제2종 스털링 넘버

수학에서 조합론 특히 불가능한 방법으로 n개체의 k사각형 하위 집합에 세트를 분할하여의 두번째 종류(또는 스털링 파티션 번호)의 스털링 번호는 번호와 S(n, km그리고 4.9초 만){S(n,k)\displaystyle}또는{nk}{\displaystyle\textstyle \left\{{n\atop k}\right\에 의해}표시됩니다.}.[1]스털링 n.umb두 번째 종류의 er는 결합학이라 불리는 수학 분야와 칸막이의 연구 분야에서 발생한다.

두 번째 종류의 스털링 번호는 두 가지 종류의 스털링 번호 중 하나이며, 다른 종류의 스털링 번호는 첫 번째 종류의 스털링 번호(또는 스털링 주기 번호)라고 불린다.변수 n, k에 따라 각 종류의 스털링 숫자로 상호 역행(완료 또는 무한) 삼각 행렬이 형성될 수 있다.

정의

The Stirling numbers of the second kind, written ${\displaystyle S(n,k)}$ or ${\displaystyle \lbrace \textstyle {n \atop k}\rbrace }$ or with other notations, count the number of ways to partition a set of ${\displaystyle n}$ labelled objects into ${\displaystyle k}$ nonempty unlabelled subsets.동등하게, $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ n$} 요소$ 집합에서$$ 정의할 수 $있는{\displaystyle }$ 정밀 k ${\displaystyle k}$ 동등성$$ 클래스와 다른 동등성 관계의 수를 계산한다.사실, 주어진 세트의 파티션 집합과 동등성 관계 집합 사이에 편견이 있다.분명히,

${\displaystyle }$${\displaystyle \{}$${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{n}{}}$ ${\displaystyle \}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \left\{nn \atop n}\right\}=1}$및 n${\displaystyle }n$ 1에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}${${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{n}}{}}$ 1 ${\displaystyle \}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n\geq$ 1$,\left\{n \atop$ 1$}\right\}=1$}

n-모듈 세트를 n 파트로 분할하는 유일한 방법은 세트의 각 요소를 자신의 파트로 분할하는 것이고, 비어 있지 않은 세트를 한 파트로 분할하는 유일한 방법은 모든 요소를 동일한 파트에 배치하는 것이다.이 값은 다음과 같은 명시적 공식을 사용하여 계산할 수 있다.^[2]

${\displaystyle \left\{nn \atop k}\right\}={\frac {1}{k!}}}\sum _{i=0}^{k(-1)^{i}{\binom {k}{k}}{{n}}}$

두 번째 종류의 스털링 숫자는 또한 추락하는 요인^[3] 측면에서 불확실한 x의 힘을 표현할 때 발생하는 숫자로 특징지어질 수 있다.

${\displaystyle (x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1).}$

(특히 (x)₀ = 1은 빈 제품이기 때문에)일반적으로, 사람은 가지고 있는 것이 있다.

${\displaystyle \sum \{k=0}^{n}\left\{n \atop k}\right\}(x)_{k}=x^{n}.}$

표기법

두 번째 종류의 스털링 번호에는 다양한 명세가 사용되어 왔다.가새 표기법${\displaystyle }${${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{n}{}}$ k ${\displaystyle \}}$ ${\$은 1962년 이매뉴엘 마르크스와 안토니오 살메리가 이 숫자의 변형에 사용하였다$$.^[4][5]이로 인해 크누스는 여기에 나타난 바와 같이 컴퓨터 프로그래밍의 기술(1968년) 제1권에 그것을 사용하게 되었다.^[6][7]컴퓨터 프로그래밍의 제3판에 따르면, 이 표기법은 1935년 조반 카라마타에 의해서도 일찍이 사용되었다.^[8][9]S(n, k)라는 표기법은 리처드 스탠리가 그의 저서 Enumerative Compinatorics에서 사용했으며, 훨씬 이전에도 많은 다른 작가들에 의해 사용되었다.^[6]

스털링 숫자에 대해 이 페이지에서 사용하는 공명은 보편적이지 않으며 다른 출처의 공명과 충돌할 수 있다.

