패리티(수학)

Parity (mathematics)
다른 용도는 패리티(동음이의)를 참조하십시오.
"홀수"는 여기서 리다이렉트 됩니다.1962년 아르헨티나 영화의 경우 홀수(영화)를 참조하십시오.
요리봉 : 5개(노란색)는 2개(빨간색)로 균등하게 나눌 수 없고, 6개(진녹색)는 2개×3(라임그린)으로 균등하게 나눌 수 있습니다.

수학에서 패리티는 짝수인지 홀수인지에 대한 정수의 특성입니다.정수는 2의 배수인 경우 짝수이고,[1] 그렇지 않은 경우 홀수입니다.예를 들어 -4, 0, 82는 짝수입니다.

반면 -3, 5, 7, 21은 홀수입니다.위의 패리티 정의는 정수에만 적용되므로 1/2 또는 4.201과 같은 숫자에는 적용할 수 없습니다.더 큰 등급의 "숫자" 또는 다른 일반적인 설정으로 패리티 개념을 확장하려면 아래의 "고급 수학" 섹션을 참조하십시오.

짝수와 홀수는 서로 반대 패리티를 가지며, 예를 들어 22(짝수)와 13(홀수)은 서로 반대 패리티를 갖습니다.특히 0의 패리티는 [2]짝수입니다.연속되는 2개의 정수는 반대 패리티를 가집니다.10진법으로 표현되는 수(즉 정수)는 마지막 자릿수가 짝수인지 홀수인지에 따라 짝수인지 홀수인지를 판정한다.즉, 마지막 자리가 1, 3, 5, 7, 또는9일 경우 홀수이고 짝수일 경우 짝수입니다.짝수일 경우 짝수의 마지막 자리가 0, 2, 4, 6, 또는8 이 됩니다.같은 아이디어는 어떤 균등 베이스에서도 유효합니다.특히 이진법으로 표현되는 숫자는 마지막 숫자가 1이면 홀수이고 마지막 숫자가 0이면 홀수입니다.홀수 베이스에서는, 숫자는 그 자리수의 합계에 따라서 짝수입니다.이 숫자는 그 자리수의 합계가 [3]짝수인 경우에만 짝수입니다.

정의.

짝수는 형식의 정수입니다.

여기서 k는 [4]정수이고 홀수는 형식의 정수입니다.

짝수는 2로 나눌 수 있다는 것도 같은 정의입니다.

홀수 값은 다음과 같습니다.

짝수 및 홀수 집합은 다음과 [5]같이 정의할 수 있습니다.

짝수 세트는 ZZ})의 정규 서브그룹으로 인자 Z/Z/를 작성합니다.패리티는 ZZ/2Z})에서 ZZ/})까지의 으로 정의할 수 있습니다.여기서 홀수는 1과 짝수입니다.이 동형사상의 결과는 아래에서 다루어진다.

특성.

다음의 법칙은 나눗셈의 속성을 사용하여 검증할 수 있다.모듈러형 산술에서 규칙의 특수한 경우이며, 각 변의 패리티를 테스트하여 동등성이 올바른지 여부를 확인하는 데 일반적으로 사용됩니다.일반 산술과 마찬가지로 곱셈과 덧셈은 모듈로2 산술에서 가환적, 연상적이며 곱셈은 덧셈에 대해 분배적이다.그러나 modulo 2의 뺄셈은 덧셈과 동일하기 때문에 뺄셈도 이러한 성질을 가지며, 이는 일반 정수 산술에서는 해당되지 않습니다.

덧셈과 뺄셈

  • 짝수 ± 짝수 = [1]짝수;
  • 짝수 ± 홀수 = [1]홀수;
  • 홀수 ± 홀수 = 짝수;[1]

곱셈

  • 짝수 × 짝수 = 짝수;[1]
  • 짝수 × 홀수 = [1]짝수;
  • 홀수 × 홀수 = 홀수;[1]

구조(짝수, 홀수, +, ×)는 실제로는 두 개의 요소가 있는 필드입니다.

나누기

두 정수의 나눗셈이 반드시 정수가 되는 것은 아니다.예를 들어, 1을 4로 나누면 1/4이 됩니다. 짝수와 홀수의 개념은 정수에만 적용되기 때문에 짝수도 홀수도 아닙니다.그러나 몫이 정수일 경우, 배당금이 [6]제수보다 2의 인자를 더 많이 가질 경우에만 해당됩니다.

