레이랜드 수

수론에서, 레이랜드 숫자는 형태의 숫자이다.

x^{y}+y^{x}

여기서 x와 y는 ^[1]1보다 큰 정수입니다.그것들은 수학자 폴 릴랜드의 이름을 따서 지어졌다.처음 몇 개의 레이랜드 숫자는

8, 17, 32, 54, 57, 100, 145, 177, 320, 368, 512, 593, 945, 1124(OEIS에서는 시퀀스 A076980).

x와 y가 모두 1보다 크다는 요건은 중요하다. 왜냐하면 x와 y가 없으면 모든 양의 정수는^x x + 1 형식의¹ 레이랜드 숫자가 되기 때문이다.또, 덧셈의 치환성 때문에, 통상, 조건 x is y는 Leyland 번호의 세트를 이중으로 덮는 것을 피하기 위해서 추가된다(따라서 1 < y x x).

레이랜드 소수

Leyland 소수는 Leyland 숫자이며, 또한 소수이다.이러한 첫 번째 소수점은 다음과 같다.

17, 593, 32993, 2097593, 8589935681, 596046447833532493, 5233476330360537213677376773767737677137, 431439883273989793424750374600193, ... (OEIS의 시퀀스 A094133)

대응하다

3²+2³, 9²+2⁹, 15²+2¹⁵, 21²+2²¹, 33²+2³³, 24⁵+5²⁴, 56³+3⁵⁶, 32¹⁵+15³².^[2]

또한 y 값을 고정하고 레이랜드 소수를 제공하는 x 값의 시퀀스를 고려할 수 있다. 예를² 들어 x + 2는^x x = 3, 9, 15, 21, 33, 2007, 2127, 3759, ...(OEIS: A064539)에 대해 소수이다.

2012년 11월까지 소수임이 증명된 가장 큰 레이랜드 숫자는 5122⁶⁷⁵³ + 6753으로⁵¹²² 25050자리였다.2011년 1월부터 2011년 4월까지 타원곡선 원시성 ^[3]증명으로 원시성이 입증된 최대 소수였다.2012년 12월에는 3110⁶³+63³¹¹⁰(5596자리)과 8656²⁹²⁹+2929⁸⁶⁵⁶(30008자리)^[4]의 소수성이 입증되어 개선되었다.314738⁹ + ^[5]9와³¹⁴⁷³⁸ 같이 알려진 많은 더 큰 소수가 있지만, 큰 레이랜드 숫자의 소수를 증명하기는 어렵다.Paul Leyland는 자신의 웹사이트에 다음과 같이 쓰고 있습니다.「더 최근에는, 이 형식의 숫자가 범용의 프라이머리리티 증명 프로그램에 이상적인 테스트 케이스라고 인식되고 있습니다.이들은 단순한 대수적 기술을 가지고 있지만 특수 목적 알고리즘이 이용할 수 있는 명확한 사이클로토믹 특성은 없습니다."

복합 레이랜드 ^[6]수를 인수분해하는 XYYXF라는 프로젝트가 있습니다.

현재 알려진 가장 큰 레이랜드 소수는 81650⁵⁴³⁶⁹+54369⁸¹⁶⁵⁰(386,642자리)이다.이 소수는 2021년 6월 유수프 아타르바시에 의해 발견되었다.^[7]

제2종 레이랜드 수

두 번째 종류의 레이랜드 번호는 형식의 번호이다.

x^{y}-y^{x}

여기서 x와 y는 1보다 큰 정수입니다.첫 번째 숫자는 다음과 같습니다.

0, 1, 7, 17, 28, 79, 118, 192, 399, 431, 513, 924, 1844, 1927, 2800, 3952, 6049, 7849, 8023, 13983, 16188, 1894, 3253, 58049, 61318, 61440, 65280, 130783, 162287, 2583, 25855, 25855, 161883, 161883, 16183

두 번째 종류의 레이랜드 소수(Leyland prime)는 두 번째 종류의 레이랜드 소수(Leyland number)로, 역시 소수이다.처음 몇 가지 소수점은 다음과 같습니다.

7, 17, 79, 431, 58049, 130783, 162287, 523927, 2486784401, 6102977801, 83755767575711, 130557207, 83695120256591, 375726841357, 22517998132647, ... (OIS의 시퀀스 A123208647)

가능한 소수점에 대해서는 PRP Top Records ^[8]검색의 Henri Lifchitz & Renaud Lifchitz를 참조하십시오.

