프라임 이상

정수

\mathbb {Z} .

\mathbb {Z} .

.

\mathb{Z

.} 이상 격자의 일부에 대한 Hasse 다이어그램.보라색과 초록색 노드는 반감기 이상이고, 보라색과 파란색 노드는 일차적 이상이다.

대수학에서, 프라임 이상은 정수 링에서 프라임 숫자의 많은 중요한 특성을 공유하는 고리의 하위 집합이다.^[1]^[2]정수에 대한 기본 이상은 0 이상과 함께 주어진 소수 정수의 모든 배수를 포함하는 집합이다.

원시적 이상은 원시적 이상이며, 원시적 이상은 일차적 이상과 반미적 이상이다.

교감반지의 가장 이상적인 것

정류 링 $R$ 의 이상적인 $P$ 는 다음과 같은 두 가지 특성을 가진 경우 prime이다.

$만약$ $a$ 와 b가 $R$ 의 두 요소여서 그들의 제품 $ab$ 가 P의 요소라면, $a$ 는 P에 있거나 $b$ 는 P에 있다.
$P$ 는 전체 반지 $R$ 이 아니다.

이것은 유클리드 보조정리라고 알려진 소수들의 다음 속성을 일반화한다: $p$ 가 소수라면 p는 소수, $p$ 는 두 개의 정수로 $제품$ 을 나누면 $a$ $또는$ $p$ 는 $b$ 를 나눈다.그러므로 우리는 말할 수 있다.

양의 정수

n

은

n\mathbb {Z}

n\mathbb {Z}

{\

가)

\mathbb {Z} .

.

\mathb {Z

에서 primary 이상일

n\mathbb {Z}

경우에만 primary n이다

.

예

간단한 예: $R=\mathbb {Z} ,$ = $R=\mathbb {Z} ,$ , $R=\mathb {Z$ 링에서 짝수 수의 하위 집합이 $R=\mathbb {Z} ,$ 가장 이상적인 것이다 $.$

일체형 $영역$ R ${\displaystyle$ $p\in R$ $}$ 을(를) 부여하면 $R$ 어떤 프라임 요소 $p\in R$ $p\in R$ R $p\in R$ 이(가) 주요한 프라임 이상 $){\displaystyle (p)}$ 을(를) 생성한다 $p\in R$ $(p)$ 아이젠슈타인의 일체형 영역(hence UFD) 기준은 다항 링의 요소가 불가 여부를 결정하는 데 효과적인 도구다.For example, take an irreducible polynomial $f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ in a polynomial ring $\mathbb {F} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$ over some field $\mathbb {F}$ .

$R$ 이 복잡한 계수를 가진 두 변수에서 다항식의 $\mathbb {C} [X,Y]$ $\mathbb {C} [X,Y]$ , $\mathbb {C} [X,Y]$ $\mathbb {C} [X,Y]$ ${\displaystyle \mathb {C}[X,Y$ ] [X,Y $]}$ 을 나타내는 경우 $다항식 2$ Y - $X 3$ - $X$ - $1$ 에 의해 생성되는 이상이 가장 이상적인 이상이다(타원곡선 참조).

정수 계수가 있는 모든 다항식 중 $\mathbb {Z} [X]$ Z $\mathbb {Z} [X]$ [ $\mathbb {Z} [X]$ $\mathbb {Z} [X]$ ${\displaystyle \mathb {Z}[X]$ 에서 $2$ 와 $X$ 에 의해 생성된 이상이 가장 이상적인 이상이다.그것은 일정한 계수가 짝수인 모든 다항식들로 구성된다.

어떤 링 $R$ 에서든, 최대 이상은 $R$ 의 모든 적절한 이상 집합에서 최대인 $이상적$ 인 M이다. 즉, $M$ 은 정확히 $R$ 의 두 가지 이상, 즉 $M$ 그 자체와 $전체$ 링 R에 포함되어 있다.모든 최대 이상은 사실 최고다.주요 이상영역에서 0이 아닌 모든 이상은 최대치지만, 일반적으로 이것은 사실이 아니다.For the UFD $\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$ , Hilbert's Nullstellensatz states that every maximal ideal is of the form ${\displaystyle (x_{1}-\alpha _{1},\ldots ,x_{n}-\alpha _{n}).$ $}$

$만일$ M이 매끄러운 다지관이라면, $R$ 은 $M$ 에서 매끄러운 실제 기능의 링이고, $x$ 는 $M$ 에서 포인트인 경우, $f$ ( $x)$ = $0$ 으로 매끄러운 모든 기능들의 집합은 $R$ 에서 주요한 이상(최대의 이상도)을 형성한다.