벨 번호와의 관계

스털링 번호${\displaystyle }${${\displaystyle n\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{k}{}}$ ${\displaystyle \}}$ ${\$은(는) n-element 집합의 파티션을 k partments로 세므로$$ 합계는

${\displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}\좌측\{n \atop k}\우측\}}}}$

모든 k 값은 n 멤버가 있는 집합의 총 파티션 수입니다.이 번호는 n번째 벨 번호로 알려져 있다.

이와 유사하게, 주문된 벨 번호는 두 번째 종류의 스털링 번호로 계산될 수 있다.

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}k!\left\{n \atop k}\right\}.}$^[10]

값표

다음은 두 번째 종류(OEIS에서 순서 A008277)의 스털링 번호에 대한 삼각형 배열이다.

k n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	1
1	0	1
2	0	1	1
3	0	1	3	1
4	0	1	7	6	1
5	0	1	15	25	10	1
6	0	1	31	90	65	15	1
7	0	1	63	301	350	140	21	1
8	0	1	127	966	1701	1050	266	28	1
9	0	1	255	3025	7770	6951	2646	462	36	1
10	0	1	511	9330	34105	42525	22827	5880	750	45	1

이항계수와 마찬가지로, 이 표는 k > n까지 확장될 수 있지만, 이 항목들은 모두 0이 될 것이다.

특성.

재발관계

2종류의 스털링 넘버들은 재발관계에 복종한다.

${\displaystyle \left\{n+1 \atop k}\right\}=k\left\{n \atop k}\right\}\{n \atop k-1}\right\}}}}}}}$

초기 조건과 함께 k > 0에 대하여

${\displaystyle \left\{0 \atop 0}\right\}=1\box{\mbox{}}}\i1}\n \{0 \atop n}\right\}=0}$

n > 0에 대하여

예를 들어, k=3열과 n=5열의 숫자 25는 25=7+(3×6)로 주어지는데, 여기서 7은 위의 숫자, 25의 왼쪽에 6은 25 이상의 숫자, 3은 6을 포함하는 열이다.

${\displaystyle \mathrm{이}}$ 반복을 입증하려면 n + 1 ${\displaystyle n+1}$객체를${\displaystyle }$k의 비어 있지 않은 하위 집합으로 분할하여 (n +${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle (n+$1)$$-th$$ 객체를 단일 톤으로 포함하거나 포함하지 않는지 관찰하십시오.싱글톤이 서브셋 중 하나인 방법의 수는 다음과 같다.

${\displaystyle \left\{n \atop k-1}\right\}}$

나머지 n개의 객체를 사용 가능한 $k{\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle k-1}$ 부분$$ 집합으로 분할해야 하기 때문에.다른 경우${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{n}}$+ 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle (n+1)}$ -th$$ 개체는 다른 개체를 포함하는 하위 집합에 속한다.방법의 수는 다음과 같다.

${\displaystyle k\left\{n \atop k}\right\}}}$

우리는${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$+${\displaystyle }$$1$ )$${\$displaystyle$$(n$$+$1$)}$을(를) 제외한 모든 개체를 k 하위 집합으로 분할하고, 그리고 나서 $개체{\displaystyle }$n + $1을$삽입하기 위한 k 선택권을 갖게 된다$.$이 두 값을 합하면 원하는 결과가 나온다.

그 이상의 재발은 다음과 같다.

${\displaystyle \left\{n+1 \atop k+1}\right\}=\sum _{j=k}^{n}{n \선택 j}\left\{j \atop k}\right\}},}$

${\displaystyle \left\{n+1 \atop k+1}\right\}=\sum _{j=k}^{n=k}^{n-j}\left\{j \atop k}\right\}},}$

${\displaystyle \left\{n+k+1 \atop k}\right\}=\sum _{j=0}^{k}j\left\{n+j \atop j}\right\}.}$

하한 및 상한

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n\geq$ 2$}$ 및$$ $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle n}$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1\leq k\leq n-1}$인 경우$,$

