디지털 루트

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주어진 라디스에서 자연수의 디지털 루트(또한 반복된 디지털 합계)는 숫자 합계를 계산하기 위해 이전 반복의 결과를 사용하여 각 반복에서 자릿수를 합산하는 반복적인 프로세스에 의해 얻은 (한 자릿수) 값이다. 그 과정은 한 자리 수에 도달할 때까지 계속된다. 예를 들어, 베이스 10에서 숫자 12345의 디지털 루트는 숫자의 합이 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15이기 때문에 숫자 12345의 디지털 루트는 6이며, 그 다음 결과 숫자 15에 대해 추가 과정을 다시 반복하여 1 + 5의 합은 그 숫자의 디지털 루트인 6과 같다. 베이스 10에서, 이는 9만큼 분할할 때 나머지를 취하는 것과 같다(디지털 루트가 9인 경우는 제외하며, 나머지 9는 0인 경우는 제외).

형식 정의

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$을(를) 자연수가 되게$$ 하라. > ${\displaystyle b>1}$의경우 숫자 합계 ${\displaystyle F_{}}$ b${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle N\mathbb{}}$→ N ${\$ {$N}을($를) 다음과$$ 같이 정의한다.

${\displaystyle F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}}}}$

여기서 $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle \lfloor }$ ${\displaystyle {log}_{}}$ b${\displaystyle {}_{}nn+}$ + ${\displaystyle 1}${\$displaystyle k=\lfloor \log _{b$}\$n}\proper$ loor$+1}$는 $기본{\displaystyle }$ b ${\displaystyle b$ 및

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}-n-{\bmod {b}^{i}}}{b^{i}}}}}}}:{b^{i}}}}}}}}}}}$

숫자의 각 자릿수 값이다. 자연수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이$($${\displaystyle 가}$) $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle b_{}}$ ${\$의 고정점이라면 디지털 루트인데, F b (${\displaystyle n_{}}$) = ${\displaystyle F_{b}(n)=n}$이면 발생한다$.$

모든 자연수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$은(는) 베이스에 관계없이 F ${\displaystyle b_{}}$ ${\$에 대한 사전 주기적 지점이다$.$ $왜냐하면{\displaystyle }$ n${\displaystyle b}$ b$${\$displaystyle$ n$\geq$ b$}$이면$,$

${\displaystyle n=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}b^{i}}}}}$

따라서

${\displaystyle F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}<\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}b^{i}=n}$

b > 1{\$displaystyle$ b$>1$ n< {\$displaystyle n<b}$이가) 있다면, 그 다음은 하찮은 것이다.

${\displaystyle F_{b}(n)=n}$

따라서 가능한 유일한 디지털 뿌리는 자연수 < > ${\displaystyle$ 0$\$$leq n<b}$이고 $b>$의 고정점 이외에는 주기가 없다

예

base 12에서 8은${\displaystyle }n{\displaystyle }$ = ${\displaystyle 3110}$ ${\displaystyle n=3110}$과 같이 base 10 number 3110의 가법 디지털 루트다.

${\displaystyle d_{0}={\frac {3110{\bmod {12^{0+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{0}}{12^{0}}}={\frac {3110{\bmod {12}}-3110{\bmod {1}}}{1}}={\frac {2-0}{1}}={\frac {2}{1}}=2}$

${\displaystyle d_{1}={\frac {3110{\bmod {12^{1+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{1}}{12^{1}}}={\frac {3110{\bmod {144}}-3110{\bmod {1}}2}{12}}={\frac {86-2}{12}}={\frac {84}{12}}=7}$

${\displaystyle d_{2}={\frac {3110{\bmod {12^{2+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{2}}{12^{2}}}={\frac {3110{\bmod {1728}}-3110{\bmod {1}}44}{144}}={\frac {1382-86}{144}}={\frac {1296}{144}}=9}$

