2의 거듭제곱

2의 거듭제곱은 $n$ 이 정수인 형태 $2$ 의ⁿ 수, 즉 2를 밑수로 하고 정수 $n$ 을 지수로 하는 지수화의 결과입니다.

정수만 고려되는 상황에서 $n$ 은 음이 아닌 값으로 제한되므로,^[1] 1, 2, 2를 곱한 횟수가 일정합니다.^[2]

$n$ 이 음수가 아닌 값에 대한 2의 첫 10제곱은 다음과 같습니다.

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, ...(OEIS의 시퀀스 A000079)

이진수 체계의 기저

2는 이진수 체계의 기본이기 때문에 컴퓨터 과학에서는 2의 거듭제곱이 일반적입니다. 2진법으로 작성된 2의 거듭제곱은 항상 100의 형태를 갖습니다...10진법에서 10의 거듭제곱처럼 000 또는 0.00...001입니다.

컴퓨터 과학

길이가 $n$ 인 이진어에서 비트를 배열할 수 있는 방법의 수는 $2$ 에서ⁿ $n$ 의 지수로 적는 2입니다. 부호가 없는 정수로 해석되는 단어는 0( $000...000 2$ )에서 $2 n$ - 1( $111...111 2$ )까지의 값을 포함하여 나타낼 수 있습니다. 해당 부호화된 정수 값은 양수, 음수 및 0일 수 있습니다. 부호화된 숫자 표현을 참조하십시오. 어느 쪽이든 2의 거듭제곱보다 작은 하나는 이진 컴퓨터에서 정수의 상한이 되는 경우가 많습니다. 결과적으로 이 형태의 숫자는 컴퓨터 소프트웨어에 자주 나타납니다. 예를 들어, 8비트 시스템에서 실행되는 비디오 게임은 점수 또는 플레이어가 보유할 수 있는 항목 수를 255개로 제한할 수 있습니다. 이는 8비트 길이의 바이트를 사용하여 숫자를 저장한 결과이며, 최대 값은 $2$ - 1 = $255$ 입니다. 예를 들어, 원작 '젤다의 전설'에서 주인공은 주어진 시간에 255루피(게임의 화폐)를 휴대하는 것으로 제한되었고, 비디오 게임 팩맨은 256레벨의 킬 화면을 가진 것으로 유명합니다.

2의 거듭제곱은 종종 컴퓨터 메모리를 측정하는 데 사용됩니다. 바이트는 이제 8비트(옥텟)로 간주되어 256개의 값을⁸ 가질 수 있습니다. (바이트라는 용어는 한때 8비트 단위가 아닌 일반적으로 5~32비트의 비트 집합을 의미했습니다.) 접두사 킬로는 바이트와 결합하여 1,024(2¹⁰)를 의미할 수 있으며 전통적으로 사용되었습니다. 그러나 일반적으로 킬로라는 용어는 국제단위계에서 1,000(10³)을 의미하는 것으로 사용되어 왔습니다. 이진 접두사는 1,024를 의미하는 kibi(Ki)와 같이 표준화되었습니다. 거의 모든 프로세서 레지스터의 크기는 2제곱, 32제곱 또는 64제곱이며 매우 일반적입니다.

2의 힘은 다른 다양한 장소에서도 발생합니다. 많은 디스크 드라이브의 경우 섹터 크기, 트랙당 섹터 수 및 표면당 트랙 수 중 적어도 하나는 2의 거듭제곱입니다. 논리적 블록 크기는 거의 항상 2의 거듭제곱입니다.

2의 거듭제곱이 아닌 숫자는 비디오 해상도와 같은 여러 가지 상황에서 발생하지만, 종종 2 또는 3의 거듭제곱, 또는 2에서 1을 뺀 거듭제곱의 합 또는 곱이 됩니다. 예를 들어, $640$ = $32$ × $20$ , $480$ = $32$ × $15$ 입니다. 즉, 상당히 규칙적인 비트 패턴을 가지고 있습니다.

