p-adic 분석

폰트랴긴 이중 그룹에서 선택된 해당 문자가 있는 3-adic 정수

수학에서, p-adic 분석(p-adic analysis)은 p-adic 숫자의 함수에 대한 수학적 분석을 다루는 수 이론의 한 분야이다.

p-adic 숫자에 대한 복소수 함수 이론은 국소 콤팩트 군 이론의 일부이다.p-adic 분석에 사용되는 일반적인 의미는 관심 공간에 대한 p-adic 값 함수의 이론이다.

p-adic 분석의 응용은 주로 디오판틴 기하학과 디오판틴 근사에서 중요한 역할을 하는 수 이론에서 이루어졌다.일부 애플리케이션은 p-adic 기능 분석과 스펙트럼 이론을 개발해야 한다.예를 들어, 초변환 부등식은 무한 계열의 p-adic 숫자의 수렴이 훨씬 간단하다는 것을 의미하기 때문에 많은 면에서 p-adic 분석은 고전적인 분석보다 덜 미묘하다.p-adic 장 위의 위상 벡터 공간은 뚜렷한 특징을 보인다. 예를 들어 볼록성과 한-바나흐 정리와 관련된 측면이 다르다.

중요한 결과

오스트로프스키의 정리

알렉산더 오스트로프스키(1916)에 의한 오스트로프스키의 정리는 유리수 Q의 모든 사소하지 않은 절대값이 일반적인 실수 절대값 ^[1]또는 p-adic 절대값과 동등하다고 말한다.

말러의 정리

Kurt Mahler에 ^[2]의해 소개된 말러의 정리는 연속적인 p-adic 함수를 다항식으로 표현한다.

특성 0의 모든 필드에서 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.허락하다

\displaystyle (\Delta f)(x)=f(x+1)-f(x)}

순차 연산자가 됩니다.그런 다음 다항 함수의 경우, 뉴턴 급수가 있습니다.

f(x)=\sum _{k=0}^{\infty}(\Delta ^{k}f)(0){x \choose k}

어디에

{x \choose k}=subscfrac {x(x-1)(x-2)\cdots(x-k+1)}{k!}}

k번째 이항 계수 다항식입니다.

실수 영역에 걸쳐 함수 f가 다항식이라는 가정은 약화될 수 있지만, 단순 연속성까지 약화될 수는 없다.

말러는 다음과 같은 결과를 증명했다.

말러의 정리:f가 p-adic 정수의 연속 p-adic 값 함수일 경우 동일한 항등식이 유지됩니다.

헨젤의 보조군

Kurt Hensel의 이름을 딴 Hensel's lifting lema라고도 알려진 Hensel's lema는 모듈식 산술의 결과이며, 다항식 방정식이 단순한 루트 모듈로 소수 $p$ 를 가지면, 이 루트는 같은 방정식의 더 높은 제곱 p의 $고유$ 한 루트에 해당하며, 이것은 반복적인 "리프팅"해로 찾을 수 있다. $p$ 의 거듭제곱보다 일반적으로 이것은 방정식을 푸는 뉴턴 방법의 완전한 교환환(특히 p-adic 필드 포함)에 대한 아날로그의 총칭으로 사용된다.p-adic 분석은 어떤 면에서 실제 분석보다 간단하기 때문에, 다항식의 근을 보장하는 비교적 쉬운 기준이 있습니다.

결과를 나타내려면 $f(x)$ ( $f(x)$ x $f(x)$ ) { $displaystyle$ f $(x)}$ 를 $f(x)$ 정수(또는 p-adic 정수) 계수의 다항식이라고 가정하고 m,k를 m µk와 같은 양의 정수라고 가정합니다. r이 다음과 같은 정수인 경우

f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k}}}

(

f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k}}}

)

f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k}}}

(

f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k}}}

p

f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k}}}

){

displaystyle

f (

f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k}}}

r

)\

equiv

0

pm

pmod {

p^

{

k

}}}}

f'(r)\not \equiv 0{\pmod {p}}

f

f'(r)\not \equiv 0{\pmod {p}}

0 ( r )

f'(r)\not \equiv 0{\pmod {p}}

0 (

f'(r)\not \equiv 0{\pmod {p}}

p

)\ not

\

equiv

0

pm pmod

{ p

}

그러면 다음과 같은 정수가 존재합니다.

f(s)\equiv 0{\pmod {p^{k+m}}}

(

f(s)\equiv 0{\pmod {p^{k+m}}}

)

f(s)\equiv 0{\pmod {p^{k+m}}}

(

f(s)\equiv 0{\pmod {p^{k+m}}}

p

f(s)\equiv 0{\pmod {p^{k+m}}}

+

m ){

displaystyle

f (

s

)\

equiv

0

pmodpmod

{

p^

{ p

^

+ m

f(s)\equiv 0{\pmod {p^{k+m}}}

}}}} 및

r\equiv s{\pmod {p^{k}}}.

r\equiv s{\pmod {p^{k}}}.

