완전토텐트수

수 이론에서, 완벽한 총수는 그것의 반복된 총 총합과 같은 정수다. 즉, 우리는 기초함수를 숫자 n에 적용하고, 그 결과의 기초함수에 다시 적용하며, 따라서 숫자 1에 도달할 때까지, 그리고 결과적인 수의 순서를 함께 추가한다. 합이 n이면, n은 완벽한 기초 숫자다.

예를 들어, 9보다 작고 비교적 소수인 양의 정수가 6개 있으므로 9의 합계는 6개, 6보다 적은 숫자와 상대적으로 소수인 것이 2개, 그리고 2보다 적은 숫자와 상대적으로 소수인 것이 2개, 2보다 적은 숫자와 소수인 것이 2개, 9 = 6 + 2 + 1이므로 9는 완전한 합이다.

처음 몇 개의 완벽한 기초 수치는

3, 9, 15, 27, 39, 81, 111, 113, 183, 243, 255, 327, 363, 471, 729, 2187, 2199, 3063, 4359, 4375, ...(OEIS의 경우 순서 A082897).

기호에는 글씨를 쓴다.

${\displaystyle \varphi ^{i}(n)={\case}\case}\varphi (\varphi ^{i-1}(n)인 경우)&#text{{}}$

전체 토티엔트 함수를 위해. 그 다음 c가 다음과 같은 정수인 경우

${\displaystyle \displaystyle \varphi ^{c}(n)=2,}$

만약의 경우 n은 완벽한 토텐도수라는 것을 가지고 있다.

${\displaystyle n=\sum _{i=1}^{c+1}\varphi ^{i}(n).}$

3의 배수 및 힘

많은 완벽한 토텐트가 3의 배수라는 것을 알 수 있다. 사실, 4375는 3으로 나누어지지 않는 가장 작은 토텐트 수다. 3의 모든 힘은 완벽한 토텐도 수로서, 인덕션에 의해 알 수 있듯이 다음과 같은 사실을 이용한 것으로도 볼 수 있다.

${\displaystyle \varphi(3^{k})=\varphi(2\message 3^{k}=2\message 3^{k-1}.}$

벤카타라만(1975)은 또 다른 완벽한 토티엔트 수를 발견했다: p = 4 × 3^k + 1이 프라임이라면, 3p는 완벽한 토티엔트 수이다. 이런 식으로 완벽한 토텐도 숫자로 이끄는 k의 가치는 다음과 같다.

0, 1, 2, 3, 6, 14, 15, 39, 201, 249, 1005, 1254, 1635, ...(OEIS에서 연속 A005537).

보다 일반적으로 p가 3보다 큰 소수이고, 3p가 완벽한 토털 숫자라면, p ( 1 (mod 4) (모한과 수리아나야나 1982년)이다. 이 형태의 모든 p가 완벽한 총수로 이어지는 것은 아니다. 예를 들어, 51은 완벽한 총수가 아니다. 이안누치 외 (2003)은 9p가 완전한 토털 숫자라면 p는 그들의 논문에 열거된 세 가지 특정한 형태 중 하나의 프라임이라고 보여주었다. p가^k prime인 형태 3p와 k > 3의 완전한 토털 숫자가 있는지 알 수 없다.

참조

• Pérez-Cacho Villaverde, Laureano (1939). "Sobre la suma de indicadores de ordenes sucesivos". Revista Matematica Hispano-Americana. 5 (3): 45–50.

• Guy, Richard K. (2004). Unsolved Problems in Number Theory. New York: Springer-Verlag. p. §B41. ISBN 0-387-20860-7.

• Iannucci, Douglas E.; Deng, Moujie; Cohen, Graeme L. (2003). "On perfect totient numbers" (PDF). Journal of Integer Sequences. 6 (4): 03.4.5. MR 2051959. Archived from the original (PDF) on 2017-08-12. Retrieved 2007-02-07.

• Luca, Florian (2006). "On the distribution of perfect totients" (PDF). Journal of Integer Sequences. 9 (4): 06.4.4. MR 2247943. Archived from the original (PDF) on 2017-08-11. Retrieved 2007-02-07.

• Mohan, A. L.; Suryanarayana, D. (1982). "Perfect totient numbers". Number theory (Mysore, 1981). Lecture Notes in Mathematics, vol. 938, Springer-Verlag. pp. 101–105. MR 0665442.

• Venkataraman, T. (1975). "Perfect totient number". The Mathematics Student. 43: 178. MR 0447089.

이 글에는 크리에이티브 커먼스 귀속/공유-알리케 라이센스에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath의 완벽한 토티엔트 번호의 자료가 통합되어 있다.