란다우의 문제

1912년 국제 수학자대회에서 에드먼드 랜도는 소수민족에 관한 네 가지 기본적인 문제를 열거했다.이러한 문제들은 그의 연설에서 "수학의 현재 상태로는 공격할 수 없는" 것으로 특징지어졌고, 현재 랜도의 문제들로 알려져 있다.다음과 같다.

1. 골드바흐의 추측: 2보다 큰 정수라도 모두 2의 제곱의 합으로 쓰여질 수 있는가?
2. 두 가지 주요 추측:p + 2가 프라임일 정도로 prime p가 무한히 많은가?
3. 레전드레의 추측:연속된 완벽한 사각형 사이에 항상 적어도 하나의 프라임이 존재하는가?
4. p - 1이 완벽한 사각형일 정도로 prime p가 무한히 많은가?즉, 다음과 같다.n² + 1 형식의 소수점이 무한히 많은가?

2022년^[update] 1월 현재 네 가지 문제가 모두 해결되지 않은 상태다.

솔루션을 향한 진전

골드바흐의 추측

골드바흐의 약한 추측, 5보다 큰 홀수 하나하나가 3자리의 합으로 표현될 수 있는 것은 골드바흐의 추측의 결과다.이반 비노그라도프는 1937년 충분히 n(비노그라도프의 정리)을 증명했고,^[1] 하랄드 헬프고트는 이를 2013년 골드바흐의 약한 추측에 대한 완전한 증거로 확대했다.^[2][3][4]

골드바흐의 추측의 또 다른 약점인 첸의 정리는 충분히 큰 n에 대해 p가 prime이고 q가 prime이거나 semiprime인 ${\displaystyle \mathrm{2n}}$= ${\displaystyle p}$+ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle 2n=p+q}$를 증명한다.^[5]2015년 야마다 도모히로(Yamada)는 첸의 정리의 명시적 버전을 증명했다.^[6] e ${\displaystyle {{36}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle 1.7}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle {10}^{}}$ ${\displaystyle {18723440719348}^{}}$ ${\$는 최대 두 번의 프라임으로 구성된 프라임과 프라임의 합계다$$.

몽고메리와 본은 비록 집합이 유한하다고 증명되지는 않았지만, 두 프리임의 합이 표현 불가능한 짝수들의 예외적인 집합은 밀도 0이라는 것을 보여주었다.^[7]예외적인 에서 가장 좋은 바운드는 ( x) < ${\$ 충분한 크기의 x의 경우)이다.^[8]

Linnik은 두 개의 프리타임과 2개의 파워의 일부 (비효과적인) 상수 K의 합으로 충분히 큰 짝수들이 표현될 수 있다는 것을 증명했다.^[9]많은 진전에 따라(개요는 핀츠^[10] 참조), 핀츠와 루즈사는^[11] 이를 K = 8로 개선했다.

트윈 프라임 추측

이탕 장은^[12] 7천만 개의 간격을 두고 있는 프라임 쌍이 무한히 많다는 것을 보여주었고, 이 결과는 폴리매스 프로젝트의 공동 노력으로 길이 246개의 격차로 개선되었다.^[13]일반화된 엘리엇-할베르스탐 추측에 의하면 이것은 6개로 개선되어 메이너드와^[14] 골드스톤, 핀츠 & 얄드름의 초기 작업이 연장되었다.^[15]

Chen은 p+2가 prime 또는 semiprime일 정도로 primes p(chen primes라 불리는 later)가 무한히 많다는 것을 보여주었다.

레전드레의 추측

p에서 시작하는 각 ${\displaystyle primary\sqrt{}}$ 갭이 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ p$[\$ 2${\sqrt{p}}}$보다 작은지 확인하는 것으로 충분하다$.$ 최대 primary 갭의 표는 2 ≈ 1⁶⁴.8×10으로¹⁹ 추측이 유지됨을 보여준다.^[16]그 크기 가까이에서 counterexample을 하려면 평균 갭 크기의 1억 배 이상의 prime 갭이 필요할 것이다.

마토메키는 최대 $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$/ ${\displaystyle {6\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 예외적인 프리임이 있고, 그 다음으로 ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{2p}}}$ ${\$보다 큰 갭이 있다는 것을 보여준다$;$ 특히,

${\displaystyle \sum_{p_{n+1}-p_{n}}x^{1/2}}:{x\leq p_{n}\leq 2xp_{n+1}-p_{n}\ll x^{2/3}.}$^[17]

Inhham으로 인한 결과는 ${\displaystyle {n\mathrm{}}^{}}$ $3{\displaystyle {}^{}}$ ${\$ n$^{3}$와 $({\displaystyle n}$+ ${\displaystyle 1{}^{}}$) ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 사이에 prime이 있음을 보여준다.충분히 큰 n개마다 $}}$^[18]

정사각형 근사치

랜도의 네 번째 문제는 정수 n에 $대해$ p${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$+ 1 ${\displaystyle p=n^{2}+1} 형태$의 primes가 무한히 많은지를 물었다(이 형태의 알려진 primes 목록은 (OEIS의 sequence A002496).무한히 많은 그러한 프리메스의 존재는 부냐코프스키 추측과 바테만-과 같은 다른 숫자 이론적 추측의 결과로 이어질 것이다.경적 추측.2020년^[update] 현재, 이 문제는 개방되어 있다.

거의 제곱에 가까운 프리타임의 한 예는 페르마 프리타임이다.Henryk Iwaniec은 n ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ 1 ${\displaystyle n^{2}+1}$의 숫자가 무한히 많다는$$ 것을 보여주었다.^[19][20]Nesmith Ankeny proved that, assuming the extended Riemann hypothesis for L-functions on Hecke characters, there are infinitely many primes of the form ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ with ${\displaystyle y=O(\log x)}$.^[21] Landau's conjecture is for the stronger ${\displaystyle y=1}$.

이전 작품에서 개선된 ^[22]메리코스키는 ${\displaystyle {n\mathrm{}}^{}2}$ + 1$${\$디스플레이 스타일$ n$^{2}+1$} 형식의 숫자가 무한히 많다는$$ 것을 보여주었는데,^{[23][24][25][26][27]} 이 지수를 최소한 n ${\displaystyle 1^{}}$.${\displaystyle {279}^{}}$ ${\$ n$^{1.279}}.$ 지수를 2로 바꾸면 랜도의 추측이 나올 것이다$.$

브룬 체는 $p{\displaystyle }$= ${\displaystyle {n\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p$${\displaystyle =}$$n^{2}+1} 형식$을 가진 프리임의 밀도에 상한을 설정한다$.$ : $최대{\displaystyle }$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle O$$($ x$)$가 있다$.$${\displaystyle \mathrm{그런}}$ 다음 n ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ 1 ${\displaystyle n^{2}+1}$ 형식의 거의 모든 숫자가 복합형이라는$$ 것을 따른다.

참고 항목

• 수학의 미해결 문제 목록
• 힐베르트의 문제

메모들

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Landau's Problems". MathWorld.