아킬레스 수

아킬레스 숫자는 강력하지만 완벽한 힘은 아닌 숫자다.^[1]양의 정수 n은 n의 모든 주요 인자 p에 대해 p도² 디비저인 경우 강력한 숫자다.즉, 모든 주요 인자는 최소한 인자화에서 제곱되어 나타난다.모든 아킬레스건수는 강력하다.그러나 모든 강력한 숫자가 아킬레스 숫자인 것은 아니다. 여기서 m과 k는 1보다 큰 양의 정수인 m으로^k 나타낼 수 없는 숫자만 그렇다.

아킬레스 수는 역시 강력하지만 불완전한 트로이 전쟁의 영웅 아킬레우스의 이름을 따서 헨리 보틀리가 지었다.강한 아킬레스 수는 오일러의 기울기도 아킬레스 수인 아킬레스 수이다.^[2]

아킬레스 수열

숫자 n = pp1a12a2…p는kakk 최소(a1, a2, a, …) ≥ 2. gcd(a1, a2, ak, …) = 1을 더하면 아킬레스 숫자다.

최대 5000개의 아킬레스 숫자는 다음과 같다.

72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968, 972, 1125, 1152, 1323, 1352, 1372, 1568, 1800, 1944, 2000, 2312, 2592, 2700, 2888, 3087, 3200, 3267, 3456, 3528, 3872, 3888, 4000, 4232, 4500, 4563, 4608, 5000 (sequence A052486 in the OEIS).

연속된 아킬레스 숫자의 최소 한 쌍은 다음과 같다.^[3]

5425069447 = 7³ × 41² × 97²

5425069448 = 2³ × 26041²

예

108은 강력한 숫자다.그것의 주요 요소는 2, 3이고²³, 따라서 2, 3이다.2² = 4와 3² = 9는 모두 108의 디비저다.그러나 108은 m으로^k 나타낼 수 없으며, 여기서 m과 k는 1보다 큰 양의 정수이므로 108은 아킬레스 수이다.

360은 힘이 없기 때문에 아킬레스 숫자가 아니다.그것의 주요 요인 중 하나는 5이지만 360은 5 = 25로² 나누어지지 않는다.

마지막으로 784는 아킬레스건이 아니다.2와 7만이 주요 요인일 뿐 아니라 2² = 4와 7² = 49가 그것의 단점이기 때문에 강력한 숫자다.그럼에도 불구하고, 그것은 완벽한 힘이다.

${\displaystyle 784=2^{4}\cdot 7^{2}=(2^{2})^{2}=(2^{2}\cdot 7)^{2}={2}=28^\,}$

그래서 그것은 아킬레스건이 아니다.

500 = 2² × 5는³ 오일러 총계 200 = 2³ × 5도² 아킬레스 수로서 강력한 아킬레스 수이다.

참조