메르센과 페르마 소수

2의 거듭제곱보다 1 작은 소수를 메르센 소수라고 합니다. 예를 들어, 31이라는 소수는 32보다⁵ 1이 작기 때문에 메르센 소수입니다. 마찬가지로, 2의 양의 거듭제곱보다 하나 더 많은 소수를 페르마 소수라고 하는데, 지수 자체가 2의 거듭제곱입니다. 2의 거듭제곱을 분모로 하는 분수를 2차 유리수라고 합니다. 연속적인 양의 정수의 합으로 표현될 수 있는 수를 공손수라고 하는데, 정확히는 2의 거듭제곱이 아닌 수이다.

유클리드의 요소, 9권

기하학적 진행 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...(또는 이진수 체계에서는 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, ...)은 수론에서 중요합니다. 제9권 원소명제 36호는 이 진행의 첫 $번째$ n항의 합이 소수라면(따라서 위에서 언급한 바와 같이 메르센 소수이다), 이 합과 n항의 합은 완전수임을 증명합니다. 예를 들어 급수 1 + 2 + 4 + 4 + 8 + 16 = 31의 첫 5개 항의 합은 소수입니다. 합 31에 16을 곱한 값(계열의 5번째 항)은 496과 같아 완벽한 숫자입니다.

제9권 명제 35는 기하급수에서 두 번째 항과 마지막 항에서 첫 번째 항을 빼면 두 번째 항의 초과가 첫 번째 항과 마찬가지로 마지막 항의 초과도 마찬가지라는 것을 증명합니다. (이것은 기하급수에 대한 공식을 위에서 다시 언급한 것입니다.) 이를 기하학적 진행 31, 62, 124, 248, 496(모든 항에 31을 곱한 1, 2, 4, 8, 16의 결과)에 적용하면 62 빼기 31은 31이고 496 빼기 31은 31, 62, 124, 248의 합임을 알 수 있습니다. 따라서 숫자 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248은 모두 합하여 496이 되고, 더 나아가 496을 나누는 숫자들입니다. $p$ 가 496을 나누는데 이 숫자들 중에 포함되지 않는다고 가정해 보겠습니다. $pq$ 가 $16$ × $31$ , 또는 $p$ 가 16일 때 31이 to $q$ 라고 가정합니다. 이제 $p$ 는 16을 나눌 수 없거나 1, 2, 4, 8 또는 16 중 하나가 될 것입니다. 따라서 31은 $q$ 를 나눌 수 없습니다. 그리고 31은 $q$ 와 $q$ 를 496으로 나누지 않기 때문에 산술의 기본 정리는 $q$ 가 16을 나누어야 하며 숫자 1, 2, 4, 8 또는 16 중 하나여야 한다는 것을 의미합니다. $q$ 가 4라고 하면 $p$ 는 124가 되어야 하는데, 가설에 의해 $p$ 는 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248 중 하나가 아니기 때문에 불가능합니다.

값표

(OEIS의 시퀀스 A000079)


$n$	$2 n$	$n$	$2 n$	$n$	$2 n$	$n$	$2 n$
0	1	16	65,536	32	4,294,967,296	48	281,474,976,710,656
1	2	17	131,072	33	8,589,934,592	49	562,949,953,421,312
2	4	18	262,144	34	17,179,869,184	50	1,125,899,906,842,624
3	8	19	524,288	35	34,359,738,368	51	2,251,799,813,685,248
4	16	20	1,048,576	36	68,719,476,736	52	4,503,599,627,370,496
5	32	21	2,097,152	37	137,438,953,472	53	9,007,199,254,740,992
6	64	22	4,194,304	38	274,877,906,944	54	18,014,398,509,481,984
7	128	23	8,388,608	39	549,755,813,888	55	36,028,797,018,963,968
8	256	24	16,777,216	40	1,099,511,627,776	56	72,057,594,037,927,936
9	512	25	33,554,432	41	2,199,023,255,552	57	144,115,188,075,855,872
10	1,024	26	67,108,864	42	4,398,046,511,104	58	288,230,376,151,711,744
11	2,048	27	134,217,728	43	8,796,093,022,208	59	576,460,752,303,423,488
12	4,096	28	268,435,456	44	17,592,186,044,416	60	1,152,921,504,606,846,976
13	8,192	29	536,870,912	45	35,184,372,088,832	61	2,305,843,009,213,693,952
14	16,384	30	1,073,741,824	46	70,368,744,177,664	62	4,611,686,018,427,387,904
15	32,768	31	2,147,483,648	47	140,737,488,355,328	63	9,223,372,036,854,775,808