${\displaystyle L(n,k)\leq \leq \left\{n \atop k}\right\}\leq U(n,k)}$

어디에

${\displaystyle L(n,k)={\frac {1}{1}{2}}(k^{2}+k+2)k^{n-k-1}-1}$

그리고

${\displaystyle U(n,k)={\frac {1}{1}:{n2}}: \n 선택 k}k^{n-k}.}$ ^[11]

최대

고정 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 경우$,$ {${\displaystyle n\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{k}{}\}}$ ${\$은(는) 단일 최대값을 가지며$$, 최대 2개의 연속 k 값에 도달한다.즉, 다음과 같은$$ 정수 ${\displaystyle {Kn}_{}}$ ${\$가 있다.

${\displaystyle \left\{nn \attop 1}\right\}<\n \n \cdots <\left\{n \at K_}}}}$

${\displaystyle \left\{nn \at K_{n}\right\}\geq\{n \at K_{n}+1}\1}\right\}}\cdots >\{n \atop n}\right\}.}$

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이(가) 큰 경우

${\displaystyle K_{n}\sim {\frac {n}{\logn},}$

스털링 2종류의 최대치는

${\displaystyle \log \left\{n \atop K_{n}\right\}=n-n\log \log n-n+O(n\log \log n/\log n)}$ ^[11]

패리티

두 번째 유형의 스털링 숫자의 동등성은 관련 이항계수의 동등성과 동일하다.

${\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}\equiv {\binom {z}{w}}\ {\pmod {2}},}$ where ${\displaystyle z=n-\left\lceil \displaystyle {\frac {k+1}{2}}\right\rceil ,\ w=\left\lfloor \displaystyle {\frac {k-1}{2}}\right\rfloor .$$}$

이 관계는 시에르피에스키 삼각형에 n과 k 좌표를 매핑하여 지정된다.

보다 직접적으로, 두 세트에 각각 표현식의 결과를 이진법으로 표현하여 1의 위치를 포함하도록 한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {A} :\ \sum _{i\in \mathbb {A} }2^{i}&=n-k,\\\mathbb {B} :\ \sum _{j\in \mathbb {B} }2^{j}&=\left\lfloor {\dfrac {k-1}{2}}\right\rfloor .\\end{aigned}}$

다음 두 세트를 교차시키면 비트 AND 연산을 흉내낼 수 있다.

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}\,{\bmod {\,}}2={\begin{cases}0,&\mathbb {A} \cap \mathbb {B} \neq \emptyset ;\\1,&\mathbb {A} \cap \mathbb {B} =\emptyset ;\end{cases}}}$

O(1) 시간 내에 두 번째 종류의 스털링 번호의 동등성을 얻는다.유사 코드:

${\displaystyle {\begin}n\\k\end{Bmatrix}\,{\bmod{\,}},}}}, {\bmod}:=\왼쪽[\왼쪽(n-k\오른쪽)\\\\and \\\\ \ \ \왼쪽(\좌)\fthematmatteput}\div}=0\right];}$

여기서${\displaystyle }$[ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\$]은$$Iverson 브래킷이다.

$두{\displaystyle }$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{종류}}{}}{\displaystyle }${ 2n }${\$ n$}\right\}}$의 중앙 스털링 번호의 패리티는 n ${\displaystyn}$이(가) 섬유수인 경우에만 이상하며$$, 이진수에는 연속 1s가 없다.^[12]

심플한 아이덴티티

몇 가지 간단한 정체성에는 다음이 포함된다.

${\displaystyle \left\{n \atop n-1}\right\}={\binom {n}{2}.}$

왜냐하면 n개의 원소를 n - 1 세트로 나누는 것은 반드시 하나의 크기 2 세트와 n - 2 세트의 크기 1 세트로 나누는 것을 의미하기 때문이다.그러므로 우리는 이 두 가지 요소만 선택하면 된다.

