유클리드 수

수학에서 유클리드 숫자는 E_n = p_n# + 1 형식의 정수인데 여기서 p_n#는 n번째 영장류, 즉 첫 번째 n개의 소수들의 산물이다.이들은 유클리드 정리(prime number)와 연관지어 고대 그리스 수학자 유클리드(eucleid)의 이름을 따서 이름 지어졌는데, 유클리드(eucleid)의 정리(prime number)가 무한히 많다.

예

예를 들어, 처음 3번의 프라임은 2, 3, 5번이고, 그들의 제품은 30번이고, 해당하는 유클리드 번호는 31번이다.

처음 몇 개의 유클리드 번호는 3, 7, 31, 211, 2311, 30031, 510511, 9699691, 223092871, 649633231, 200560490131, …(OEIS의 경우 연속 A0068622)이다.

역사

가끔 유클리드에게 주어진 소수들의 무정함에 대한 유명한 증거가 이 숫자에 의존했다고 거짓으로 진술되기도 한다.^[1]유클리드는 모든 프리임의 집합이 유한하다는 가정으로 시작하지 않았다.오히려, 그는 다음과 같이 말했다: 모든 유한한 소수 집합(예를 들어, 첫 n 소수만을 포함한다고 가정하지 않았다, 예를 들어, {3, 41, 53})을 고려하면서, 거기서부터 적어도 그 집합에는 없는 소수만이 존재한다는 결론까지 논박했다.^[2]그럼에도 불구하고 첫 번째 n 프리임의 집합에 적용된 유클리드 의 주장은 n번째 유클리드 수가 이 집합에 없는 주요 인자를 가지고 있음을 보여준다.

특성.

모든 유클리드 숫자가 소수인 것은 아니다.E₆ = 13# + 1 = 30031 = 59 × 509는 최초의 복합유클리드 수이다.

모든 유클리드 번호는 3모드 4에 합치되는데, 그 원점은 단지 홀수 프리임의 곱이 두 배여서 2모듈로 4에 합치되기 때문이다.이 속성은 유클리드 숫자가 정사각형이 될 수 없음을 암시한다.

모든_n n ≥ 3에서 E - 1은 2와 5로 나누어지기 때문에 E의_n 마지막 자릿수는 1이다.즉, E보다₂ 큰 모든 원수의 숫자는 2와 5를 1차 인자로 가지므로 10으로 나누어서 모든 E_{n ≥ 3}+1의 최종 자릿수는 1이다.

미해결 문제

유클리드 소수(원초 소수)가 무한히 많은지는 알 수 없다.^[3]모든 유클리드 번호가 사각형 없는 숫자인지 여부도 알 수 없다.^[4]

일반화

두 번째 종류의 유클리드 번호(Kummer number라고도 함)는 E_n = p_n# - 1 형식의 정수인데 여기서 p_n#는 n번째 영장류다.이러한 숫자의 처음 몇 가지는 다음과 같다.

1, 5,5, 29, 209, 2309, 30029, 510509, 9699689, 223092869, 649693229, 200560490129, ...(OEIS의 경우 순서 A057588)

유클리드 숫자와 마찬가지로 프라임 쿠메르 숫자가 무한히 많은지는 알 수 없다.이 숫자들 중 가장 먼저 합성된 숫자는 209이다.^[5]

참고 항목

• 유클리드-멀린 수열
• 프리메스의 부정에 대한 증거(유클리드 정리)

참조