나누는 n개의 세트로 그래픽으로 표현하여, n개의 일부 세트(전부 또는 없음)를 선택하는 각 방법에 대해 선택된 모든 세트에 속하는 요소와 다른 요소 중 어느 것도 포함되지 않는다.예를 들어 세트가 A, B, C인 경우 A, C 내부와 B 외부에 있는 원소의 영역이 있어야 한다(그런 원소가 존재하지 않더라도).

수학의 특별한 숫자 집합

수학자들이 너무 자주 언급하는 수학적인 중요성들의 집합이 있기 때문에, 그들은 그것들을 식별하기 위한 특별한 이름과 공칭적인 관례를 얻었다.

이러한 중요한 집합의 대부분은 굵은 글자체(예: $Z{\displaystyle \mathbf{}}${\$displaystyle${\$mathbf {Z$ 또는 칠판 굵은 글자체($예{\displaystyle \mathbb{}}$:$$Z {\$displaystyle \mathb {Z$를 사용하여 수학 텍스트로 표현된다.^[39]여기에는 다음이 포함된다.

• ${\displaystyle \mathbf{N}}$ ${\$ $또는$ N ${\$ 모든 자연수: $N{\displaystyle \mathbf{}}$= {${\displaystyle }$0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle 3}$.${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. . ${\displaystyle .\}}$ ${\displaystyle {\mathbf{N}=\0,1,$2$,$3, 3, 3, 3$,...$$\}}($필수, 작성자 제외 0);^[39]
• ${\displaystyle {\mathbf {Z}}}$ or ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, the set of all integers (whether positive, negative or zero): ${\displaystyle {\mathbf {Z}}=\{...,-2,-1,0,1,2,3,...$$\}}$;^[39]
• ${\displaystyle \mathbf{Q}}$ ${\$ 또는$$ $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ 모든 합리적인 숫자의 집합$($즉, 모든 적절하고 부적절한 분수의 집합):Q)({\displaystyle{\mathbf{Q}}=\left\{{\frac{}{b}}\mid a,b\in{\mathbf{Z}},b\neq 0\right\}}예를 들어.,−.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{.디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{.국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}7/4∈ Q와 5=5/1∈ Q;[39].
• R{\displaystyle{\mathbf{R}}}또는 R{\displaystyle \mathbb{R}}, 모든 실수를의(는 분수로 다시 쓸 수 없으므로 2{\displaystyle{\sqrt{2}}} 같은 대수적 숫자뿐만 아니라 π과 e 같은 초월적인 숫자들을 포함한다)모든 합리적인 번호와 모두 무리수를 포함한 집합[39].
• ${\displaystyle \mathbf{C}}$ ${\$ $또는$ C ${\$ 모든 복합 번호 집합$:$ C = {a + bi a, b b R}, 예를 들어 1 + 2i ∈ C.^[39]

위의 각 숫자 집합에는 무한한 수의 원소가 있다.각각 아래에 나열된 집합의 하위 집합이다.

양수 또는 음수 세트는 위첨자 더하기와 빼기 기호로 나타내기도 한다.예를 들어 $Q{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$+ ${\$은(는) 양의 합리적 숫자의 집합을 나타낸다$$.

기능들

세트 A에서 세트 B로 함수(또는 매핑)는 A의 각 "입력" 요소에 B의 요소인 "출력"을 할당하는 규칙이다. 더 공식적으로, 함수는 특별한 종류의 관계로서, A의 각 요소를 정확히 하나의 요소에 연결하는 관계다.함수를 부르다.

• A의 다른 두 요소를 B의 다른 요소에 매핑하는 경우, 주입(또는 일대일)
• B의 모든 요소에 대해, 그것에 매핑되는 적어도 A의 요소가 하나 있다면, (혹은 위에) 굴절적이다.
• 함수가 주입적 및 굴절적인 경우, 비주사적(또는 일대일 대응) - 이 경우, A의 각 요소는 B의 고유한 요소와 쌍을 이루고, B의 각 요소는 A의 고유한 요소와 쌍을 이루므로, 손상되지 않은 요소가 없다.