끝자리

2로 시작하는 마지막 숫자는 주기 4로 주기적이고 주기 2–4–8–6–로 주기 4로 시작하는 마지막 두 숫자는 주기 20으로 주기적입니다. 이러한 패턴은 일반적으로 모든 기저에 대해 모든 전력에 적용됩니다. 패턴은 각 패턴이 시작점 $2$ 를 가지며, 주기는φ(5) = 4 × 5인 2 모듈로 $5$ 의 곱셈 순서로 계속됩니다(정수 모듈론의 곱셈 그룹 참조).

파워 오브 1024

(OEIS의 시퀀스 A140300)

2의¹⁰ 처음 몇 거듭제곱은 1000(10³)의 같은 거듭제곱보다 약간 큽니다. 편차가 25% 미만인 2개¹⁰ 값의 거듭제곱은 다음과 같습니다.


2⁰	=	1	= 1000⁰	(0% 편차)
2¹⁰	=	1 024	≈ 1000¹	(2.4% 편차)
2²⁰	=	1 048 576	≈ 1000²	(4.9% 편차)
2³⁰	=	1 073 741 824	≈ 1000³	(7.4% 편차)
2⁴⁰	=	1 099 511 627 776	≈ 1000⁴	(10.0% 편차)
2⁵⁰	=	1 125 899 906 842 624	≈ 1000⁵	(12.6% 편차)
2⁶⁰	=	1 152 921 504 606 846 976	≈ 1000⁶	(15.3% 편차)
2⁷⁰	=	1 180 591 620 717 411 303 424	≈ 1000⁷	(18.1% 편차)
2⁸⁰	=	1 208 925 819 614 629 174 706 176	≈ 1000⁸	(편차 20.9%)
2⁹⁰	=	1 237 940 039 285 380 274 899 124 224	≈ 1000⁹	(23.8% 편차)

1024의 약 17제곱이 50% 편차에 도달하고 1024의 약 29제곱이 동일한 1000제곱의 100% 편차에 도달해야 합니다.^[3] 또한 바이너리 접두사 및 IEEE 1541-2002를 참조하십시오.

지수가 2의 거듭제곱인 2의 거듭제곱

데이터(구체적으로 정수)와 데이터의 주소가 동일한 하드웨어를 사용하여 저장되고, 데이터가 하나 이상의 옥텟( $23$ )에 저장되기 때문에, 2개의 이중 지수(double exponential)가 일반적입니다. 그 중 처음 20개는 다음과 같습니다.