그리고

${\displaystyle \left\{n \atop 2}\right\}=2^{n-1-1.}$

이를 확인하려면 먼저 보완 하위 세트 A와 B의 순서가 지정된 쌍이 2개ⁿ 있다는 점에 유의하십시오.한 경우에는 A가 비어 있고, 또 다른 경우에는 B가 비어 있기 때문에 순서가ⁿ 정해진 2쌍의 하위 집합이 남아 있다.마지막으로, 우리는 주문된 쌍이 아닌 주문되지 않은 쌍을 원하기 때문에 위의 결과를 제시하면서 마지막 숫자를 2로 나눈다.

재발관계의 또 다른 노골적인 확대는 위의 예시의 정신으로 정체성을 부여한다.

${\displaystyle {\pregated}\left\{n \atop 2}\right\}&={\frac {{1}{1}1}:{0!}}\\[8pt]\left\{n \atop 3}\right\}&={\frac {{1}{1}:{1}:{1}:{1}:{n-1}-{\frac {{1}:{1}:{1}{1}:{n-1}}}}}{1}!}}\\[8pt]\left\{{n \atop 4}\right\}&={\frac {{\frac {1}{1}}(4^{n-1}-3^{n-1})-{\frac {2}{2}}(4^{n-1}-2^{n-1})+{\frac {1}{3}}(4^{n-1}-1^{n-1})}{2!}}\\[8pt]\left\{{n \atop 5}\right\}&={\frac {{\frac {1}{1}}(5^{n-1}-4^{n-1})-{\frac {3}{2}}(5^{n-1}-3^{n-1})+{\frac {3}{3}}(5^{n-1}-2^{n-1})-{\frac {1}{4}}(5^{n-1}-1^{n-1})}{3!}}\\[8pt]&{}\\\vdots \end{arged}}}}$

이러한 예는 재발로 요약할 수 있다.

${\displaystyle \left\lbrace {\put}n\n\k\end}\right\rbrace ={\frac {k^{n}}{k!}}-\sum _{r=1}^{k-1}{\frac {\좌측\lbrace {\brace{\lbrace}\n\r\end}}}\우측\rbrace{{}}{(k-r)!}}.}$

명시식

두 번째 종류의 스털링 번호는 명시적 공식에 의해 주어진다.

${\displaystyle \left\{n \atop k}\right\}=\sum _{j=1}-1)^{k-j}{\frac {j^{n-1}:{n-1}{(j-1)!(k-j)!}}}={\frac{1}{k!}}}\sum _{j=0}^{k(1)^{k-j}{k \선택 j}j^{n}.}$

이는 포함 제외를 사용하여 n에서 k까지의 거부 수를 세고 그러한 거부 횟수가 $k!\{n\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}$ $\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{}\}$ ${\$ k$!\left\{n \atop k}\right\}}}$인 사실을 사용하여 도출할 수 있다$.$

또한, 이 공식은 x = 0:00에서$$ 평가된 단일 $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\$의 k번째 전방 차이에 대한 특별한 경우:

${\displaystyle \Delta ^{k}x^{n}=\sum _{j=0}^{k-j}{k \선택 j}(x+j)^{n}}}$

베르누이 다항식은 이러한 전진적 차이의 관점에서 쓰여질 수 있기 때문에, 즉시 베르누이 수에서 관계를 얻는다.

${\displaystyle B_{m}(0)=\sum _{k=0}^{m}{\frac {(-1)^{k}k!}}{k+1}\왼쪽\{{m \atop k}\오른쪽\}.}$

함수 생성

고정 정수 n의 경우 두 번째 ${\displaystyle 종류}$인${\displaystyle }${n 0}, {${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{1}{}}$ ${\displaystyle \},}$ …${\displaystyle \left\{n \atop$ 0$}\right\},\n$\n $\atop 1}\right\},\ldots }$의 스털링 번호에 대한 일반 생성 함수는 다음과$$ 같다.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\왼쪽\{n \atop k}\오른쪽\}x^{k}=T_{n}(x),}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 $T{\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}x}$ )${\displaystyle T_{n}(x)}$은(는) Touchard 다항식이다.스털링 숫자를 대신하여 감소하는 요인에 대해 요약하면 다음과 같은 정체성을 보여줄 수 있다.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\left\{n \atop k}\right\}(x)_{k}=x^{n}}}}$