주입함수를 주입함수라고 하고, 돌출함수를 주입함수라고 하며, 생체함수를 편사 또는 일대일 대응이라고 한다.

카디널리티

S로 표시된 S 세트의 카디널리티는 S의 멤버 수입니다.^[40]예를 들어 B = {파란색, 흰색, 빨간색}이면 B = 3. 로스터 표기법에서 반복된 멤버는 계산되지 않으므로 {파란색, 흰색, 빨간색, 파란색, 흰색}도 3이다.^[41][42]

좀 더 공식적으로, 두 세트는 그들 사이에 일대일 서신 왕래가 있다면 같은 카디널리티를 공유한다.

빈 세트의 카디널리티는 0이다.^[43]

무한 세트 및 무한 카디널리티

일부 세트의 요소 리스트는 무한하거나 무한하다.예를 들어 자연수의 N ${\$ 집합은 무한하다.^[26]사실, 위의 섹션에서 언급된 모든 특별한 숫자의 집합은 무한하다.무한 세트에는 무한한 카디널리티가 있다.

몇몇 무한한 추기경들은 다른 것들보다 더 크다.이론적으로 집합 이론의 가장 중요한 결과 중 하나는 실수의 집합이 자연수의 집합보다 카디널리티가 더 크다는 것이다.^[44]카디널리티가 $N{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$보다 작거나 같은 세트를 카운트 가능 세트라고 하며, 이는$$ 유한 세트 또는 카운트다운 무한 세트($N{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$과 동일한 카디널리티 세트)이며,$$ 일부 저자는 "카운트 가능"을 "카운트 가능"이라는 의미로 사용한다.카디널리티가 $N{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$보다 완전히 큰 세트를 마운트할 수 없는 세트라고 한다$$.

단, 직선의 카디널리티(즉, 선상의 포인트 수)는 해당 선의 어떤 세그먼트, 전체 평면, 그리고 실제로 유한 차원 유클리드 공간의 카디널리티와 동일하다는 것을 보여줄 수 있다.^[45]

연속 가설

게오르크 칸토르가 1878년 공식화한 '연속 가설'은 자연수의 카디널리티와 직선의 카디널리티 사이에는 카디널리티가 엄격하게 설정돼 있지 않다는 설명이다.^[46]1963년 폴 코헨은 선택이라는 공리를 가진 저멜로-프렌켈 집합 이론으로 구성된 공리계 ZFC와는 연속성 가설이 독립적이라는 것을 증명했다.^[47](ZFC는 자명 집합 이론의 가장 널리 연구된 버전이다.)

전원 세트

S 집합의 전원 집합은 S의 모든 하위 집합의 집합이다.^[26]빈 집합과 S 자체는 모두 S의 하위 집합이기 때문에 S의 전원 집합의 요소들이다.예를 들어 {1, 2, 3}의 전원 집합은 {message, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3,}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3}, {1, 2, 3}.집합 S의 동력 세트는 일반적으로 P(S) 또는 2로^S 표기된다.^[26][48][15]

S가 n개의 원소를 갖는 경우, P(S)는 2개의ⁿ 원소를 가진다.^[49]예를 들어, {1, 2, 3}에는 위와 같이 3개의 요소가 있고, 그 전원 세트는 2 = 8개의³ 요소가 있다.

S가 무한하면(카운트할 수 있든 없든), P(S)를 계산할 수 없다.더욱이, S의 요소와 P(S)의 요소를 결합하려는 시도는 P(S)의 일부 요소를 손상시키지 않게 한다는 점에서, 파워 세트는 항상 원래 세트보다 엄격하게 "더 큰" 것이다.(S로부터 P(S)로의 편향은 결코 없다.)^[50]

파티션

집합 S의 파티션은 S의 모든 원소 x가 정확히 이들 하위 세트 중 하나에 있도록 S의 비어 있지 않은 하위 집합의 집합이다.즉, 하위 집합은 쌍으로 구분되며(어떤 두 세트의 파티션에도 공통 요소가 없다는 의미), 파티션의 모든 하위 집합의 조합은 S이다.^[51][52]

기본 연산

주어진 세트에서 새로운 세트를 구성하기 위한 몇 가지 기본적인 작업이 있다.