$n$	$2 n$	$2 2 n$ (OEIS의 시퀀스 A001146)	자리수
0	1	2	1
1	2	4	1
2	4	16	2
3	8	256	3
4	16	65,536	5
5	32	4,294,967,296	10
6	64	18,446,744,073,709,551,616	20
7	128	340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,456	39
8	256	115,792,089,237,316,195,423,570,9...4,039,457,584,007,913,129,639,936	78
9	512	13,407,807,929,942,597,099,574,02...1,946,569,946,433,649,006,084,096	155
10	1,024	179,769,313,486,231,590,772,930,5...6,304,835,356,329,624,224,137,216	309
11	2,048	32,317,006,071,311,007,300,714,87...8,193,555,853,611,059,596,230,656	617
12	4,096	1,044,388,881,413,152,506,691,752,...0,243,804,708,340,403,154,190,336	1,234
13	8,192	1,090,748,135,619,415,929,462,984,...1,997,186,505,665,475,715,792,896	2,467
14	16,384	1,189,731,495,357,231,765,085,759,...2,460,447,027,290,669,964,066,816	4,933
15	32,768	1,415,461,031,044,954,789,001,553,...7,541,122,668,104,633,712,377,856	9,865
16	65,536	2,003,529,930,406,846,464,979,072,...2,339,445,587,895,905,719,156,736	19,729
17	131,072	4,014,132,182,036,063,039,166,060,...1,850,665,812,318,570,934,173,696	39,457
18	262,144	16,113,257,174,857,604,736,195,72...0,753,862,605,349,934,298,300,416	78,914
19	524,288	259,637,056,783,100,077,612,659,6...1,369,814,364,528,226,185,773,056	157,827

또한 페르마 수, 테트레이션 및 하위 하이퍼 연산을 참조하십시오.

지수가 2의 거듭제곱인 2의 거듭제곱에 대한 마지막 숫자

이 숫자들은 모두 6으로 끝납니다. 16으로 시작하는 마지막 두 자리는 주기 4와 주기 16–56–36–96–로, 마지막 세 자리는 주기 20으로 주기적입니다. 이러한 패턴은 일반적으로 모든 기저에 대해 모든 전력에 적용됩니다. 패턴은 각 패턴이 시작점 $2$ 를 가지며, 주기는φ(5) = 4 × 5인 2 모듈로 $5$ 의 곱셈 순서로 계속됩니다(정수 모듈론의 곱셈 그룹 참조).

지수가 2의 거듭제곱인 2의 거듭제곱에 관한 사실

동물과 관련하여 이 숫자들은 종종 페르마 2-파워라고 불립니다.

$2^{2^{n}}$ $2^{2^{n}}$ ${\$ 2 $^{n}}$ 은(는) 양의 정수로 이루어진 $x_{i}$ 모든 시퀀스 $x_{i}$ ${\$ 에 대해 시리즈를 구성합니다 $2^{2^{n}}$ .

\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{2^{i}}x_{i}}}={\frac {1}{2x_{0}}}+{\frac {1}{4x_{1}}}+{\frac {1}{16x_{2}}}+\cdots

무리수로 수렴합니다. 이 서열의 빠른 성장에도 불구하고, 이 서열은 알려진 것 중 가장 느리게 성장하는 비합리적 서열입니다.^[4]

컴퓨터 과학에서 지수가 2의 거듭제곱인 2의 거듭제곱

일반적으로 컴퓨터 데이터 유형의 크기는 2의 거듭제곱이므로 이 숫자는 해당 유형의 대표 가능한 값의 수를 계산합니다. 예를 들어, 4바이트로 구성된 32비트 워드는 $2개$ 의³² 서로 다른 값을 나타낼 수 있는데, 이 값은 단순한 비트 패턴으로 간주될 수도 있고, 0에서 $232$ - 1 $사이$ 의 부호가 없는 숫자 또는 $-2$ 에서³¹ $231$ - 1 $사이$ 의 부호가 없는 숫자의 범위로 해석될 수도 있습니다. 부호가 있는 숫자를 나타내는 것에 대한 자세한 내용은 2의 보어를 참조하십시오.

선택된 2개의 거듭제곱

2² = 4: 2의 제곱인 숫자. 또한 2개의 테트라테이션의 첫 번째 거듭제곱.
2⁸ = 256: 바이트 단위의 8비트로 표시되는 값의 수, 보다 구체적으로 옥텟이라고 합니다. (바이트라는 용어는 킬로바이트라는 용어에서 알 수 있듯이 8비트 양에 대한 엄격한 정의보다는 비트의 집합으로 정의되는 경우가 많습니다.)
2¹⁰ = 1,024: 접두사 변경을 유발하는 킬로 승수 1,000의 이진 근사치입니다. 예를 들어, 1,024 바이트 = 1 킬로바이트(또는 키비바이트)입니다.
2¹² = 4,096: Intel x86 호환 프로세서의 하드웨어 페이지 크기입니다.
2¹⁵ = 32,768: 부호가 있는 16비트 정수에 대한 음이 아닌 값의 수입니다.
2¹⁶ = 65,536

