개연성 프라임

수 이론에서 개연성 소수(PRP)는 모든 소수들이 만족하지만 대부분의 복합적인 숫자로 만족하지 않는 특정 조건을 만족하는 정수다. 발생 가능한 프리타임의 종류에 따라 구체적인 조건이 다르다. 복합적인 프리타임(가성 시간이라고 함)이 있을 수 있지만, 그러한 예외를 드물게 만들기 위해 일반적으로 조건을 선택한다.

페르마의 작은 정리를 바탕으로 한 페르마의 복합성에 대한 테스트는 다음과 같이 작용한다:정수 n을 주어 n의 배수가 아닌 정수 a를 선택한다.(일반적으로 우리는 범위 1 < a < n - 1>에서 a를 선택한다. modulo^{n − 1} n을 계산한다. 결과가 1이 아니면 n이 복합적이다. 결과가 1이면 n이 prime이 될 가능성이 높고, n은 a를 기초로 할 수 있는 probable prime이라고 불린다. a를 베이스할 수 있는 약한 개연성 prime은 a를 베이스할 수 있는 개연성 prime이지만, a를 베이스할 개연성이 강한 개연성 prime은 아니다(아래 참조).

고정 베이스 a의 경우, 복합 숫자가 그 베이스에 대한 개연성 있는 프라임(즉 가성)인 것은 이례적이다. 예를 들어, 25 × 10까지⁹, 11,408,012,595개의 홀수 합성수가 있지만, 21,853회의 가성비 2에 불과하다.^[1]^{: 1005} 같은 간격의 홀수 소수점은 1,091,987,404이다.

특성.

개연성 원시성은 암호학에서 응용 프로그램을 찾는 효율적인 원시성 테스트 알고리즘의 기초가 된다. 이 알고리즘들은 본질적으로 대개 확률론적이다. 아이디어는 고정된 a에 대해 a를 기초로 할 수 있는 복합적인 개연성이 있지만, 특정 복합체 n에 대해 임의로 a를 선택할 경우 n이 기초할 유사 개연성이 최대 P가 되도록 고정된 P<1이 존재하기를 바랄 수 있다. 만약 우리가 매번 새로운 것을 선택하면서 이 시험 k를 반복한다면, n이 시험한 모든 것에 가성비가 될 확률은 따라서 대부분의^k P이고, 이것이 기하급수적으로 감소함에 따라, 이 확률을 무시할 수 없을 정도로 작게 만드는 데는 중간 k만이 필요하다(예를 들어, 컴퓨터 하드웨어 오류의 확률에 비해).

이것은 Carmichael 숫자가 존재하기 때문에 약 개연성 있는 소수점에는 유감스럽게도 거짓이다. 그러나 개연성 있는 소수점(P = 1/4, Miller-Rabin 알고리즘), 또는 오일러 개연성 소수점(P = 1/2, Solovay-Strassen 알고리즘)과 같이 개연성 있는 소수점 개념에 대해서는 사실이다.

결정론적 원시성 증명이 필요한 경우에도 유용한 첫 번째 단계는 가능한 원시성을 시험하는 것이다. 이것은 대부분의 합성물을 신속하게 제거할 수 있다.

PRP 테스트는 때때로 작은 유사 횟수의 표와 결합되어 일부 임계값보다 작은 특정 숫자의 원시성을 신속하게 확립한다.

변형

a를 기초로 할 가능성이 있는 오일러(Uiler probable prime)는 어느 프라임 p에 대해서도 등가 $({\tfrac {a}{p}})$ $){\displaystyle({\$ tfrac ${a}{p$ }}}) 모듈로 $({\tfrac {a}{p}})$ p라는 다소 강한 정리로 프라임을 나타내는 정수인데, 여기서 (p ) ${\displaystystyle({\tfrac$ { $a}{p}{$ p}}}}}})은 $(\tfrac{a}{p})$ 자코비 기호)이다. 복합적인 오일러 개연성 프라임은 a의 기초가 되는 오일러-자코비 가성비라고 불린다. 가장 작은 오일러-자코비 가성비는 베이스 2까지 561이다.^[1]^{: 1004} 25·10⁹ 미만의 오일러-자코비 유사시 2 베이스가 11347개 있다.^[1]^{: 1005}

이 시험은 1모듈로 1개의 제곱근만이 1과 -1이라는 사실을 이용하여 개선할 수 있다. n = d · 2^s + 1을 쓰십시오. 여기서 d는 홀수입니다. n은 다음과 같은 경우에 기초할 수 있는 강력한 개연성 소수(SPRP)이다.

