폴리냑의 추측

수 이론에서 폴리그낙의 추측은 1849년 알퐁스 드 폴리그낙에 의해 이루어졌으며 다음과 같이 말하고 있다.^[1]

모든 양의 짝수 n에 대해, n 크기의 주요 간격은 무한히 많다.즉, 다음과 같다.차이가 n인 2연속 소수인 경우가 무한히 많다.^[2]

비록 그 추측이 n의 어떤 주어진 가치에 대해 아직 증명되거나 반증되지 않았지만, 2013년, n < 7,000,000,000,000의 어떤 가치에 대해 n 크기의 주요한 차이가 무한히 많다는 것을 증명했던 장이탕에 의해 중요한 돌파구가 만들어 졌다.^[3][4]그 해 말, 제임스 메이너드는 600보다 작거나 같은 크기의 프라임 갭이 무한히 많다는 것을 증명하는 관련 돌파구를 발표했다.^[5]장보고의 발표 1년 뒤인 2014년 4월 14일 현재 polymath 프로젝트 wiki에 따르면 n은 246으로 줄었다.^[6]또한, 엘리엇-할베르스탐 추측과 그 일반화된 형태를 가정하면, 폴리매스 프로젝트 위키에는 n이 각각 12와 6으로 감소했다고 기술하고 있다.^[7]

n = 2의 경우, 그것은 쌍방향의 원시적 추측이다.n = 4의 경우 사촌 프리타임(p, p + 4)이 무한히 많다고 한다.n = 6의 경우 p와 p + 6 사이에는 아무런 프라임이 없는 섹시한 프라임(p, p + 6)이 무한히 많다고 한다.

딕슨의 추측은 폴리그낙의 추측을 일반화하여 모든 주요 별자리를 포괄한다.

추측밀도

n도 n보다 작은 n의 prime 갭의 수가 되도록 ${\displaystyle n_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \pi$ _${n}(x)}$을(를) 두십시오.

첫 번째 하디-리틀우드 추측은 점증적 밀도가 형태라고 말한다.

${\displaystyle \pi _{n}(x)\심 2C_{n}{n}^{2}}:\심 2C_{n}\int_{2}^{dt \over (\ln t)^{2}}:}$

여기서 C는_n n의 함수로서${\displaystyle }$~ ${\displaystyle \sim }$은 x가 무한에 가까워질 때 두 식의 몫이 1을 경향이 있음을 의미한다$$.^[8]

C는₂ 쌍의 소수점이다.

${\displaystyle C_{2}=\prod _{p\geq 3}{\frac {p(p-2)}^{2}}\ 약 0.6601618158468695727812110014\dots }$

제품이 모든 소수점 p p 3에 걸쳐 분포한다.

C는_n2 C에 n의 홀수 primary factors q에 따라 달라지는 숫자로 곱한다.

${\displaystyle C_{n}=C_{2}\prod _{q n}{\frac {q-1}{q-2}}.}$

예를 들어, C₄ = C₂, C₆ = 2C₂.쌍둥이 프리임은 사촌 프리타임과 같은 추측 밀도를 가지고 있으며, 섹시한 프리임의 절반이다.

n의 각 홀수 prime factor ${\displaystyle \frac{\mathrm{q}}{}}$는 $q{\displaystyle \frac{}{}}$ -${\displaystyle \frac{}{}}$ q${\displaystyle \frac{}{}}$- 2 ${\$의 인수로 쌍둥이 소수 대비 추측 밀도를 증가시킨다는 점에 유의하십시오$.$ 경험론적 주장은 다음과 같다.그것은 입증되지 않은 몇몇 가정에 의존하기 때문에 결론은 추측으로 남아있다.임의의 "잠재적인" 쌍둥이 프라임 쌍에서 임의의 홀수 프라임 q가 a 또는 + 2를 나눌 확률은 $2{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{q}{}}$ ${\$이다$.$ 이제 q가 n을 분할한다고 가정하고 잠재적 프라임 쌍(a, + n)을 고려한다.q는 if와 q가 a를 나누는 경우에만 + n을 나누며, 그 $가능성$은 ${\displaystyle \frac{\mathrm{1q}}{}}$ ${\${\$tfrac{1}{q}}$이다$.$The chance of (a, a + n) being free from the factor q, divided by the chance that (a, a + 2) is free from q, then becomes ${\displaystyle {\tfrac {q-1}{q}}}$ divided by ${\displaystyle {\tfrac {q-2}{q}}}$. This equals ${\displaystyle {\tfrac {q-1}{q-2}}}$ which transfers to th어림짐작한 원시 밀도n = 6의 경우, 인수는 다음과 같이 단순화된다: a가 무작위 숫자일 경우 3은 a 또는 + 2를 나눌 기회가 2/3이지만 a와 + 6을 나눌 기회는 1/3에 불과하므로, 후자의 쌍은 둘 다 prime일 가능성이 2배 더 높다고 추측한다.

메모들

참조

• Alphonse de Polignac, Recherches nouvelles sur les nombres premier.학술원 렌두스 데 세앙스 데 라아카데미 데스 사이언스(1849년)
• Weisstein, Eric W. "de Polignac's Conjecture". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "k-Tuple Conjecture". MathWorld.