${\displaystyle d_{3}={\frac {3110{\bmod {12^{3+1}}}-3110{\bmod {1}}2^{3}}{12^{3}}}={\frac {3110{\bmod {20736}}-3110{\bmod {1}}728}{1728}}={\frac {3110-1382}{1728}}={\frac {1728}{1728}}=1}$

${\displaystyle F_{12}(310)=\sum _{i=0}^{4-1}d_{i}=2+7+9+1=19}$

이 과정은 3110이 베이스 12에서 1972년이라는 것을 보여준다. F ${\displaystyle {12}_{}310}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 19}$ ${\displaystyle F_{12}(310)=19}$

${\displaystyle d_{0}={\frac {19{\bmod {12^{0+1}}}-19{\bmod {1}}2^{0}}{12^{0}}}={\frac {19{\bmod {12}}-19{\bmod {1}}}{1}}={\frac {7-0}{1}}={\frac {7}{1}}=7}$

${\displaystyle d_{1}={\frac {19{\bmod {12^{1+1}}}-19{\bmod {1}}2^{1}}{12^{1}}}={\frac {19{\bmod {144}}-19{\bmod {1}}2}{12}}={\frac {19-7}{12}}={\frac {12}{12}}=1}$

${\displaystyle F_{12}(19)=\sum _{i=0}^{2-1}d_{i}=1+7=8}$

19는 12루에서 17이다. 8은 베이스12의 1자리 숫자니까

${\displaystyle F_{12}(8)=8}$

직접 공식

b > 1{\$displaystyle b>1$}${\displaystyle r_{}}$ $:$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ → N ${\$에 대한 자릿수 루트를 다음과 같은 방법으로$$ 직접 정의할 수 있다.

응집식

$base{\displaystyle }$ b ${\displaystyle b}$의 공식은 다음과$$ 같다.

${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(n)={\begin{cases}0&{\mbox{if}}\ n=0,\\b-1&{\mbox{if}}\ n\neq 0,\ n\ \equiv 0{\bmod {b-1}},\\n\ {\rm {mod}}\ (b-1)&{\mbox{if}}\ n\not \equiv 0{\bmod {b-1}}\end{cases}}}$

또는

${\displaystyle \dr} _{b}(n)={\case}0&{\mbox{if}\n=0,\1\+\(n-1)\\\\rm {mod}\(b-1)\{\mbox{neq 0.\end{case}}}$

베이스 10에서 해당 시퀀스는 (OEIS의 시퀀스 A010888)이다.

The digital root is the value modulo ${\displaystyle b-1}$ because ${\displaystyle b\equiv 1{\bmod {b-1}},}$ and thus ${\displaystyle b^{k}\equiv 1^{k}\equiv 1{\bmod {b-1}},}$ so regardless of position, the value ${\displaystyle n{\bmod {b}}-1}$$$ $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \equiv }$ a ${\displaystyle mod}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \mathrm{b}}$ -${\displaystyle }$1 ${\$ a${\bmod{b-1}}$ $$- 이 때문에 숫자가 의미 있게 추가될 수 있다. 구체적으로 세 자리 수 $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {b\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$+ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {b\mathrm{}}^{}}$ 1${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$ ${\$에 대해 구체적으로 말한다.

${\displaystyle \operatorname {dr} _{b}(n)\equiv a_{1}b^{2}+a_{2}b^{1}+a_{3}b^{0}\equiv a_{1}(1)+a_{2}(1)+a_{3}(1)\equiv (a_{1}+a_{2}+a_{3}){\bmod {b-1}}}$.

다른 숫자 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$과$($와) 관련된 모듈 값을 구하려면 가중치를 부여한 합을 구하면 되는데, $여기$서 k ${\displaystyle k}$ -th번째$$ 자릿수의 가중치는 $b{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$ ${\$ 모듈로$$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystystyle$n}의 값에 해당된다$.$ 베이스 10에서 이는 더 높은 자릿수가 있는 2, 5, 10에 대해 가장 간단하다.h (2와 5를 나누기 때문에 10을 나누기 때문에) 이것은 2, 5, 10에 대한 소수점의 구분성을 마지막 자리(0, 2, 4, 6 또는 8로 끝나는 짝수)로 확인할 수 있다는 익숙한 사실에 해당한다.

