라그랑주의 정리(집단 이론)

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v t

집단 이론의 수학적 분야에서 라그랑주의 정리는 어떤 유한 집단 G에 대해서도 G의 모든 부분군의 순서(원소 수)가 G의 순서를 나눈다고 기술한 정리다. 이 정리는 조셉 루이스 라그랑주의 이름을 따서 명명되었다. 다음 변종은 $유한{\displaystyle }$ 그룹 G ${\displaystyle G}$의 부분군 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $H$$}$에 대해$$${\displaystyle G}$${\displaystyle /}$${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle$ G$/H}$은$($는) 정수일$$ 뿐만 아니라, 그 값이 $H{\displaystyle }$ ${\style}$의 왼쪽 코스셋 수로 정의된 지수$G$: H$]$라고 명시한다.$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에$.$

${\displaystyle G}$ $displaystyle G$ ${\displaystyle H}$ $displaystyle H$${\displaystyle }$[ ${\displaystyle G}$: H ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [G:H]}$이(가) 기수로 해석될$$ 경우 이$$변형은 G {\displaystystyle G$}$이($가{\displaystyle }$) 무한하더라도 유지된다.

증명

G에서 H의 왼쪽 코세트는 G: 특히, H에 x = yh와 같은 h가 있는 경우 G에서 x와 y의 특정 동등성 관계의 동등성 등급이다. 따라서 왼쪽 코세트는 G의 파티션을 형성한다. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle x}${\$displaystyle$ $x\mapsto ax}$이($$역전은 $y{\displaystyle {-}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ - ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{y}}^{}}$${\$$displaystyle$ h$\to aH})$를 정의하기 때문에 각 왼쪽 코제트 aH는 $H$와 카디널리티가 동일하다.$$ 왼쪽 코세트의 수는 지수 [G : H]이다. 앞의 세 문장에 의하면

$왼쪽 G\오른쪽 =\왼쪽[G:]H\right]\cdot \left H\right .}$

확장

라그랑주의 정리는 G의 세 부분군 사이의 지수 방정식으로 확장될 수 있다.^[1]

K = {e}(e는 G의 ID 요소임)을 취하면 [G : {e}] = G, [H : {e}] = H. 따라서 원래의 방정식 G = [G : H] H를 복구할 수 있다.

적용들

정리의 결과 a의 순서는 a의 순서가 a에 의해 생성되는 주기적인 부분군의 순서와 같기 때문에, 유한 그룹의 요소 a의 어떤 요소(즉^k, a = e를 가진 가장 작은 양의 정수 k)의 순서는 해당 그룹의 순서를 나눈다. 그룹이 n개의 요소를 가진 경우, 다음과 같이 한다.

$\displaystyle \displaystyle a^{n}=e{\\mbox{.}}}$

이것은 페르마의 작은 정리, 그리고 그 일반화, 오일러의 정리를 증명하는 데 사용될 수 있다. 이러한 특수한 경우는 일반 정리가 증명되기 훨씬 전부터 알려져 있었다.

그 정리는 또한 어떤 그룹의 프라임 질서가 순환적이고 단순하다는 것을 보여준다. 이것은 차례로 윌슨의 정리를 증명하는데 사용될 수 있는데, 만약 p가 p가 prime이라면 p는${\displaystyle }$(${\displaystyle p}$- ${\displaystyle 1}$)의 ${\displaystyle \mathrm{요소}}$라는 것이다${\displaystyle !}$ ${\displaystyle +}$ 1 ${\displaystyle (p-1)!+1$

Lagrange's theorem can also be used to show that there are infinitely many primes: if there were a largest prime p, then a prime divisor q of the Mersenne number ${\displaystyle 2^{p}-1}$ would be such that the order of 2 in the multiplicative group ${\displaystyle (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{*}}$ (모듈식 산술 참조)는${\displaystyle }$(${\displaystyle Z\mathbb{}}$/ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle Z\mathbb{}{}^{}}$)$∗{\$의 순서를 나누는데$,$ 이 $값$은 ${\displaystyle \mathrm{q}}$ ${\displaystyle -}$ 1$${\$displaystyq-1}$이다$.$ 따라서 p < q는 p가 가장 큰 소수라는 가정과 모순된다.^[2]

주어진 순서의 부분군 존재

라그랑주의 정리는 집단의 질서에 대한 모든 점자가 어떤 집단의 질서가 되는가에 대해 반대 문제를 제기한다. 이것은 일반적으로 유지되지 않는다: 유한 그룹 G와 분할자 d를 주어진다면, 반드시 순서 d를 가진 G의 부분군이 존재하는 것은 아니다. 가장 작은 예는 A₄(도 4의 교번군)로, 12개의 원소를 가지지만 순서 6의 부분군은 없다.