(

r\equiv s{\pmod {p^{k}}}.

(

r\equiv s{\pmod {p^{k}}}.

p

r\equiv s{\pmod {p^{k}}}.

).

r\equiv s{\pmod {p^{k}}}.

{

display style

r \

equiv spmod

{

p^

{ p^ { k

}}}}}}.

}

또한 이 s는 고유한 모듈로 p이며^k+m 다음과 같이 명시적으로 계산할 수 있습니다.

s=r+tp^{k}

s=r+tp^{k}

+

s=r+tp^{k}

s=r+tp^{k}

k {\

displaystyle

s

=r+tp^{

k

}.

t=-{\frac {f(r)}{p^{k}}}\cdot (f'(r)^{-1}).

서 t

t=-{\frac {f(r)}{p^{k}}}\cdot (f'(r)^{-1}).

-

t=-{\frac {f(r)}{p^{k}}}\cdot (f'(r)^{-1}).

(

t=-{\frac {f(r)}{p^{k}}}\cdot (f'(r)^{-1}).

) p

t=-{\frac {f(r)}{p^{k}}}\cdot (f'(r)^{-1}).

(

t=-{\frac {f(r)}{p^{k}}}\cdot (f'(r)^{-1}).

(

t=-{\frac {f(r)}{p^{k}}}\cdot (f'(r)^{-1}).

) -

t=-{\frac {f(r)}{p^{k}}}\cdot (f'(r)^{-1}).

.

t=-{\frac {f(r)}{p^{k}}}\cdot (f'(r)^{-1}).

{

displaystyle

t = - { \

frac { f

( r ) } {

p }

\

cdot

(

f

' ( r )^ - 1

}

).

}

적용들

P-아딕 양자역학

P-adic 양자역학은 기초 물리학의 본질을 이해하는 비교적 최근의 접근법이다.그것은 양자역학에 대한 p-adic 분석의 응용이다.p-adic 숫자는 직관적인 산술 체계로, 약 1899년 독일의 수학자 Kurt Hensel과 독일의 수학자 Ernst Kummer(1810-1893)에 의해 초급 형태로 발견되었다.밀접하게 연관된 아델과 아이들레는 1930년대에 클로드 셰발리와 앙드레 베일에 의해 소개되었다.그들의 연구는 이제 수학의 주요 분야로 바뀌었다.그것들은 때때로 물리 과학에 적용되었지만, 1987년 러시아 수학자 볼로비치가 발표한 후에야 물리학계에서 ^[3]이 주제가 심각하게 받아들여졌다.현재 ^[4]^[5]이 주제에 관한 수백 개의 연구 기사가 국제 학술지와 함께 게재되어 있다.

그 ^[6]^[7]주제에 대한 두 가지 주요 접근법이 있다.첫 번째는 p-adic 퍼텐셜 웰의 입자를 고려하고, 목표는 복소수 파동 함수가 부드럽게 변화하는 솔루션을 찾는 것이다.여기서 해결책은 일상 생활에서 어느 정도 익숙해지는 것이다.두 번째는 p-adic 전위 우물의 입자를 고려하고, 목표는 p-adic 값 파동 함수를 찾는 것이다.이 경우 물리적 해석이 더 어렵습니다.그러나 수학은 종종 두드러진 특징을 보이기 때문에 사람들은 그것을 계속 탐구한다.2005년 한 과학자는 이 상황을 다음과 같이 요약했다. "나는 이 모든 것을 재미있는 사고의 연속이라고 생각하고 그것을 '장난감 모델'로 치부할 수 없다."더 많은 작업이 필요하고 ^[8]보람도 있다고 생각합니다."