원래 x86 프로세서와 같이 16비트 프로세서에서 단일 단어로 표시할 수 있는 고유한 값의 수.^[5]; C#, Java 및 SQL 프로그래밍 언어의 짧은 정수 변수의 최대 범위입니다. Pascal 프로그래밍 언어에서 Word 또는 Smallint 변수의 최대 범위입니다.; 4-요소 집합에 있는 이항 관계의 개수입니다.
2²⁰ = 1,048,576: 접두사를 변경하는 메가 승수 또는 1,000,000 승수의 이진 근사치입니다. 예를 들어, 1,048,576 바이트 = 1 메가바이트(또는 메비바이트)입니다.
2²⁴ = 16,777,216: 일반적인 컴퓨터 모니터에서 사용하는 트루 컬러로 표시할 수 있는 고유 색상 수.; 이 숫자는 3채널 RGB 시스템을 사용한 결과이며, 색상은 0부터 3개의 값(적색, 녹색 및 청색)으로 독립적으로 정의됩니다(00) ~ 255(FF) 포함. 이것은 각 채널마다 8비트 또는 총 24비트를 제공합니다. 예를 들어, 순수한 블랙은 #000000, 순백은 #FFFFFF. 가능한 모든 색상의 공간인 16,777,216은 16⁶(각각 16개의 가능한 값이 있는 6자리), 256³(각각 256개의 가능한 값이 있는 3개의 채널) 또는 2²⁴(각각 2개의 가능한 값이 있는 24비트)로 결정할 수 있습니다.; 24비트 레지스터 또는 데이터 버스가 있는 컴퓨터에서 가장 큰 서명되지 않은 정수 또는 주소의 크기입니다.
2²⁹ = 536,870,912: 10자리 숫자가 다른 2의 가장 큰 거듭제곱.^[6]
2³⁰ = 1,073,741,824: 접두사 변경을 유발하는 기가- 또는 1,000,000,000 승수의 이진 근사치입니다. 예를 들어, 1,073,741,824 바이트 = 1기가바이트(또는 기가바이트)입니다.
2³¹ = 2,147,483,648

부호가 있는 32비트 정수에 대한 음이 아닌 값의 수입니다. 유닉스 시간은 1970년 1월 1일 이후 초 단위로 측정되기 때문에 2038년 문제로 알려진 유닉스를 실행하는 32비트 컴퓨터에서 2038년 1월 19일 화요일 03:14:07 UTC에 2,14,483,647초에 소진됩니다.
2³² = 4,294,967,296