레퍼런스

^ Richard Crandall and Carl Pomerance (2005), Prime Numbers: A Computational Perspective, Springer
^ "Primes and Strong Pseudoprimes of the form x^y + y^x". Paul Leyland. Archived from the original on 2007-02-10. Retrieved 2007-01-14.
^ "Elliptic Curve Primality Proof". Chris Caldwell. Retrieved 2011-04-03.
^ "Mihailescu's CIDE". mersenneforum.org. 2012-12-11. Retrieved 2012-12-26.
^ Henri Lifchitz & Renaud Lifchitz, PRP 상위 레코드 검색.
^ "Factorizations of x^y + y^x for 1 < y < x < 151". Andrey Kulsha. Retrieved 2008-06-24.
^ Havermann, Hans. "List of known Leyland primes". Archived from the original on June 30, 2021. Retrieved June 30, 2021.
^ Henri Lifchitz & Renaud Lifchitz, PRP 상위 레코드 검색

외부 링크

Leyland Numbers - YouTube의 Numberphile

[CP2005-1] Richard Crandall and Carl Pomerance (2005), Prime Numbers: A Computational Perspective, Springer

[Leyland-2] "Primes and Strong Pseudoprimes of the form x^y + y^x". Paul Leyland. Archived from the original on 2007-02-10. Retrieved 2007-01-14.

[ECPP-3] "Elliptic Curve Primality Proof". Chris Caldwell. Retrieved 2011-04-03.

[4] "Mihailescu's CIDE". mersenneforum.org. 2012-12-11. Retrieved 2012-12-26.

[5] Henri Lifchitz & Renaud Lifchitz, PRP 상위 레코드 검색.

[Kulsha-6] "Factorizations of x^y + y^x for 1 < y < x < 151". Andrey Kulsha. Retrieved 2008-06-24.

[7] Havermann, Hans. "List of known Leyland primes". Archived from the original on June 30, 2021. Retrieved June 30, 2021.

[8] Henri Lifchitz & Renaud Lifchitz, PRP 상위 레코드 검색

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[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

v t 소수 클래스
공식에 의한	페르마 ( $2 2 n$ + $1$ ) 메르센 $(2 p$ - 1) $더블 2 p -1$ 메르센(2 - $1$ ) 와그스태프( $2 p +1)/3$ 프로스( $k \cdot2 n$ + $1$ ) 요인( $n!$ ± $1$ ) 초기( $p n #$ ± $1$ ) 유클리드( $p n #$ + $1$ ) 피타고라스어 ( $4n$ + $1$ ) 피어폰트( $2 m \cdot3 n +1$ ) 쿼탄( $x 4$ + $y 4$ ) 솔리나(2 ± $2 m$ ± $1 n$ ) Cullen ( $n \cdot2 n + 1$ ) 우돌( $n \cdot2 n$ - $1$ ) 쿠바어( $x 3$ - $y 3)/(x$ - $y$ ) 레이랜드 ( $x y$ + $y x$ ) Thabit ( $3\cdot2 n - 1$ ) 윌리엄스(( $b-1)\cdotb-1 n$ ) 밀스( $A 3 n)$
정수순서별	피보나치 루카스 펠 뉴먼 생크스 윌리엄스 페린 파티션 벨 모츠킨
속성별	비페리히(페어) 벽-태양-태양 볼스텐홀름 윌슨 럭키 행운의 라마누잔 필라이 규칙적인. 강한. 스턴 슈퍼싱귤러(엘리전트 곡선) 초대칭(문신 이론) 좋아요. 잘 하는 군요 힉스 고공역성
베이스 의존	회문 에미르프 유닛 $(10 n$ - $1)/9$ 치환 가능 원형 잘라낼 수 있다 최소 연약한 원시 전체 파충류 독특한 행복해 자신 스마란다슈웰린 스트로보그라마틱 이면체 테트라디크
패턴	트윈 ( $p, p$ + $2$ ) 쌍방향 체인( $n \pm 1$ , $2n \pm 1$ , $4n \pm 1$ , $\dots)$ 삼중항( $p, p$ + 2 $또는$ p + $4,$ p + $6$ ) 4중항( $p, p$ + 2 $, p$ + $6,$ p + $8$ ) k태플 사촌 ( $p, p$ + $4$ ) 섹시 ( $p, p$ + $6$ ) 첸 Sophie Germain / Safe ( $p, 2p$ + $1$ ) 커닝햄( $p, 2p \pm 1$ , $4p \pm 3$ , $8p$ $\pm 7$ , $...)$ 산술 수열( $p$ + $a\cdotn,$ $n$ = $0, 1, 2, 3$ , $...)$ 밸런스( $연속$ p - $n,$ $p, p$ + $n$ )
크기별	메가(1,000,000자리 이상) 알려진 최대 크기
복소수	아이젠슈타인 소수 가우스 프라임
합성수	의사 시간 카탈로니아어 타원형 오일러 오일러-야코비 페르마 프로베니우스 루카스 소머-루카스 강한. 카마이클 수 거의 프라임 세미프라임 인터프라임 유해.
관련 토픽	개연소수 산업용 프라임 부정한 소수 소수 공식 프라임 갭
처음 60개의 소수점	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
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