비예시

다음 두 인용구의 구성을 고려하십시오.

{\displaystyle \mathb {x,y]\to {\frac {\mathb {C}[x,y]}{{x,y}}{x,y}}}}}}{\frac {\mathb {C}[x,y]}{x^{2}-1,x}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.

처음 두 링은 통합 도메인(사실 첫 번째 링은 UFD이다)이지만 마지막 링은 이형성이기 때문에 통합 도메인이 아니다.

{\frac {\mathb {C} [x,y]}{(x^{2}+y^-1,x)}}}}}\cong {\frac {\\mathb {C}{y^{2}-1)}}\c}\c}\mathb {C}}}\time \mathb {C}}}}}}}}}}}}}

이상

(x^{2}+y^{2}-1,x)\subset \mathbb {C} [x,y]

(x^{2}+y^{2}-1,x)\subset \mathbb {C} [x,y]

+

(x^{2}+y^{2}-1,x)\subset \mathbb {C} [x,y]

(x^{2}+y^{2}-1,x)\subset \mathbb {C} [x,y]

-

(x^{2}+y^{2}-1,x)\subset \mathbb {C} [x,y]

,

(x^{2}+y^{2}-1,x)\subset \mathbb {C} [x,y]

)

(x^{2}+y^{2}-1,x)\subset \mathbb {C} [x,y]

[

(x^{2}+y^{2}-1,x)\subset \mathbb {C} [x,y]

,

(x^{2}+y^{2}-1,x)\subset \mathbb {C} [x,y]

(x^{2}+y^{2}-1,x)\subset \mathbb {C} [x,y]

{\displaystyle (x^{2}+y^{2

}-

1,x)\subset \mathb {C}[x,y]}

이(가) primary가 아님을

(x^{2}+y^{2}-1,x)\subset \mathbb {C} [x,y]

보여 준다.(아래 나열된 첫 번째 속성을 참조하십시오.)

또 다른 비예는 우리가 가지고 있기 때문에 $(2,x^{2}+5)\subset \mathbb {Z} [x]$ $(2,x^{2}+5)\subset \mathbb {Z} [x]$ 인 $(2,x^{2}+5)\subset \mathbb {Z} [x]$ ( $(2,x^{2}+5)\subset \mathbb {Z} [x]$ , $(2,x^{2}+5)\subset \mathbb {Z} [x]$ 2 $(2,x^{2}+5)\subset \mathbb {Z} [x]$ + 5 $(2,x^{2}+5)\subset \mathbb {Z} [x]$ ) $(2,x^{2}+5)\subset \mathbb {Z} [x]$ Z $(2,x^{2}+5)\subset \mathbb {Z} [x]$ [ $(2,x^{2}+5)\subset \mathbb {Z} [x]$ $(2,x^{2}+5)\subset \mathbb {Z} [x]$ $(2,x^{2}+5)\subset \mathb {Z}[x]$ 이다.

x^{2}+5-2\cdot 3=(x-1)(x+1)\in(2,x^{2}+5)

x-1

x

x-1

-

x-1

x-1

또는

x-1

x+1

+

x+1

{\displaystyle x+1

}은

(

는) 이상적 요소가 아니다

x+1

.

특성.