{\daystyle a^{d}\equiv 1{\pmod{n},\;}

또는

{\d 스타일 a^{d\cdot 2^{r}\equiv -1{\pmod{n}{\text{{}}{{0\leq r\leq s-1.\,}

a의 기초가 될 가능성이 있는 복합적인 강력한 prime을 base a의 기초가 되는 강한 가성비라고 한다. a를 베이스로 할 수 있는 모든 강력한 가능성 또한 동일한 베이스에 대한 오일러 가능성 있는 프라임이지만, 그 반대의 경우도 아니다.

가장 작은 가성비 베이스 2는 2047이다.^[1]^{: 1004} 25·10보다⁹ 적은 4842회의 강한 가성비 베이스 2가 있다.^[1]^{: 1005}

루카스 수열을 바탕으로 한 루카스 개연성도 있다. Lucas 가망성이 있는 프라임 테스트는 단독으로 사용할 수 있다. 더빌리-PSW primality test는 루카스 테스트와 강력한 primary test를 결합한다.

SPRP의 예

97이 강력한 잠재적 프라이머리 베이스인지 테스트하려면 2:

1단계: $d$ {\ $displaystyle d}$ 및 $d$ $s$ $s$ 을 $s$ (를) 찾으십시오. $96=d\cdot 2^{s}$ = d $96=d\cdot 2^{s}$ $96=d\cdot 2^{s}$ ${\$ 2 $^{s$ $d$ 서 d ${\displaystyd}$ 는 $d$ 홀수입니다.
- $s=0$ = $s=0$ ${\displaystyle s=0$ $d$ $d$ 은(는) $96$ $96$ 이(가) 될 수 있음 $d$
- $s$ $s$ 을(를 $s$ 증가시키면 $d=3$ = 3 $d=3$ 및 $d=3$ $s=5$ = $s=5$ $s=5$ 이(가) 확인되는데 $s=5$ $96=3\cdot 2^{5}$ = $96=3\cdot 2^{5}$ $96=3\cdot 2^{5}$ $96=3\cdot 2^{5}$ $96=3\cdot 2^{5}$ ${\$ 2 $^{5}$ 이기 때문이다.
$2단계$ : ${\displaystyle a$ $1<a<97-1$ $1<a<97-1$ - 1 ${\displaystyle 1>$ 을 선택하십시오 $1<a<97-1$ $a=2$ = $a=2$ ${\displaystyle a=2$ }을 $($ 를 $)$ 선택하십시오 $a=2$
3단계: $a^{d}{\bmod {n}}$ $a^{d}{\bmod {n}}$ $a^{d}{\bmod {n}}$ ${\$ 즉 $2^{3}{\bmod {9}}7$ $2^{3}{\bmod {9}}7$ $2^{3}{\bmod {9}}7$ $2^{3}{\bmod {9}}7$ $2^{3}{\bmod {9}}7$ ${\displaystyle 2^{3}{\bmod{9$ 1 ${\displaystystyle 1}$ 과( $와$ ) 일치하지 않기 때문에 다음 조건을 계속 테스트한다 $1$
4단계: $0\leq r<s$ $0\leq r<s$ $0\leq r<s$ < $0\leq r<s$ ${\displaystyle$ $0$ $\leq r$ $}$ 에 $2^{3\cdot 2^{r}}{\bmod {9}}7$ 대해 $2^{3\cdot 2^{r}}{\bmod {9}}7$ $2^{3\cdot 2^{r}}{\bmod {9}}7$ $2^{3\cdot 2^{r}}{\bmod {9}}7$ 2 $2^{3\cdot 2^{r}}{\bmod {9}}7$ $2^{3\cdot 2^{r}}{\bmod {9}}7$ $2^{3\cdot 2^{r}}{\bmod {9}}7$ 7 ${\displaystyle$ 2 $^{3\cdot 2^}{r}{\bmod{9}}}}}}}}}}}$ 을(를) $계산$ 하십시오 $.$ 96 {\ $displaystyp$ 97 ${\$ displaystypreaset $97}$ 은 아마도 $97$ primepreason 9}일 것이다 $96$ 그렇지 않으면 $97$ $97$ 은(는) 확실히 복합적인 것이다 $97$ .
- $r=0:2^{3}\equiv 8{\pmod{97}}$
- $r=1:2^{6}\equiv 64{\pmod{97}}$
- $r=2:^{12}\equiv 22{\pmod{97}}$
- $r=3:2^{24}\equiv 96{\pmod{97}}$
따라서 $[\displaystyle 97]$ 은 강력한 개연성 있는 프라이머리 베이스 2(따라서 개연성 있는 프라이머리 베이스 2)이다 $97$ .