유니언스

두 세트가 결합할 수 있다: A와 B의 결합은 A의 조합이거나 B의 조합이거나 둘 모두의 조합이다.

예:

• {1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}.
• {1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.
• {1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}.

유니언의 몇 가지 기본 특성:

• A ∪ B = B ∪ A.
• A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.
• A ⊆ (A ∪ B)
• A ∪ A = A
• A ∪ ∅ = A
• A ⊆ B 만약의 경우에 한해서만 A ∪ B = B

교차점

또한 어떤 두 세트가 "공통"을 가지는 멤버를 결정함으로써 새로운 세트를 구성할 수 있다.A와 B의 교차점은 A와 B가 모두 A와 B의 구성원인 만물의 집합이다.A ∩ B = ∅이면 A와 B가 해체된다고 한다.

예:

• {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}.
• {1, 2} ∩ {2, 3} = {2}.
• {1, 2} ∩ {3, 4} = ∅.

교차로에 대한 몇 가지 기본 특성:

• A ∩ B = B ∩ A.
• A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
• A ∩ B ⊆ A.
• A ∩ A = A
• A ∩ = = ∅.
• A ⊆ B 만약의 경우에 한해서만 A ∩ B = A

보완

두 세트도 "감산"할 수 있다.A \ B(또는 A - B)가 나타내는 A의 B(A와 B의 설정-이론적 차이라고도 함)의 상대적 보완은 B의 구성원이 아닌 모든 원소의 집합이다.세트 {1, 2, 3}에서 요소를 제거하는 등 세트에 없는 세트의 멤버를 "추상"하는 것이 유효하며, 그렇게 하는 것은 세트의 요소에 영향을 미치지 않는다.

어떤 설정에서는, 논의되고 있는 모든 세트는, 주어진 범용 집합 U의 서브셋으로 간주된다. 이 경우, U \ A는 A의 절대보완 또는 단순보완이라고 불리며, A′ 또는 A로^c 표기된다.

• A′ = U \ A

예:

• {1, 2} \ {1, 2} = ∅.
• {1, 2, 3, 4} \ {1, 3} = {2, 4}.
• U가 정수 집합이고 E가 짝수 정수 집합이고 O가 홀수 정수 집합이면 U \ E = E′ = O이다.

보완의 일부 기본 속성은 다음과 같다.

• A \ B \ A ≠ B \ A ≠ B.
• A ∪ A′ = U.
• A ∩ A = ∅
• (A′)′ = A
• ∅ \ A = ∅.
• A \ ∅ = A.
• A \ A = ∅.
• A \ U = ∅.
• A \ A′ = A와 A′ \ A = A′.
• U′ = ∅, ∅′ = U.
• A \ B = A ∩ B ′.
• 만약 A b B이면 A \ B = ∅.

보어의 확장은 A, B 세트에 대해 정의된 대칭적 차이다.

$\displaystyle A\,\Delta \,B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)\cup(B\setminus A)\cup(B\setminus A).}$

예를 들어 {7, 8, 9, 10}과(와) {9, 10, 11, 12}의 대칭 차이는 {7, 8, 11, 12} 집합이다.어떤 세트의 파워 세트는 링(빈 세트를 중립 요소로 함)의 추가로서 대칭적 차이를 갖는 부울 링이 되고, 교차점은 링의 곱셈으로 된다.

데카르트 제품

새로운 세트는 한 세트의 모든 요소를 다른 세트의 모든 요소와 연결하여 구성할 수 있다.A × B로 표시된 2세트 A와 B의 카르테시안 제품은 A의 멤버인 a와 b가 B의 멤버인 모든 주문 쌍(a, b)의 세트다.