"라그랑주의 정리 반대"(CLT) 그룹은 집단의 순서의 모든 디바이어에 대해 그 순서의 하위 그룹이 있는 속성을 가진 유한 집단이다. CLT 그룹은 반드시 해결할 수 있어야 하며, 모든 Supervable 그룹은 CLT 그룹이라고 알려져 있다. 그러나 CLT(예₄: A)가 아닌 해결 가능한 그룹과 S, 4도의₄ 대칭 그룹인 CLT 그룹이 존재한다.

라그랑주의 정리에는 부분적인 회화가 있다. 일반 그룹의 경우, 코치의 정리는 원소의 존재를 보장하며, 따라서 주기적인 하위 그룹의 경우 그룹 순서를 나누는 모든 프라임의 순서를 보장한다. 실로우의 정리는 이것을 집단질서를 나누는 어떤 프라임의 최대력과 동등한 질서의 하위집단의 존재로 확장시킨다. 해결 가능한 그룹의 경우, 홀의 이론은 그룹 질서의 모든 단일 구분자(즉, 공동 요소에 대한 구분자)와 동일한 질서의 하위집단의 존재를 주장한다.

라그랑주 정리의 역행의 백작.

라그랑주 정리의 역은 d가 그룹 G의 순서의 구분자라면, H = d인 부분군 H가 존재한다고 말한다.

Symmetric 그룹 S의₄ 부분군으로 짝수 순열의 집합인 교대 그룹₄ A를 조사한다.

A₄ = {e, (1 2)(34)(4), (1 3)(4), (14)(2) 3), (1 2 3), (1 3 2), (1 3 2), (1 3 4), (1 4), (1 4), (1 4), (1 4), (2 3 4), (2 43)}.

A₄ = 12이므로 구분자는 1, 2, 3, 4, 6, 12이다. 반대로₄ A에 H = 6인 부분군 H가 있다고 가정한다.

V를 클라인 4그룹이라 불리는 A의₄ 비순환 하위그룹이 되게 하라.

V = {e, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4)), (1 4)(2 3)}.

Let K = H ⋂ V. H와 V는 모두₄ A의 부분군이기 때문에 K도 A의₄ 부분군이다.

라그랑주의 정리에서는 K의 순서가 각각 H와 V의 순서인 6과 4를 모두 나누어야 한다. 6과 4를 모두 나누는 두 개의 양의 정수만 1과 2이다. 그래서 K = 1 또는 2

K = 1이고 K = {e}을(를) 가정하십시오. H가 V와 어떤 요소도 공유하지 않는 경우 ID 요소 e를 제외한 H의 5개 요소는 {1, 2, 3, 4}에서 a, b, c가 구별되는 (a b c) 형태여야 한다.

(a b c) 제곱 형태의 어떤 원소는 (a c b)이고 (a b)(a b) = e이므로, (a b c) 형태의 H의 어떤 원소는 반드시 그 역과 짝을 이루어야 한다. 특히 H의 나머지 5개 요소는 V에 없는 A의₄ 구별되는 요소 쌍에서 나와야 한다. 원소 쌍은 짝수여야 하며 합계가 5개까지 되지 않기 때문에 이것은 불가능하다. 따라서 K = 1이라는 가정이 틀렸으므로 K = 2라는 가정은 틀렸다.

그러면 K = {e, v} 여기서 v v V, v는 (a b)(c d) 형식이어야 하며, a, b, c, d는 {1, 2, 3, 4}의 구별되는 요소다. H의 나머지 네 원소는 길이 3의 사이클이다.