32비트 프로세서에서 단일 단어로 표시할 수 있는 고유한 값의 수.^[7] 또는 원래 x86 프로세서와 같이 16비트 프로세서에서 이중 단어로 표시할 수 있는 값의 수.^[5]; an의 범위 int Java, C# 및 SQL 프로그래밍 언어의 변수입니다.; a의 범위 Cardinal 또는 Integer 파스칼 프로그래밍 언어의 변수입니다.; C 및 C++ 프로그래밍 언어에서 긴 정수 변수의 최소 범위입니다.; IPv4 아래의 총 IP 주소 수입니다. 겉으로 보기에는 많은 수이지만 사용 가능한 32비트 IPv4 주소의 수가 모두 소진되었습니다(단, IPv6 주소의 경우는 해당되지 않습니다).; GF(4)와 같은 임의의 4-요소 집합과 동일한 도메인을 갖는 이진 연산의 수.
2⁴⁰ = 1,099,511,627,776: 접두사를 변경하는 테라- 또는 1,000,000,000,000 승수의 이진 근사치입니다. 예를 들어, 1,099,511,627,776 바이트 = 1 테라바이트 또는 테비바이트입니다.
2⁵⁰ = 1,125,899,906,842,624: 페타- 또는 1,000,000,000,000 승수의 이진 근사치. 1,125,899,906,842,624 바이트 = 1 페타바이트 또는 페비바이트.
2⁵³ = 9,007,199,254,740,992: 모든 정수 값을 IEEE 이중 정밀 부동 소수점 형식으로 정확하게 표현할 수 있는 숫자입니다. 또한 10진수 숫자 9로 시작하는 첫 번째 거듭제곱 2입니다.
2⁵⁶ = 72,057,594,037,927,936: 더 이상 사용되지 않는 56비트 DES 대칭 암호에서 가능한 다른 키의 수.
2⁶⁰ = 1,152,921,504,606,846,976: exa- 또는 1,000,000,000,000,000 승수의 이진 근사치. 1,152,921,504,606,846,976 바이트 = 1 엑사바이트 또는 exbibyte.
2⁶³ = 9,223,372,036,854,775,808: 부호가 있는 64비트 정수에 대한 음수가 아닌 값의 수입니다.; 2 - 1, 프로그래밍 언어의 부호가 있는 64비트 정수에 대한 공통 최대값(equival적으로 양의 값의 수).
2⁶⁴ = 18,446,744,073,709,551,616: 64비트 프로세서에서 단일 단어로 표시할 수 있는 고유한 값의 수. 또는 32비트 프로세서에서 이중 단어로 표시할 수 있는 값의 수. 또는 원래 x86 프로세서와 같이 16비트 프로세서에서 쿼드워드로 표시할 수 있는 값의 수.^[5]; Java 및 C# 프로그래밍 언어의 긴 변수 범위입니다.; 파스칼 프로그래밍 언어에서 Int64 또는 QWord 변수의 범위입니다.; 일반적으로 단일 LAN 또는 서브넷에 제공되는 IPv6 주소의 총 수입니다.; 2⁶⁴ - 1, 체스판의 쌀알 수, 옛이야기에 따르면 첫 번째 사각형에 쌀알 1개가 들어 있고 그 다음 사각형에는 이전 사각형의 2배가 들어 있습니다. 이러한 이유로 이 숫자는 때때로 "체스 숫자"로 알려져 있습니다.; 2⁶⁴ - 1은 하노이 타워의 전설적인 64 디스크 버전을 완성하는 데 필요한 이동 횟수이기도 합니다.
2⁶⁸ = 295,147,905,179,352,825,856: 모든 소수 자릿수를 포함하는 첫 번째 거듭제곱 2. (OEIS의 시퀀스 A137214)
2⁷⁰ = 1,180,591,620,717,411,303,424: 제타- 또는 1,000,000,000,000,000,000 승수의 이진 근사치. 1,180,591,620,717,411,303,424 바이트 = 1 제타바이트(또는 제타바이트).
2⁸⁰ = 1,208,925,819,614,629,174,706,176: 1,208,925,819,614,629,174,706,176 바이트 = 1요타바이트(또는 요비바이트)의 이진 근사치.
2⁸⁶ = 77,371,252,455,336,267,181,195,264: 2는⁸⁶ 십진법에서 0을 포함하지 않는 2의 가장 큰 거듭제곱으로 추측됩니다.^[8]
2⁹⁶ = 79,228,162,514,264,337,593,543,950,336: 일반적으로 로컬 인터넷 레지스트리에 제공되는 IPv6 주소의 총 수입니다. CIDR 표기법에서 ISP에는 /32가 주어지는데, 이는 (네트워크 지정과는 반대로) 128-32=96비트를 주소에 사용할 수 있음을 의미합니다. 그래서 2개의⁹⁶ 주소.
2¹⁰⁸ = 324,518,553,658,426,726,783,156,020,576,256: 소수에서 9를 포함하지 않는 2의 알려진 가장 큰 거듭제곱. (OEIS의 시퀀스 A035064)
2¹²⁶ = 85,070,591,730,234,615,865,843,651,857,942,052,864: 연속적인 같은 자릿수의 쌍을 포함하지 않는 2의 알려진 가장 큰 거듭제곱입니다. (OEIS의 시퀀스 A050723)
2¹²⁸ = 340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,456: IPv6에서 사용할 수 있는 총 IP 주소 수입니다. 또한 고유한 UUID(Universal Unique Identifier)의 개수입니다.
2¹⁶⁸ = 374,144,419,156,711,147,060,143,317,175,368,453,031,918,731,001,856: 모든 소수 자릿수를 포함하지 않는 2의 알려진 가장 큰 거듭제곱(이 경우 숫자 2가 누락됨)입니다. (OEIS의 시퀀스 A137214)
2¹⁹² = 6,277,101,735,386,680,763,835,789,423,207,666,416,102,355,444,464,034,512,896: AES 192비트 키 공간에서 가능한 총 키 수(대칭 암호)입니다.
2²²⁹ = 862,718,293,348,820,473,429,344,482,784,628,181,556,388,621,521,298,319,395,315,527,974,912: 2는²²⁹ 전력에 비해 가장 적은 수의 0을 포함하는 2의 알려진 가장 큰 전력입니다. 메틴 사리야르는 모든 0에서 9까지의 숫자가 거듭제곱이 증가함에 따라 2의 소수 확장에서 동일한 횟수로 나타나는 경향이 있다고 추측합니다. (OEIS의 시퀀스 A330024)
2²⁵⁶ = 115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,639,936: AES 256비트 키 공간에서 가능한 총 키 수(대칭 암호)입니다.
2^1,024 = 1.79*10³⁰⁸: 64비트 IEEE 이중 정밀 부동 소수점 포맷에 들어갈 수 있는 최대 수(따라서 Microsoft Excel과 같은 많은 프로그램이 나타낼 수 있는 최대 수).
2^16,384 = 1.19*10^4,932: 128비트 IEEE 4배 정밀 부동 소수점 포맷에 들어갈 수 있는 최대 수
2^262,144 = 1.61*10^78,913: 256비트 IEEE 8중 정밀 부동 소수점 포맷에 들어갈 수 있는 최대 수
2^82,589,933 = 1.49*10^24,862,047: 2023년^[update] 6월 현재 알려진 가장 큰 소수보다 1개가 더 많습니다.