인자 링 $R / I$ 가 통합 영역인 경우에만 링 $R$ (통합 포함)에서 이상적인 $I$ 이 프라임이다.특히 ( $0)$ 이 프라임 이상일 경우에만 (단일성을 가진) 정류 링은 일체형 도메인이다.
이상적인 $I$ 는 그것의 세팅-이론적 보어가 곱절적으로 닫힐 경우에만 프라임이다.^[3]
모든 0이 아닌 고리는 적어도 하나의 원시적 이상(사실 그것은 적어도 하나의 최대적 이상을 포함한다)을 포함하고 있는데, 이것은 크롤의 정리의 직접적인 결과물이다.
보다 일반적으로 $S$ 가 $R$ 에 설정된 승법적으로 폐쇄된 경우, Krull에 의한 보조정리기는 $S$ 로부터 분리되는 것과 관련하여 $R$ maximal의 이상이 존재한다는 것을 보여주며, 더욱이 이상은 프라임이어야 한다.이는 비규격 링(아래 참조)^[4]으로 더욱 일반화할 수 있다. ${S} =$ ${1}$ 의 경우, 우리는 크롤의 정리를 가지고 있으며, $이것$ 은 R의 최대 이상을 회복한다.또 다른 프로토타입 m-system은 비 nilpotent 요소의 모든 양의 힘 중 { $x 2,$ x, $x 3 4, ...}$ 의 집합이다.
고리 동형상 아래 있는 프라임 이상상의 전상은 프라임 이상이다.이와 유사한 사실이 최대 이상에 항상 맞는 것은 아니며, 이는 대수 기하학 기하학자들이 링의 스펙트럼을 최대 이상이라기 보다는 최대 이상이라고 정의한 한 가지 이유다; 사람들은 그들의 스펙트럼 사이에 지도를 주기 위해 고리의 동형성을 원한다.
모든 프라임 이상 집합(반지의 스펙트럼이라고 함)은 최소 요소(최소 프라임 이상이라고 함)를 포함한다.기하학적으로, 이것들은 스펙트럼의 되돌릴 수 없는 구성요소에 해당한다.
두 가지 주요한 이상을 합한 것이 반드시 가장 중요한 것은 아니다. $예$ 를 들어 P $=$ ( $x 2$ + $\mathbb {C} [x,y]$ $y 2$ - 1 $)$ 및 $Q =$ ( $x$ + $y 2$ - 1) (x + y - 1)와 (x $)$ 가 각각 생성되는 이상( $x 2$ + y - $1$ 과 $x$ )이 있는 $\mathbb {C} [x,y]$ $\mathbb {C} [x,y]$ C $x,y]$ 를 생각해 보십시오.이들의 합 $P + Q$ = ( $x 2 + y 2$ - 1, $x)$ = ( $y 2$ - $1$ , x $)$ = $y 2$ - $1$ = $(y$ - 1 $)(y$ + 1) $\in$ $P$ + Q는 $소수$ 지만 그 두 인자는 그렇지 않다.대신, 이 몫의 반지는 0개의 디비저를 가지고 있기 때문에 통합 영역이 아니므로 $P$ + $Q$ 가 프라임이 될 수 없다.
두 개의 이상에 반영될 수 없는 모든 이상이 주요한 이상인 것은 아니다. $(x,y^{2})\subset \mathbb {R} [x,y]$ 예: ( $(x,y^{2})\subset \mathbb {R} [x,y]$ , $(x,y^{2})\subset \mathbb {R} [x,y]$ 2 ) $(x,y^{2})\subset \mathbb {R} [x,y]$ ⊂ $(x,y^{2})\subset \mathbb {R} [x,y]$ [ $(x,y^{2})\subset \mathbb {R} [x,y]$ , $(x,y^{2})\subset \mathbb {R} [x,y]$ $(x,y^{2})\subset \mathbb {R} [x,y]$ $(x,y^{2})\subset \mathb {R}[x,y]$ 은(는) 인수될 수 없지만 $(x,y^{2})\subset \mathbb {R} [x,y]$ 프라임은 아니다.
적어도 두 개의 원소가 있는 정류 링 $R$ 에서, 모든 적절한 이상이 프라임이라면 링은 필드다.( $이상$ (0 $)$ 가 프라임이라면 링 $R$ 은 일체형 영역이다. $q$ 가 $R$ 의 0이 아닌 원소이고 이상적인 ( $q 2)$ 가 prime인 경우, $q$ 를 포함하는 다음 $q$ 를 반전시킬 수 없다.)
0이 아닌 주 이상은 주 원소에 의해 생성되는 경우에만 프라임이다.UFD에서, 0이 아닌 모든 프라임 이상은 프라임 요소를 포함한다.