역사

고대 그리스인들은 모나드 1을 완전히 홀수도 아니고 완전히 [7]짝수도 아니라고 여겼다.이러한 감정 중 일부는 19세기까지 존속했다.Friedrich Wilhelm August Fröbel의 1826 The Education of Man은 1은 짝수도 아니고 홀수도 아니라는 주장으로 학생들을 훈련시키도록 교사에게 지시하고, Fröbel은 이에 철학적 여운을 부여한다.

학생의 주의를 여기서 즉시 자연과 사상의 위대한 법칙으로 향하게 하는 것이 좋다.바로 이것입니다. 비교적 다른 두 가지 사물이나 생각 사이에는 항상 세 번째가 균형 있게 서 있고, 두 가지를 하나로 묶는 것처럼 보입니다.따라서 홀수와 짝수 사이에는 둘 다 아닌 숫자 1이 있습니다.마찬가지로, 형태에서 직각은 예각과 둔각 사이에 있고, 언어에서는 음소거와 모음 사이의 반음향 또는 지망어이다.사려 깊은 선생님과 스스로 생각하도록 가르친 학생은 이것과 다른 중요한 법들을 [8]알아채지 않을 수 없다.

고등 수학

더 높은 차원과 더 일반적인 등급의 숫자

abcdefgh
8
Chessboard480.svg
c8 black cross
e8 black cross
b7 black cross
f7 black cross
d6 black knight
b5 black cross
f5 black cross
c4 black cross
e4 black cross
c1 white bishop
f1 white bishop
8
77
66
55
44
33
22
11
abcdefgh
두 백인 비숍은 서로 반대되는 패리티의 정사각형으로 제한되며, 흑인 기사는 번갈아 패리티의 정사각형으로만 점프할 수 있습니다.

2차원 이상의 유클리드 공간에서 점의 정수 좌표도 패리티를 가지며, 일반적으로 좌표 합계의 패리티로 정의됩니다.예를 들어, 면 중심의 입방체 격자와 그 고차원적인 일반화인 D 격자는n 좌표의 합이 [9]짝수인 모든 정수점으로 구성됩니다.이 특징은 체스에서 그 자체로 나타나며, 색상으로 정사각형의 패리티가 나타납니다. 주교는 같은 패리티의 정사각형으로 제한되고 기사는 움직임 [10]간에 패리티를 번갈아 나타냅니다.이러한 형태의 패리티는 훼손된 체스보드 문제를 해결하기 위해 잘 사용되었습니다: 만약 두 개의 반대쪽 모서리 정사각형이 체스보드에서 제거된다면, 나머지 판은 도미노에 의해 덮일 수 없습니다. 왜냐하면 각 도미노는 각 패리티의 정사각형을 덮고 다른 [11]쪽보다 하나의 패리티의 정사각형이 두 개 더 있기 때문입니다.

서수의 패리티는 번호가 한계 서수이거나 한계 서수에 유한 짝수를 더한 경우에도 홀수인 것으로 정의할 수 있습니다.[12]

R을 가환환으로 하고 I를 지수 2인 R의 이상이라고 하자.0 + 0의 요소는 짝수, 1 +(\ 1의 요소는 홀수라고 할 수 있습니다.예를 들어, R = Z를(2) 소 아이디얼 (2)에서 Z의 국재화라고 하자.그러면 R의 원소가 짝수이거나 홀수일 때 그 분자가 Z에 있는 경우에만 해당됩니다.

수론

짝수는 [13]정수의 링에서 이상을 형성하지만 홀수는 그렇지 않습니다.이는 덧셈의 아이덴티티 요소인 0이 짝수만의 요소라는 사실에서 알 수 있습니다.정수는 0 modulo와 일치하더라도 이상적입니다. 즉, 0 modulo 2와 일치하면 홀수이고, 1 modulo 2와 일치하면 홀수입니다.

소수 [14]2를 제외하고 모든 소수는 홀수입니다.알려진 모든 완전수는 짝수이다; 홀수 완전수가 [15]존재하는지 여부는 알려지지 않았다.

골드바흐의 추측은 2보다 큰 모든 짝수 정수는 두 소수의 합으로 표현될 수 있다는 것이다.현대의 컴퓨터 계산에서는 이 추측이 적어도 4 × 10까지의18 정수에 대해 사실로 나타났지만, 여전히 일반적인 증거는 [16]발견되지 않았다.