Also of note is the modulus ${\displaystyle n=b+1}$: since ${\displaystyle b\equiv -1{\bmod {b+1}},}$ and thus ${\displaystyle b^{2}\equiv (-1)^{2}\equiv 1{\pmod {b+1}},}$ taking the alternating sum of digits yields the value modulo ${\dis$$플레이$ 스타일 $b+1$

바닥 기능 사용

양수의 디지털 루트를 숫자 자체보다 적은$$ $b{\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle b-1}$의 가장 큰 배수에 대해 보유하고 있는 위치로 볼 수 있도록 돕는다. For example, in base 6 the digital root of 11 is 2, which means that 11 is the second number after ${\displaystyle 6-1=5}$. Likewise, in base 10 the digital root of 2035 is 1, which means that ${\displaystyle 2035-1=2034 9}$. If a number produces a digital root of exactly ${\displaystyle b-1}$$$, 그리고 그 $숫자$는${\displaystyle }$b - $1의 배수$가 된다$.$

이를 염두에 두고 양의 정수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 디지털 루트는 바닥 함수${\displaystyle }$⌊ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \rfloor }$ ${\displaystyle \lfloor }$을$($를) 사용하여 정의할 수 있다$$.

${\displaystyle \dr} _{b}(n)=n-(b-1)\왼쪽\lfloor {\frac{n-1}{b-1}\오른쪽\loor .}$

특성.

• 베이스 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$에 ${\displaystyle {}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}의 디지털 루트는 $1{\displaystyle {}_{}}$ ${\$1}의 디지털 루트와 ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}의 디지털 루트를 합한 값으로, 합계가$$ 수행되었는지 확인하는 데 이 속성을 사용할 수 있다$.$바르게 에딩하다

${\displaystyle \dr} _{b}(a_{1}+a_{2})=\dr} _{b}(\drname {dr}) _{b}(a_{1}}+\drname {dr} _{b}(a_{2}).}$

• 기본 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$에 ${\displaystyle {}_{}}$ $1{\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}${\displaystyle {개}_{}}$의 디지털 루트와 1$$ ${\$의 모듈로$$ $b\_{\displaystyle 1}$ -$${\$displaystyle b-1}$의 디지털 루트의 차이와 일치한다$.$

${\displaystyle \dr} _{b}(a_{1}-a_{2})\equiv(\bname {dr} _{b}(a_{1})-\bmod {b-1}.}$

• 기본$$ $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$에 있는${\displaystyle \mathrm{-n}}$ ${\displaystyle -n}$의 디지털 루트:

${\displaystyle \dr} _{b}(-n)\equiv -\drname {dr} _{b}(n){\bmod {b-1}.}$

• $0$이 아닌 한 자릿수 번호 $a{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ a ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}} b$}$의 기본 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$에 있는 Vedic Square에 의해 디지털 루트가 제공된다$.$
• 베이스 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$에 ${\displaystyle {있는\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ 2 ${\$}}의 디지털 루트는 ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$}의 디지털 루트와$$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$2}}의 디지털 루트의 제품이다$.$

${\displaystyle \dr} _{b}(a_{1}a_{2})=\dr} _{b}(\drname {dr}_{b}(a_{1})\cdot \dr} _{b}(a_{2}).}$

첨가 지속성

부가적인 지속성은 디지털 뿌리에 도달하기 위해 얼마나 많은 숫자를 합해야 하는지를 계산한다.

예를 들어, 베이스 10에서 2718의 첨가제 지속성은 2: 2: 먼저 2 + 7 + 1 + 8 = 18, 그 다음 1 + 8 = 9이다.

