공손수

시각적으로 정중한 확장 15 = 4 + 5 + 6을 나타내는 젊은 다이어그램

수 이론에서, 정중한 숫자는 두 개 이상의 연속적인 양의 정수의 합으로 쓰여질 수 있는 양의 정수다.공손하지 않은 양의 정수를 무례하다고 한다.^[1]^[2]무례한 숫자는 정확히 2의 힘이고, 공손한 숫자는 2의 힘이 아닌 자연적인 숫자다.

공손한 숫자들은 계단 번호라고도 불리는데, 이는 연속된 정수(이 도표를 그리는 프랑스어 표기법에서)로 공손한 숫자의 칸막이를 그래픽으로 나타내는 영 도표가 계단과 닮았기 때문이다.^[3]^[4]^[5]합계의 모든 숫자가 1보다 절대적으로 크면, 그렇게 형성된 숫자는 사다리꼴로 배열된 점의 패턴을 나타내기 때문에 사다리꼴 숫자라고도 불린다.^[6]^[7]^[8]^[9]^[10]^[11]^[12]

숫자를 연속 정수의 합으로 나타내고 이러한 유형의 표현 수를 계산하는 문제는 실베스터,^[13] 메이슨,^[14]^[15] 레베크 ^[16]및 다른 최근 저자들에 의해 연구되었다.^[1]^[2]^[17]^[18]^[19]^[20]^[21]^[22]^[23]정중한 숫자는 라인하르트 다각형의 가능한 면수를 묘사한다.^[24]

예시 및 특성화

처음 몇 개의 정중한 숫자는

3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, ... (sequence A138591 in the OEIS).

그 무례한 숫자는 정확히 두 개의 힘이다.^[13]람베크-모저 정리로부터 n번째 정수는 f(n + 1)이며, 여기서 다음과 같다.

f(n)=n+\left\lfloor \log _{2}\left(n+\log _{2}n\right)\right\right\private\loor .

공손함

양수의 공손함은 연속 정수의 합으로 표현할 수 있는 방법의 수로 정의된다.모든 x에 대해 x의 공손성은 1보다 큰 x의 홀수 구분자의 수와 같다.^[13]숫자 1, 2, 3, ...의 예의는 다음과 같다.

0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 3, ... (OEIS의 경우 순서 A069283).

예를 들어, 9의 예의는 3과 그 자체, 그리고 2의 정중한 표현을 가지고 있기 때문에 2이다.

9 = 2 + 3 + 4 = 4 + 5;

15의 예절은 3이다. 왜냐하면 3의 이상한 점, 3, 5, 15의 점, 그리고 (배추 선수들에게 익숙한) ^[25]3개의 공손한 표현이 있기 때문이다.

15 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 7 + 8.

숫자를 주요 요소로 분해하고, 2보다 큰 모든 주요 요인의 힘을 모두 더하여, 1을 더하고, 이렇게 얻은 숫자를 서로 곱하고, 1을 빼서, 양수의 공손함을 계산하는 쉬운 방법.예를 들어 $90=2\times 3^{2}\times 5^{1}$ = $90=2\times 3^{2}\times 5^{1}$ $90=2\times 3^{2}\times 5^{1}$ $90=2\times 3^{2}\times 5^{1}$ $90=2\times 3^{2}\times 5^{1}$ $90=2\times 3^{2}\times 5^{1}$ $90=2\times 3^{2}\times 5^{1}$ $90=2\times 3^{2}\times 5^{1}$ ${\$ 3 $^{2}\times$ 5 $^{1$ 3과 5의 힘은 각각 2와 1이고, 이 방법을 적용하면 $(2+1)\times (1+1)-1=5$ ( $2$ + $(2+1)\times (1+1)-1=5$ ) $(2+1)\times (1+1)-1=5$ ( $(2+1)\times (1+1)-1=5$ + 1 $(2+1)\times (1+1)-1=5$ ) - $(2+1)\times (1+1)-1=5$ = $(2+1)\times (1+1)-1=5$ ${\displaystystyleyle (2+1)-$ 1=5}\ $time)-1=$ 5 $(2+1)\times (1+1)-1=5$

홀수 구분자로부터의 공손한 표현 구성

홀수 구분자와 공손한 표현 사이의 연결을 보려면 숫자 x가 홀수 구분선 y보다 1이라고 가정하십시오.그런 다음 x/y를 중심으로 한 y 연속 정수(평균 값이 x/y가 되도록)의 합은 다음과 같다.

x=\sum _{i={\frac {x}{y}-{\frac {y-1}{2}}^{\frac {x}{y}+{\frac {y-1}i.}

이 합계의 일부 항은 0이거나 음수일 수 있다.만약 한학기 0 하지만, 이것은 그리고 어떠한 부정적인 말 긍정적인 것을 취소하는 데 사용될 수 있다는 것인데에 공손한 표현은<y(요건, 요구 사항은 공손한 표현 한번 이상 중임에 1해당하며;y=1에 대한 동일한 구조 적용되는 단지 사소한 것들은 단임 repres로 이어질 것을 생략할 수 있다.entation x = x.)예를 들어, 공손한 숫자 x = 14는 비비례적인 홀수 구분자 7을 가지고 있다.따라서 이 값은 14/7 = 2를 중심으로 한 7개의 연속된 숫자의 합이다.