그리고

${\displaystyle \sum \sum _{k=1}^{n+1}\left\{n+1 \atop k}\right\}(x-1)_{k-1}=x^{n}.}$

고정 정수 ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{k}{}}$의 경우, 두 번째 종류 {0k ${\displaystyle \},}${ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{1k}}{}}$ ${\displaystyle \},}$… {\$displaystyle \left\{0 \atop$ k$}\right\},\ldots }$의 스털링 번호는 합리적인 보통 생성 기능을$$ 가지고 $있다$.

${\displaystyle \sum \{n=k}^{n=k}\flt\{n \atop k}\right\}x^{n-k}=\rd _{r=1}^{1}{1-rx}={\frac {1}{{(k+1)!xxx.^{k+1}{\binom {1}{x}{k+1}}}$

그리고 지수 생성 함수를 다음과 같이 제공한다.

${\displaystyle \sum _{n=k}^{\inflt }\왼쪽\{n \n \atop k}\right\}{\frac {x^{n}{n!}}}={\frac {(e^{x}-1)^{k}}{k!}}.}$

두 번째 종류의 스털링 번호에 대한 혼합 이바리산 생성 함수는

${\displaystyle \sum _{0\leq k\leq n}\leq n}\왼쪽\{n \n \atop k}\right\}{\frac {x^{n}}{n!}}}}{k}=e^{y(e^{x}-1)}.}$

점근 근사치

$고정값{\displaystyle }$k$$, {\$displaystyle$k,}의 $경우{\displaystyle }$ n${\displaystyle }$→$【\displaystyle n\rightarrow \infit 】$로 두 번째 종류의 스털링 번호의 점증적$$ 값은 다음과$$ 같다.

${\displaystyle \left\{nn \atop k}\right\}\sim {\frac {k^{n}}{k!}}.}$

다른 쪽에서는 $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle o}$( ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle k=o({\sqrt{n}})}($여기서 o는 little o 표기법을 나타냄)이면 다음과 같다.

${\displaystyle \left\{n \atop n-k}\right\}\sim {\frac {(n-k)^{2^{k}k!}}}}\왼쪽(1+{\frac{1}{3}}{\frac {2k^{2}+k}{n-k}{18}{18}}{\frac {4k^{4}-k^{2}-3k}{(n-k)^{2}}+\cdots \rig).}$^[13]

또한 균일하게 유효한 근사치가 존재한다: 1 < k < n>과 같은 모든 k에 대하여, 1은 다음과 같다.

${\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}\sim {\sqrt {\frac {v-1}{v(1-G)}}}\left({\frac {v-1}{v-G}}\right)^{n-k}{\frac {k^{n}}{n^{k}}}e^{k(1-G)}\left({n \atop k}\right),}$

여기서 $v{\displaystyle }$= ${\displaystyle n}$/ k ${\displaystyle v=n/k}$및 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$(${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle G\in (0,1$)은 $G{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle v^{}}$ - ${\displaystyle v^{}}$ ${\$에 대한 고유한 솔루션이며$$^[14]상대적 오류는${\displaystyle \mathrm{}약}$ 0.${\displaystyle 066}$/ n ${\displaysty 0.066/n}$에 의해 제한된다$.$

적용들

포아송 분포의 모멘트

X가 포아송 분포를 갖는 기대값 λ의 랜덤 변수인 경우, 그 n번째 모멘트는 다음과 같다.

${\displaystyle E(X^{n})=\sum _{k=1}^{n}\왼쪽\{n \n \atop k}\right\}\lambda ^{k}.}$

특히 기대값 1을 가진 포아송 분포의 n번째 순간은 정확히 n번째 크기 n의 칸막이 수, 즉 n번째 벨 번호(이 사실은 도비셰스키 공식)이다.