숫자 기준 $b{\displaystyle }${\$displaystyle b}$에 있는 숫자의 덧셈 지속성에는 제한이 없다$.$ 증명: 주어진 숫자 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$에 대해$,$ 숫자 1의 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ n$}$ 반복으로$$ 구성된 숫자의 지속성은 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 그것보다 1 더 높다$.$ 베이스 10에서 가장 적은 수의 첨가 지속성 0, 1, ...은 다음과 같다.

0, 10, 19, 199, 19 999 999 999 999 999, ... (OEIS에서 시퀀스 A006050)

시퀀스에서 다음 숫자(적층 지속성 5의 가장 작은 수)는^{2×(1022 − 1)/9} 2 × 10 - 1이다(즉, 1은 2 222 222 222 222 222 222 니네). 고정된 베이스의 경우, 숫자의 합은 그 로그에 비례하므로, 가법 지속성은 반복된 로그에 비례한다.^[1]

프로그래밍 예제

아래 예는 파이썬에서 디지털 루트 및 첨가제 지속성을 검색하기 위해 위 정의에 기술된 자릿수 합계를 구현한다.

반항하다 digit_sum(x: 인트로, b: 인트로) -> 인트로:     총계 = 0     하는 동안에 x > 0:         총계 = 총계 + (x % b)         x = x // b     돌아오다 총계  반항하다 digital_root(x: 인트로, b: 인트로) -> 인트로:     보이는 = 세트()     하는 동안에 x 아닌 에 보이는:         보이는.덧셈을(x)         x = digit_sum(x, b)     돌아오다 x  반항하다 addressed_가법(x: 인트로, b: 인트로) -> 인트로:     보이는 = 세트()     하는 동안에 x 아닌 에 보이는:         보이는.덧셈을(x)         x = digit_sum(x, b)     돌아오다 렌(보이는) - 1 

대중문화에서

디지털 뿌리는 서양의 숫자에 쓰이지만, 불가사의한 의미를 갖는다고 생각되는 특정 숫자(예: 11과 22)가 항상 한 자릿수로 완전히 줄어드는 것은 아니다.

디지털 뿌리는 시각 소설 모험 게임인 나인 아워즈, 나인 퍼스, 나인 도어즈에서 중요한 기술자를 형성한다.

참고 항목

참조

• Averbach, Bonnie; Chein, Orin (27 May 1999), Problem Solving Through Recreational Mathematics, Dover Books on Mathematics (reprinted ed.), Mineola, NY: Courier Dover Publications, pp. 125–127, ISBN 0-486-40917-1 (온라인 카피, 페이지 125, Google Books)
• Ghannam, Talal (4 January 2011), The Mystery of Numbers: Revealed Through Their Digital Root, CreateSpace Publications, pp. 68–73, ISBN 978-1-4776-7841-1, archived from the original on 29 March 2016, retrieved 11 February 2016 (온라인 카피, 페이지 68, Google 북스)
• Hall, F. M. (1980), An Introduction into Abstract Algebra, vol. 1 (2nd ed.), Cambridge, U.K.: CUP Archive, p. 101, ISBN 978-0-521-29861-2 (온라인 카피, 페이지 101, Google 북스)
• O'Beirne, T. H. (13 March 1961), "Puzzles and Paradoxes", New Scientist, Reed Business Information, 10 (230): 53–54, ISSN 0262-4079 (온라인 카피, 페이지 53, Google Books)
• Rouse Ball, W. W.; Coxeter, H. S. M. (6 May 2010), Mathematical Recreations and Essays, Dover Recreational Mathematics (13th ed.), NY: Dover Publications, ISBN 978-0-486-25357-2 (Google Books의 온라인 사본)

외부 링크

• MS Excel을 이용한 디지털 루트 패턴
• Weisstein, Eric W. "Digital Root". MathWorld.