사용하다

원시 이상의 한 가지 용도는 다항식 링에서 변종들이 이상들의 제로 세트로 정의되는 대수 기하학에서 발생한다.돌이킬 수 없는 다양성이 주요한 이상에 해당한다는 것이 밝혀졌다.현대의 추상적 접근법에서는 임의의 교감 링에서 시작하여 그것의 스펙트럼이라고도 불리는 그것의 주요한 이상들의 집합을 위상학적 공간으로 바꾸어, 따라서 기하학뿐만 아니라 수 이론에서도 응용을 찾는 체계라고 하는 품종의 일반화를 정의할 수 있다.

대수적 수 이론에서 프라임 이상에 대한 도입은 주요한 진전이었다:산술의 기본 정리에 표현된 고유 인수화의 중요한 성질이 대수적 정수의 모든 고리에 있는 것은 아니지만, 리차드 데데킨드가 원소를 이상과 프라임 소자로 대체하면서 대체가 발견되었다.s 주요 이상에 의해; 드데킨드 도메인을 보라.

비협조적 고리에 대한 주요 이상

가장 이상적인 개념은 "이상적"이라는 상쇄적 정의를 사용하여 비확정적 링으로 일반화할 수 있다.볼프강 크롤은 1928년에 이 아이디어를 발전시켰다.^[5]구들스나^[6] 램스 같은 글에서 다음과 같은 내용을 찾아볼 수 있다.^[7] $R$ 이 (아마도 비협조적인) 고리이고 $P$ 가 $R$ 의 적절한 이상이라면, 우리는 $R$ 의 어떤 두 가지 이상 $A$ 와 $B$ 에 대해 $P$ 가 프라임이라고 말한다.

이상 $AB$ 의 산물이 $P$ 에 포함되어 있다면, $A$ 와 B $중$ 적어도 하나는 $P$ 에 포함되어 있다.

이 정의는 역류 링에서 역류 정의와 동등하다는 것을 보여줄 수 있다.만약 비고정 고리 $R$ 의 이상이 프라임의 정류적 정의를 만족한다면, 그것은 또한 비고정 버전을 만족한다는 것을 쉽게 검증한다.prime의 상호교합적 정의를 만족시키는 이상적인 $p$ 를 링에서 다른 prime 이상과 구별하기 위한 완전 prime idea라고 부르기도 한다.완전히 주요한 이상은 일차적인 이상이지만, 그 반전은 사실이 아니다.예를 들어, 필드 위에 있는 $n$ × $n$ 행렬의 링에 있는 제로 이상(zero imide)은 프라임 이상(primary ideal)이지만, 완전히 프라임은 아니다.

이것은 이상적으로 이상을 이상적으로 보는 역사적 관점에 가까운데, 링 $\mathbb {Z}$ ${\$ $A$ 는 $P$ 가 $A$ 를 나눈다"는 또 다른 표현이고, 단위 $이상$ R은 단결을 나타낸다.

이상적인 $P$ prime R의 등가 제형은 $다음$ 과 같은 특성을 포함한다.

$R$ 의 모든 $a$ 와 $b$ 에 대해, ( $a)(b)$ ⊆ $P$ 는 ∈ P $또는$ $b$ ∈ $P$ 를 의미한다.
$R$ 의 어떤 두 가지 올바른 이상에 대해 $AB$ ab $P$ 는 $A$ ⊆ P $또는$ $B$ ⊆ $P$ 를 의미한다.
$R$ 의 어떤 두 좌뇌 이상에 대해서, $AB$ p $P$ 는 A p $P$ $또는$ B $implies$ P를 내포하고 있다.
$R$ 의 모든 원소 $a$ 와 $b$ 에 대해, $aRb$ p $P$ 일 경우, ∈ $P$ $또는$ $b$ ∈ $P$ .