참고 항목

외부 링크

참조

^ ^a ^b ^c ^d ^e Carl Pomerance; John L. Selfridge; Samuel S. Wagstaff, Jr. (July 1980). "The pseudoprimes to 25·10⁹" (PDF). Mathematics of Computation. 35 (151): 1003–1026. doi:10.1090/S0025-5718-1980-0572872-7. JSTOR 2006210.

[PSW-1] Carl Pomerance; John L. Selfridge; Samuel S. Wagstaff, Jr. (July 1980). "The pseudoprimes to 25·10⁹" (PDF). Mathematics of Computation. 35 (151): 1003–1026. doi:10.1090/S0025-5718-1980-0572872-7. JSTOR 2006210.

[1]

v t 프라임 번호 클래스
수식별	페르마( $2 2 n$ + $1$ ) 메르센( $2 p$ - $1$ ) 더블 메르센( $2 2 p -1$ - $1$ ) 와그스태프( $2 p +1)/3$ 프로트( $k /2 n$ + $1$ ) 요인( $n!$ ± $1$ ) 원시적( $p n #$ ± $1$ ) 유클리드( $p n #$ + $1$ ) 피타고라스 ( $4n$ + 1) 삐에폰트(2 $/3 m n$ + $1$ ) 쿼탄( $x 4 4$ + y) 솔리나스( $2 m$ ± 2 ± $1 n$ ) 컬렌 ( $n \cdot2 n$ + $1$ ) 우달( $n /2 n$ - $1$ ) 쿠바어( $x 3 3$ - y $)/(x$ - $y$ ) 레이랜드( $x y x$ + y) 타비트( $3/2 n$ - $1$ ) 윌리엄스 ( $b-1)\cdot b n$ - $1$ ) 밀스(⌊ $A 3 n ⌋)$
정수순별	피보나치 루카스 펠 뉴먼-상크스-윌리엄스 페린 파티션 벨 모츠킨
재산별	위페리히 (페어) 월선 월스텐홀름 윌슨 럭키 행운의 라마누잔 필라이 정규 강하다 선미 초점수(엘리프틱 곡선) 슈퍼싱글러 (달빛설) 좋아 잘 하는 군요 힉스 매우 편협한
기저 의존적	팔린드로믹 에미르프 재단위 $(10 n$ - 1 $)/9$ 퍼머블 원형 잘릴 수 있음 미니멀 섬세한 프라임벌 풀 파충류 유니크 행복하다 셀프 스마란다체-웰린 스트로보그램법 디헤드랄 테트라디어
패턴	트윈( $p,$ p + $2$ ) 바이-트윈 체인( $n$ - 1 $, n$ + 1 $, 2n$ - 1 $, 2n$ + 1, $\dots)$ 트리플릿( $p,$ $p$ + 2 $또는$ $p$ + 4 $, p$ + $6$ ) 쿼드러플릿( $p,$ $p$ + 2 $,$ $p$ + 6 $, p$ + $8$ ) k-투플 사촌( $p,$ p + $4$ ) 섹시( $p,$ p + $6$ ) 첸 소피 제르맹/세이프( $p, 2p$ + $1$ ) 커닝햄( $p, 2p$ ± 1, $4p$ ± 3, $8p$ ± 7, $...)$ 산술수열( $p$ + $a\cdotn,$ $n$ = $0,$ 1, 2 $, 3$ , $...)$ 균형( $연속$ $p$ - $n,$ $p,$ p + $n$ )
크기별	메가(100,000자리 이상) 알려진 것 중 가장 큰 것
콤플렉스	아이젠슈타인 전성기 가우스 프라임
합성수	가성비 카탈루냐 주 타원체 오일러 오일러자코비 페르마 프로베니우스 루카스 소머루카스 강하다 카마이클 수 거의 전성기 세미프라임 인터프라임 치명적
관련 항목	개연성 프라임 산업용 프라임 불법 프라임 소수점 수식 프라임 갭
처음 60회	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
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