예:

• {1, 2} × {빨간색, 흰색, 녹색} = {(1, 흰색), (1, 흰색), (1, 녹색), (2, 빨간색), (2, 흰색), (2, 녹색)}.
• {1, 2} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
• {a, b, c} × {d, e, f} = {(a, d), (a, e), (b, f), (b, e), (b, e), (c, e), (c, f)}.

데카르트 제품의 몇 가지 기본 속성:

• A × ∅ = ∅.
• A × (B × C) = (A × B) ∪ (A × C)
• (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C)

A와 B를 유한 집합으로 한다. 그러면 카르테시안 제품의 카디널리티는 추기경의 산물이다.

• A × B = B × A = A × B.

적용들

집합은 현대 수학에서 어디에나 있다.예를 들어, 그룹, 필드, 링과 같은 추상 대수학의 구조는 하나 이상의 연산에 따라 닫힌 집합이다.

순진한 집합론의 주된 적용 중 하나는 관계 구축에 있다.도메인 A에서 코도맹 B까지의 관계는 데카르트 제품 A × B의 하위 집합이다.예를 들어 같은 이름의 게임에서 형상의 S = {rock, paper, guard, guards}을(를) 세트 B = {(가위, 종이), (가위, 바위), (가위), (가위, 바위, 가위)가 B의 멤버인 경우 x가 게임에서 y를 이기게 된다.또 다른 예는 모든 쌍(x, x²)의 F 설정이다. 여기서 x는 진짜다.모든 제곱의 집합이 모든 실제 숫자의 집합의 부분 집합이기 때문에 이 관계는 R × R의 부분 집합이다.R의 모든 x에 대해 F에서는 한 쌍과 한 쌍(x,...)만 발견되기 때문에 함수라고 한다.기능 표기법에서 이 관계는 F(x) = x로² 표기할 수 있다.

포함 및 제외의 원칙

포함-배제 원칙은 각 집합의 크기와 교차점의 크기가 알려진 경우, 두 집합의 조합에 있는 요소의 수를 계산하는 데 사용할 수 있는 계산 기법이다.라고 상징적으로 표현할 수 있다.

$A + B - A\cap B.}$

보다 일반적인 형태의 원칙을 사용하여 유한한 집합 조합의 카디널리티를 찾을 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\left A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup \ldots \cup A_{n}\right =&\left(\left A_{1}\right +\left A_{2}\right +\left A_{3}\right +\ldots \left A_{n}\right \right)\\&}-\좌(\왼쪽 A_{1}\cap A_{2}\우측 +\왼쪽 A_{1}\우측 A_{3}\우측 +\ldots \좌측 A_{n-1}\cap A_{n}\우측 \우측 \우측 \우측)\\&}+\ldots \\&}+\왼쪽(-1\오른쪽)^{n-1}\왼쪽(\왼쪽 A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \dots \cap \cap \cap \cap \cap \cap A_{n}\cap \오른쪽 \cap.\end{정렬}}}$

드 모건의 법칙

아우구스투스 드 모건은 세트에 관한 두 가지 법칙을 말했다.

만약 A와 B가 2세트라면,

• (A ∪ B)′ = A ′ ∩ B′

A 조합 B의 보수는 A 조합의 보수가 B 조합의 보수와 교차하는 것과 같다.

• (A ∩ B)′ = A ′ ∪ B′

B와 교차하는 A의 보수는 B의 보수에 대한 A의 조합의 보수와 같다.

참고 항목

메모들

참조

• Dauben, Joseph W. (1979). Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite. Boston: Harvard University Press. ISBN 0-691-02447-2.
• Halmos, Paul R. (1960). Naive Set Theory. Princeton, N.J.: Van Nostrand. ISBN 0-387-90092-6.
• Stoll, Robert R. (1979). Set Theory and Logic. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 0-486-63829-4.
• Velleman, Daniel (2006). How To Prove It: A Structured Approach. Cambridge University Press. ISBN 0-521-67599-5.

외부 링크

• Wiktionary 집합 사전 정의
• 칸토르의 "Beitrége zur Begrendung der transfiniten Mengenlehre"(독일어)