군론

해결된 루빅의 복수

(추상대수에서 정의되는) 치환의 패리티는 치환을 [17]분해할 수 있는 전위수의 패리티입니다.예를 들어 (ABC) to (BCA)는 A와 B를 스왑한 후 C와 A(2개의 트랜스포지션)를 통해 짝수입니다.어떤 치환도 짝수 및 홀수 전이 모두에서 분해될 수 없다는 것을 보여줄 수 있다.따라서 위의 정의가 적합합니다.루빅스 큐브, 메가민스 및 기타 트위스트 퍼즐에서는 퍼즐의 움직임이 퍼즐 조각의 고른 배열만을 허용하기 때문에 이들 [18]퍼즐의 구성 공간을 이해하는 데 있어 패리티가 중요하다.

더 페이트-톰슨 정리는 유한군의 순서가 홀수일 경우 항상 풀 수 있다고 말한다.이것은 홀수가 "홀수 순서"라는 단순한 가설을 적용하는 방법이 [19]명확하지 않은 고급 수학 정리에서 역할을 하는 한 예이다.

분석.

함수의 패리티는 인수가 부정과 교환될 때 값이 어떻게 변화하는지를 나타냅니다.변수의 짝수 제곱과 같은 짝수 함수는 모든 인수에 대해 부정과 같은 결과를 제공합니다.변수의 홀수 거듭제곱과 같은 홀수 함수는 인수의 부정이 주어졌을 때 인수의 결과에 대한 부정을 제공합니다.함수가 홀수도 짝수도 아닐 수 있고, f(x) = 0인 경우 홀수도 [20]짝수도 될 수 있습니다.짝수 함수의 테일러 급수는 짝수인 항만 포함하고 홀수 함수의 테일러 급수는 홀수인 [21]항만 포함합니다.

조합 게임 이론

조합 게임 이론에서 악수는 2진수 표현에서 짝수 1을 갖는 숫자이고, 악수는 2진수 표현에서 홀수 1을 갖는 숫자이다. 이러한 숫자는 게임 [22]카일스의 전략에 중요한 역할을 한다.패리티 함수는 숫자를 바이너리 표현인 modulo 2의 1의 숫자에 매핑하기 때문에 그 값은 악수의 경우 0, 악수의 경우 1이 됩니다.0과 1의 무한 수열인 Thue-Morse 수열은 i가 악할 때 위치 i에 0이 있고 i가 [23]악할 때 위치 i에 1이 있습니다.

기타 응용 프로그램

정보 이론에서, 이진수에 부가되는 패리티 비트는 오류 검출 코드의 가장 단순한 형태를 제공한다.결과값의 단일 비트가 변경되면 올바른 패리티가 없어집니다.원래 번호의 비트를 변경하면 기록된 패리티와 다른 패리티가 제공되며, 패리티 비트를 변경한 후에도 파생된 번호를 변경하지 않으면 잘못된 결과가 생성됩니다.이렇게 하면 모든 싱글비트 전송 오류를 확실하게 [24]검출할 수 있습니다.보다 고도의 에러 검출 코드도, 원래의 부호화된 [25]값의 비트의 서브셋에 복수의 패리티 비트를 사용하는 것에 근거하고 있습니다.

원통형 보어가 있고 실제로 한쪽 끝이 닫힌 관악기(예: 마우스피스의 클라리넷)에서 생성되는 고조파는 기본 주파수의 홀수 배수이다. (예를 들어 개방 디아파손과 같은 일부 기관지 스톱에서 사용되는 원통형 파이프의 경우, 고조파는 같은 주파수의 짝수 배수이다.단, 기본 주파수가 2배로 증가하고 이 기본 주파수의 모든 배수가 생성되는 효과가 있습니다.)고조파 계열(음악)[26]을 참조하십시오.

일부 국가에서는 길 한쪽에 있는 집에는 짝수가 있고 다른 쪽에 있는 집에는 [27]홀수가 붙도록 집 번호가 선택된다.마찬가지로, 미국의 번호부 고속도로 중 짝수는 주로 동서 고속도로를 나타내며 홀수는 주로 [28]남북 고속도로를 나타낸다.항공사 항공편 번호 중 짝수 번호는 일반적으로 동행 또는 북행 항공편을 식별하고 홀수 번호는 일반적으로 서행 또는 남행 [29]항공편을 식별합니다.

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

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