교감반지의 프라임 이상은 $R$ 에서 다중적으로 닫힌 보완성을 갖는 것이 특징이며, 약간 수정하면 비교정반지의 프라임 이상에 대해 유사한 특성화가 형성될 수 있다.비어 있지 않은 부분 집합 $S$ ⊆ $R$ 을 m-system이라고 하는데, 만약 $S$ 에 있는 $어떤$ $a$ 와 b에 대해, $R$ 에 $r$ 이 존재한다면, $arb$ 가 $S$ 에 있는 것을 말한다.^[8]그런 다음 위의 동등한 조건 목록에 다음 항목을 추가할 수 있다.

$보완$ $RHP$ 는 m-시스템이다 $.$

예

어떤 원시적인 이상도 최고다.
교감반지와 마찬가지로 최대 이상은 프라임이며, 프라임 이상은 최소의 프라임 이상을 포함하고 있다.
링은 제로 이상이 프라임 이상일 경우에만 프라임 링이고, 더욱이 링은 제로 이상이 완전히 프라임 이상일 경우에만 도메인이다.
비확정 이론에서 메아리친 다른 사실은 만약 $A$ 가 0이 아닌 Rmodule이고, $P$ 가 $A$ 의 하위절의 전멸자 이상 포셋에서 최대 요소라면 $P$ 는 prime이다.

중요한 사실

주요 회피 보조정리.만약 $R$ 이 교감반지이고, $A$ 가 서브링(대개 단결하지 않은 것 같다)이고₁, 나, ..., $나$ 는_n 프라임이 아닌 멤버가 대부분인 $R$ 의 이상 모음집이라면, 만일 $A$ 가 어떤 $I$ 에도_j 포함되어 있지 않다면, $그것$ 은₁ 또한 $I n,$ ..., ^[9]나. 특히 $A$ 가 R의 이상일 수 있다.
If $S$ is any m-system in $R$ , then a lemma essentially due to Krull shows that there exists an ideal $I$ of $R$ maximal with respect to being disjoint from $S$ , and moreover the ideal $I$ must be prime (the primality $I$ can be proved as follows: if $a,b\not \in I$ , then there exist elements ${\displaystyle s,t\in$ $S}$ 은 $s\in I+(a),t\in I+(b)$ 는) $I$ 의 최대 속성에 의한 $s\in I+(a),t\in I+(b)$ $s\in I+(a),t\in I+(b)$ I $s\in I+(a),t\in I+(b)$ + ( $s\in I+(a),t\in I+(b)$ ) , $s\in I+(a),t\in I+(b)$ I $s\in I+(a),t\in I+(b)$ + (b ) $s\in I+(a),t\in I+(b)$ {\ $displaystyle s\in$ I $+(a), t\\in$ I $+(b)}$ 과 $s,t\in S$ 같은 것이다.We can take $r\in R$ with $srt\in S$ . Now, if $(a)(b)\subset I$ , then $srt\in (I+(a))r(I+(b))\subset I+(a)(b)\subset I$ , which is a contradiction).^[4] ${S} =$ ${1}$ 의 경우, 우리는 크롤의 정리를 가지고 있으며, $이것$ 은 R의 최대 이상을 회복한다.또 다른 프로토타입 m-system은 비 nilpotent 요소의 모든 양의 힘 중 { $x 2,$ x, $x 3 4, ...}$ 의 집합이다.
Primary 이상 $P$ 의 경우, 보완 $RHP$ 는 m-system이 아닌 또 다른 속성을 가진다.xy가 $R ∖ P$ 에 있으면, $p$ 가 이상적이므로 $x$ 와 y $모두$ $R ∖ P$ 에 있어야 한다.그 원소의 점괘가 들어 있는 세트를 포화라고 한다.
정류 링 $R$ 의 경우, 이전 진술에 대한 일종의 반전이 있다: $S$ 가 비어 있지 않은 포화 상태이고 다중적으로 닫힌 $R$ 의 부분집합이라면, $보완$ $RHS$ 는 $R$ 의 주요 이상들의 결합이다.^[10]
주요 이상들의 하강 사슬의 구성원들이 교차하는 것은 주요한 이상이고, 상호 교환적인 고리에서는 주요 이상들의 상승 사슬의 구성원들이 결합하는 것이 주요한 이상이다.조른의 보조마(Lema)와 함께, 이러한 관찰은 (부분적으로는 포함에 의해 정렬된) 교감반지의 주요 이상(poset)이 최대적이고 최소의 요소를 가지고 있음을 암시한다.