14 = (2 − 3) + (2 − 2) + (2 − 1) + 2 + (2 + 1) + (2 + 2) + (2 + 3).

첫 번째 용어인 -1은 이후 +1을 취소하고, 두 번째 용어인 0은 생략할 수 있어 공손한 표현으로 이어질 수 있다.

14 = 2 + (2 + 1) + (2 + 2) + (2 + 3) = 2 + 3 + 4 + 5.

반대로, x의 모든 공손한 표현은 이 구조로부터 형성될 수 있다.If a representation has an odd number of terms, x/y is the middle term, while if it has an even number of terms and its minimum value is m it may be extended in a unique way to a longer sequence with the same sum and an odd number of terms, by including the 2m − 1 numbers −(m − 1), −(m − 2), ..., −1, 0, 1, ..., m − 2, m − 1. After this extension,다시 말하지만, x/y는 중간학기다.이 구성에 의해, 한 수보다 큰 숫자의 공손한 표현과 그 홀수들이 일대일 서신에 배치되어, 정중한 숫자와 공손함의 특성화에 대한 객관적 증거를 제공할 수 있다.^[13]^[26]보다 일반적으로, 동일한 아이디어는 다른 한편으로 연속 정수(영(0, 음수, 단기간 표현 허용)의 합과 다른 한편으로 홀수 구분자(1 포함) 사이의 2대 1의 대응성을 제공한다.^[15]

이 결과의 또 다른 일반화는 n의 경우, 구별되는 값을 갖는 홀수 n의 파티션 수는 연속된 숫자의 k 최대 런을 갖는 구별된 숫자의 n의 파티션 수와 같다는 것이다.^[13]^[27]^[28]여기서 런은 다음 번 큰 값과 다음 작은 연속 값이 파티션의 일부가 아닌 하나 이상의 연속된 값이다. 예를 들어 파티션 10 = 1 + 4 + 5는 1 + 5의 2 런을 가진다. 공손한 표현은 단일 런을 가지며, 하나의 값 d를 갖는 파티션은 제품 d ⋅ (n/d)과 같이 n의 인수화와 같다.따라서 이 결과의 특별한 사례 k = 1은 다시 공손한 표현과 홀수 요인(이 경우 사소한 표현 n = n과 사소한 홀수 요인 1) 사이의 동등성을 명시한다.

사다리꼴 수

만약 공손한 표현이 1로 시작된다면, 그렇게 표현된 숫자는 삼각형이다.

T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}=1+2+\cdots +n.

그렇지 않으면 두 개의 비연속 삼각형의 차이다.

i+(i+1)+(i+2)+\cdots +j=T_{j}-T_{i-1}\quad (j>i\geq 2)

이 두 번째 경우를 사다리꼴 번호라고 한다.^[12]사다리꼴이 아닌 정중한 숫자도 고려할 수 있다.앞에서 설명한 편향에 따르면, 그러한 숫자의 경우, 홀수 구분자는 삼각형 표현에 해당하며 다른 공손한 표현이 있을 수 없기 때문에, 그러한 숫자만 비비례적인 홀수 구분자를 가진 삼각형 숫자일 뿐이다.그러므로 비사형적 예의 숫자는 2의 힘에 홀수 프라임을 곱한 형태를 가져야 한다.존스와 주님이 관찰한 바와 같이,^[12] 이 형식을 가진 삼각형 숫자의 두 가지 유형이 정확히 있다.

메르센 프라임 2ⁿ - 1의 산물로 형성되는 짝수^{n − 1} 2ⁿ(2 - 1)와 가장 가까운 2의 절반의 힘으로 형성되고
페르마 프라임 2ⁿ + 1의 제품^{n − 1} 2ⁿ(2 + 1)에 가장 가까운 2의 절반의 힘을 가한다.

(OEIS에서 시퀀스 A068195).예를 들어, 완벽한 숫자 28 = 2(2^{3 − 1}³ - 1)과 숫자 136 = 2^{4 − 1}(2⁴ + 1)는 둘 다 이런 종류의 예의 숫자다.메르세네 프리마임이 무한히 많은 것으로 추측되는데, 이 경우 이런 유형의 예의바른 숫자도 무한히 많다.

참조

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외부 링크

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R. Knott의 Runsum 소개.
사다리꼴 숫자 집합에 패턴이 있는가?2003년 10월 2일 오늘의 질문.확장의 항 수에 따라 사다리꼴 숫자가 색상으로 구분되어 표시되는 다이어그램.

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예시 및 특성화

공손함

홀수 구분자로부터의 공손한 표현 구성

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