랜덤 순열의 고정점 모멘트

변량 변수 X를 크기 m의 유한 집합의 균일하게 분포된 변량 순열의 고정점 수로 한다.그렇다면 X의 n번째 순간은

${\displaystyle E(X^{n}}=\sum _{k=1}^{m}\왼쪽\{n \atop k}\right\}.}$

주: 합계의 상한은 n이 아니라 m이다.

즉, 이 확률 분포의 n번째 순간은 m 부분 이하의 크기 n의 파티션 집합의 수입니다.이것은 표기법이 조금 다르지만 임의 순열 통계에 관한 글에서 증명된다.

운율 체계

두 번째 종류의 스털링 숫자는 n행 시의 운율 체계 총수를 나타낼 수 있다.${\displaystyle S}$( ${\displaystyle n}$, k${\displaystyle }$) ${\displaystyle S(n,k)}$는 k 고유의 운율 음절을 사용하여 n줄에 대해 가능한 운율 체계 수를 제공한다$$.예를 들어, 3행시의 경우 단 하나의 운(aaaa)을 사용한 1행, 2행(aab, aba, abb)을 사용한 3행, 3행(abc)을 사용한 1행( rhyme)이 있다.

변형

제2종 스털링 관련 번호

두 번째 종류의 r 관련 스털링 번호는 n개의 개체 집합을 k 하위 집합으로 분할하는 방법의 수입니다. 각 하위 집합에는 최소한 r 요소가 포함되어 있다.^[15]$S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$( ${\displaystyle n}$, k${\displaystyle }$) ${\displaystyle S_{r}(n,k)}($으)로 표시되며$$, 재발 관계에 따른다.

${\displaystyle S_{r}(n+1,k)=k\S_{r}(n,k)+{\binom {n}{r-1}{r-1}(n-r+1,k-1)}$

2 관련 숫자(OEIS에서 순서 A008299)는 다른 곳에서는 "Ward number" 및 Mahler 다항식 계수의 크기로 나타난다.

두 번째 유형의 스털링 수 감소

정수 1, 2, ..., n으로 분할할 n개의 객체를 나타낸다. 두 번째 종류의 축소된 스털링 숫자를 정의하십시오. $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle d^{}}$( ${\displaystyle n,}$ k$){\dstyle S^{d}(n,k$ n을 각 부분 집합의 모든 원소가 최소한 dwise 거리를 갖는 k 비빈 하위 집합으로 분할할 수 있는 방법의 수입니다.즉, 주어진 부분 집합에 있는 정수 i와 j에 ${\displaystyle 대해}$i - ${\displaystyle jd}$ d$${\$displaystyle i-j \geq$d}이(가) 필요하다$.$ 이 숫자들이 만족하는 것으로 나타났다.

${\dplaystyle S^{d}(n,k)=S(n-d+1,k-d+1),n\geq k\geq d}$

("reduced"라는 이름을 붙인다).^[16](${\displaystyle \mathrm{정의상}}$ 및 ${\displaystyle \mathrm{감소}}$ 공식에 의한) ${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$ 1${\displaystyle {}^{}}$( n${\displaystyle }$, ${\displaystyle k}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle S}$(${\displaystyle }$, k${\displaystyle }$) ${\displaystyle S^{1}(n,k)=S(n,k$ 두 번째 종류의 익숙한 스털링 번호를 관찰하십시오.

참고 항목

• 벨 번호 – 멤버가 n개인 집합의 파티션 수
• 제1종 스털링 넘버
• 스털링 다항식
• 십이배길
• Wikiversity에서 파티션 관련 숫자 삼각형 관련 학습 자료

참조

• Boyadzhiev, Khristo (2012). "Close encounters with the Stirling numbers of the second kind". Mathematics Magazine. 85 (4): 252–266. arXiv:1806.09468. doi:10.4169/math.mag.85.4.252..

• "Stirling numbers of the second kind, S(n,k)". PlanetMath..
• Weisstein, Eric W. "Stirling Number of the Second Kind". MathWorld.
• 제2종 스털링 넘버 계산기
• 파티션 설정:스털링 넘버
• Jack van der Elsen (2005). Black and white transformations. Maastricht. ISBN 90-423-0263-1.