로컬-글로벌 원리

Hasse 원리로도 알려진 Helmut Hasse의 국소-글로벌 원리는 중국식 나머지 정리를 사용하여 서로 다른 소수들의 모듈로 파워를 결합함으로써 방정식에 대한 정수해를 찾을 수 있다는 생각이다.이는 실수와 p-adic 수라는 유리수의 완수에 있는 방정식을 조사함으로써 처리된다.하세 원리의 보다 형식적인 버전은 특정 유형의 방정식이 각 소수 p에 대한 실수와 p-adic 숫자에 해답이 있는 경우에만 합리적인 해답을 갖는다는 것이다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ Koblitz, Neal (1984). P-adic numbers, p-adic analysis, and zeta-functions (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. p. 3. ISBN 978-0-387-96017-3. Retrieved 24 August 2012. Theorem 1 (Ostrowski). Every nontrivial norm ‖ ‖ on $\mathbb {Q}$ is equivalent to $p$ for some prime $p$ or for $p = \infty$ .
^ Mahler, K. (1958), "An interpolation series for continuous functions of a p-adic variable", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1958 (199): 23–34, doi:10.1515/crll.1958.199.23, ISSN 0075-4102, MR 0095821, S2CID 199546556
^ I.V.Volovich, 궁극의 이론으로서의 수 이론, CERN 프리프린트, CERN-TH.4791/87
^ V.S. 블라디미로프, I.V. 볼로비치, E.I. Selenov P-adic 분석 및 수리 물리학, (World Scientific, Singapore 1994)
^ L. Brekke와 P. G. O. Freund, 물리학의 P-adic 숫자.의원 233, 1-66(1993)
^ Dragovich, Branko (2007). "Adeles in Mathematical Physics". arXiv:0707.3876. {{cite journal}}:Cite 저널 요구 사항 journal=(도움말)
^ Djordjević, G. S.; Dragovich, B. (2000). "P-Adic and adelic harmonic oscillator with a time-dependent frequency". Theoretical and Mathematical Physics. 124 (2): 3. arXiv:quant-ph/0005027. Bibcode:2000TMP...124.1059D. doi:10.1007/BF02551077. S2CID 14281188.
^ Freund, Peter G. O. (2006). "P-Adic Strings and Their Applications". AIP Conference Proceedings. Vol. 826. pp. 65–73. arXiv:hep-th/0510192. doi:10.1063/1.2193111. S2CID 119086848.

추가 정보

Koblitz, Neal (1980). p-adic analysis: a short course on recent work. London Mathematical Society Lecture Note Series. Vol. 46. Cambridge University Press. ISBN 0-521-28060-5. Zbl 0439.12011.
Cassels, J.W.S. (1986). Local Fields. London Mathematical Society Student Texts. Vol. 3. Cambridge University Press. ISBN 0-521-31525-5. Zbl 0595.12006.
Chistov, Alexander; Karpinski, Marek (1997). "Complexity of Deciding Solvability of Polynomial Equations over p-adic Integers". Univ. Of Bonn CS Reports 85183. S2CID 120604553.
Karpinski, Marek; van der Poorten, Alf; Shparlinski, Igor (2000). "Zero testing of p-adic and modular polynomials". Theoretical Computer Science. 233 (1–2): 309–317. doi:10.1016/S0304-3975(99)00133-4. (프리프린트)
P-adic 분석 과정, Alain Robert, Springer, 2000, ISBN 978-0-387-98669-2
울트라메트릭 미적분:P-Adic 분석 입문, W. H. Schikhof, 캠브리지 대학 출판부, 2007, ISBN 978-0-521-03287-2
P-adic 미분식, Kiran S. Kedlaya, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-76879-5

[1] Koblitz, Neal (1984). P-adic numbers, p-adic analysis, and zeta-functions (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. p. 3. ISBN 978-0-387-96017-3. Retrieved 24 August 2012. Theorem 1 (Ostrowski). Every nontrivial norm ‖ ‖ on $\mathbb {Q}$ is equivalent to $p$ for some prime $p$ or for $p = \infty$ .

[2] Mahler, K. (1958), "An interpolation series for continuous functions of a p-adic variable", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1958 (199): 23–34, doi:10.1515/crll.1958.199.23, ISSN 0075-4102, MR 0095821, S2CID 199546556

[3] I.V.Volovich, 궁극의 이론으로서의 수 이론, CERN 프리프린트, CERN-TH.4791/87

[integral-4] V.S. 블라디미로프, I.V. 볼로비치, E.I. Selenov P-adic 분석 및 수리 물리학, (World Scientific, Singapore 1994)

[r-5] L. Brekke와 P. G. O. Freund, 물리학의 P-adic 숫자.의원 233, 1-66(1993)

[repeat-6] Dragovich, Branko (2007). "Adeles in Mathematical Physics". arXiv:0707.3876. {{cite journal}}:Cite 저널 요구 사항 journal=(도움말)

[7] Djordjević, G. S.; Dragovich, B. (2000). "P-Adic and adelic harmonic oscillator with a time-dependent frequency". Theoretical and Mathematical Physics. 124 (2): 3. arXiv:quant-ph/0005027. Bibcode:2000TMP...124.1059D. doi:10.1007/BF02551077. S2CID 14281188.

[freund-8] Freund, Peter G. O. (2006). "P-Adic Strings and Their Applications". AIP Conference Proceedings. Vol. 826. pp. 65–73. arXiv:hep-th/0510192. doi:10.1063/1.2193111. S2CID 119086848.

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