음악이론에서 둘의 힘

음악 표기법에서, 모든 수정되지 않은 음의 값은 전체 음을 2의 거듭제곱으로 나눈 값과 같습니다. 예를 들어, 반음(1/2), 4분 음(1/4), 8분 음(1/8) 및 16분 음(1/16). 점선 또는 기타 수정된 노트에는 다른 기간이 있습니다. 시간적으로 보면 분수의 분모로 볼 수 있는 박자 단위는 거의 항상 2의 거듭제곱입니다.

두 투구의 주파수 비율이 2의 거듭제곱이면 그 투구 사이의 간격은 전체 옥타브입니다. 이 경우 해당 노트들의 이름이 같습니다.

수학적 일치 $2^{7}\approx ({\tfrac {3}{2}})^{12}$ ≈ $($ {\ $displaystyle$ 2^{ $7}\$ approx $({\tfrac {3}{$ 2 $2^{7}\approx ({\tfrac {3}{2}})^{12}$ ${\frac {\log 3}{\log 2}}=1.5849\ldots \approx {\frac {19}{12}}$ ${\frac {\log 3}{\log 2}}=1.5849\ldots \approx {\frac {19}{12}}$ ⁡ ${\frac {\log 3}{\log 2}}=1.5849\ldots \approx {\frac {19}{12}}$ ${\frac {\log 3}{\log 2}}=1.5849\ldots \approx {\frac {19}{12}}$ ⁡ $2$ = 1.5849 … ≈ $19 12$ {\ $displaystyle$ {\ $frac {\log$ 3}{\ $log 2$ }}=1 $.$ 5849 ${\frac {\log 3}{\log 2}}=1.5849\ldots \approx {\frac {19}{12}}$ ldots \approx {\frac {19}{12}}, 동일한 기질에서 7개의 반음의 간격을 정확한 음의 5분의 1과 밀접하게 연관시킵니다. $2^{7/12}\approx 3/2$ / $2^{7/12}\approx 3/2$ ≈ 3 / 2 ${\displaystyle$ 2^{7/12}\approx 3/2}. 약 0.1%로 정확합니다. 바로 5분의 1은 피타고라스 튜닝의 기본이고, 12분의 5분의 1과 7 옥타브의 차이는 피타고라스 쉼표입니다.^[10]