최대성에 대한 연결

프라임 이상은 종종 어떤 이상 모음의 최대 요소로서 만들어질 수 있다.예를 들면 다음과 같다.

고정된 m-system과의 빈 교차점을 갖는 것에 관한 이상적인 최대치가 가장 중요하다.
고정된 R-모듈 $M$ 의 하위모듈의 섬멸자들 사이에서 이상적인 최대치는 프라임이다.
교감반지에서는 비교감이라는 것에 대한 이상적인 격언이 가장 중요하다.^[11]
교감반지에서는 셀 수 없이 생성되지 않는 것에 대한 이상적인 최대치가 프라임이다.^[12]

참조

^ Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.
^ Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 0-387-95385-X.
^ Reid, Miles (1996). Undergraduate Commutative Algebra. Cambridge University Press. ISBN 0-521-45889-7.
^ ^a ^b Ram First Course in Noncommative Rings, 페이지 156
^ 크롤, 볼프강, 프리미달케텐, 알게마이넨 링베이헨, 시트성스베리히테 하이델베르크.Akad. Wissenschaft (1928), 7. 압핸들, 3-14.
^ 구들, 비커뮤티브 노메트리안 반지
^ 램, 비커밋 링의 첫 코스
^ 확실히, 다중적으로 닫힌 세트는 m-systems이다.
^ 제이콥슨 기초 대수학 II, 페이지 390
^ 카플란스키 정류 링, 페이지 2
^ Kaplansky Commutative 링, 페이지 10, Ex 10.
^ Kaplansky Commutative 링, 페이지 10, Ex 11.

추가 읽기

Goodearl, K. R.; Warfield, R. B., Jr. (2004), An introduction to noncommutative Noetherian rings, London Mathematical Society Student Texts, vol. 61 (2 ed.), Cambridge: Cambridge University Press, pp. xxiv+344, doi:10.1017/CBO9780511841699, ISBN 0-521-54537-4, MR 2080008{{citation}}: CS1 maint : 복수이름 : 작성자 목록(링크)
Jacobson, Nathan (1989), Basic algebra. II (2 ed.), New York: W. H. Freeman and Company, pp. xviii+686, ISBN 0-7167-1933-9, MR 1009787
Kaplansky, Irving (1970), Commutative rings, Boston, Mass.: Allyn and Bacon Inc., pp. x+180, MR 0254021
Lam, T. Y. (2001), A first course in noncommutative rings, Graduate Texts in Mathematics, vol. 131 (2nd ed.), New York: Springer-Verlag, pp. xx+385, doi:10.1007/978-1-4419-8616-0, ISBN 0-387-95183-0, MR 1838439, Zbl 0980.16001
Lam, T. Y.; Reyes, Manuel L. (2008), "A prime ideal principle in commutative algebra", J. Algebra, 319 (7): 3006–3027, doi:10.1016/j.jalgebra.2007.07.016, ISSN 0021-8693, MR 2397420, Zbl 1168.13002
"Prime ideal", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[1] Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.

[2] Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 0-387-95385-X.

[3] Reid, Miles (1996). Undergraduate Commutative Algebra. Cambridge University Press. ISBN 0-521-45889-7.

[Lam-4] Ram First Course in Noncommative Rings, 페이지 156

[5] 크롤, 볼프강, 프리미달케텐, 알게마이넨 링베이헨, 시트성스베리히테 하이델베르크.Akad. Wissenschaft (1928), 7. 압핸들, 3-14.

[6] 구들, 비커뮤티브 노메트리안 반지

[7] 램, 비커밋 링의 첫 코스

[8] 확실히, 다중적으로 닫힌 세트는 m-systems이다.

[9] 제이콥슨 기초 대수학 II, 페이지 390

[10] 카플란스키 정류 링, 페이지 2

[11] Kaplansky Commutative 링, 페이지 10, Ex 10.

[12] Kaplansky Commutative 링, 페이지 10, Ex 11.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

Search