그룹의 하위 그룹에 의해 생성된 코세트가 그룹의 파티션을 형성한다는 점에 유의하십시오. 특정 부분군에 의해 생성된 코세트는 서로 동일하거나 분리된다. 그룹 내 서브그룹의₄ 지수 [A : H₄] = A / H는 해당 서브그룹에서 생성된 코스메트의 수입니다. A₄ = 12, H = 6이므로 H는 두 개의 왼쪽 코스메트를 생성하며 하나는 H와 같고 다른 하나는 길이 6이며 H에 포함되지 않는 A의₄ 모든 요소를 포함한다.

H에 의해 생성되는 구별되는 코세트는 2개뿐이므로, H는 정상이어야 한다. 그 때문에 H = gHg⁻¹ ( (g ∈ A₄). 특히 g = (a b c) ∈ A에₄ 대해서는 그렇다. H = gHg⁻¹, gvg⁻¹ ∈ H.

일반성을 상실하지 않고 a = 1, b = 2, c = 3, d = 4라고 가정한다. 그 다음 g = (1 2 3), v = (1 2)(3 4), g⁻¹ = (1 3 2), gv = (1 3 4), gvg⁻¹ = (1 4)(2 3)이다. 다시 변환하면 gvg⁻¹ = (a d)(b c)가 나온다. 왜냐하면 V는 A₄, gvg⁻¹ ∈ V에 있는 모든 분리 전이를 포함하고 있기 때문이다. 따라서 gvg⁻¹ ∈ H ⋂ V = K.

gvg⁻¹ ≠ v 이후, 우리는 K에 제3의 원소가 있음을 증명했다. 그러나 아까 우리는 K = 2라고 가정했기 때문에 모순이 있다.

따라서 순서 6의 부분군이 있다는 우리의 원래 가정은 사실이 아니며 결과적으로 A에₄ 순서 6의 부분군이 없고 라그랑주 정리의 역이 반드시 진실인 것은 아니다. Q.E.D.

역사

라그랑주 자신은 그 일반적인 형태로 정리를 증명하지 못했다. 그는 그의 글에서, Réflexion sur la résolution algébrique des ecquations에서,^[3] n 변수의 다항식이 모든 n! 방식으로 그 변수를 순열한다면, 획득되는 다른 다항식의 수는 항상 n!의 요소라고 말했다. (예를 들어, 변수 x, y, z가 다항식 x + y - z에서 가능한 6가지 방법으로 모두 순열된 경우, x + y - z, x + z - y, y + z - x의 총 3개의 다항식을 얻게 된다. 3은 6의 인수라는 점에 유의하십시오.) 그러한 다항식의 수는 다항식을 보존하는 순열의 부분군 H의 대칭군 S에_n 있는 색인이다.(예를 들어, S의 부분군 H에는 정체성과₃ 전이성(x y)이 포함되어 있다.) 그래서 H의 크기는 n을 나눈다. 추상적인 집단의 후발전에 따라, 다항식들에 대한 라그랑이의 이 결과는 현재 그의 이름을 가지고 있는 유한집단에 대한 일반적인 정리까지 확장되는 것으로 인식되었다.

1801년 그의 Discquisitiones Mathetae에서 칼 프리드리히 가우스는${\displaystyle }$(${\displaystyle Z\mathbb{}/p\mathbb{}{}^{}}$Z )$∗{\$(\$mathb {Z}/p\mathbb${Z$\}^*\})$의 특별한 경우를 위한 라그랑주의 정리를 증명했는데,^[4] 여기서 p는 프라임이다. 1844년 아우구스틴루이 카우치는 대칭군 S에_n 대한 라그랑주의 정리를 증명했다.^[5]

카밀 조던은 마침내 1861년 어떤 순열 집단의 경우를 위해 라그랑주의 정리를 증명했다.^[6]

메모들

참조

• Bray, Henry G. (1968), "A note on CLT groups", Pacific J. Math., 27 (2): 229–231, doi:10.2140/pjm.1968.27.229
• Gallian, Joseph (2006), Contemporary Abstract Algebra (6th ed.), Boston: Houghton Mifflin, ISBN 978-0-618-51471-7
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004), Abstract algebra (3rd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-43334-7, MR 2286236
• Roth, Richard R. (2001), "A History of Lagrange's Theorem on Groups", Mathematics Magazine, 74 (2): 99–108, doi:10.2307/2690624, JSTOR 2690624

외부 링크

• Bray, Nicolas. "Lagrange's Group Theorem". MathWorld.