기타속성

모든 n-선택 이항 계수의 합은 $2$ 와ⁿ 같습니다. 모든 n자리 이진 정수의 집합을 생각해 보자. 카디널리티는 $2$ 입니다ⁿ. 또한 특정 부분집합의 기수의 합이기도 합니다: 1이 없는 정수의 부분집합( $단일$ 수로 구성됨, n 0으로 작성됨), 단일 1이 있는 부분집합, 2개의 1이 있는 부분집합( $n$ 1로 작성됨), $n$ 1이 있는 부분집합(n 1로 작성됨) 등입니다. 이들 각각은 $n$ 으로 지수화된 이항 계수와 고려되는 1의 수와 같습니다(예를 들어, 정확히 3개의 1을 포함하는 10자리의 10-choose-3 이진수가 있습니다).

현재 거의 완벽에 가까운 수는 2의 거듭제곱밖에 알려져 있지 않습니다.

n차원 하이퍼큐브의 꼭짓점 수는 $2$ 입니다ⁿ. 마찬가지로, n차원 교차 폴리토프의 $(n$ - $1)$ 면의 수도 $2$ 이고ⁿ, n차원 교차 폴리토프가 갖는 x면의 수에 대한 공식은 $2^{x}{\tbinom {n}{x}}.$ $2^{x}{\tbinom {n}{x}}.$ ( $2^{x}{\tbinom {n}{x}}.$ x $2^{x}{\tbinom {n}{x}}.$ )입니다 $2^{x}{\tbinom {n}{x}}.$ $2^{x}{\tbinom {n}{x}}$

2( $1=2^{0}$ = $1=2^{0}$ ${\displaystyle$ 1 = $2^{0$ 부터 시작)의 첫 $n$ n $n$ 거듭제곱의 합은 다음과 같습니다.

\sum _{k=0}^{n-1}2^{k}=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{n-1}=2^{n}-1

$n$ $n$ 이 $n$ (가) 임의의 양의 정수이기 때문입니다.

따라서 힘의 합은

1+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{63}

$2^{64}-1$ - $2^{64}-1$ ${\displaystyle$ 2 $^{64}-1}("$ chess 번호")을 평가하여 간단히 계산할 수 있습니다.

2의 거듭제곱의 합은 1입니다. 2(4의 거듭제곱)의 거듭제곱의 합은 1/3입니다.

소수 표현이 7로 시작하는 2의 최소 자연수는^[11]

2^{46}=70\ 368\ 744\ 177\ 664.

2의 모든 거듭제곱(1 제외)은 24가지 방법으로 4개의 제곱수의 합으로 쓸 수 있습니다. 2의 거듭제곱은 가장 적은 방법으로 4개의 제곱수의 합으로 쓸 수 있는 1보다 큰 자연수입니다.

실수 다항식으로서, a + b는 n이 2의 거듭제곱일 경우에만 줄일 수 있습니다. (만약 n이 홀수이면 a + b는 a+n으로 나눗셈할 수 있고, 만약 n이 짝수이지만 2의 거듭제곱이 아니라면 n은 n=mp, $a^{n}+b^{n}=(a^{p})^{m}+(b^{p})^{m}$ 서 m은 홀수이므로 $a^{n}+b^{n}=(a^{p})^{m}+(b^{p})^{m}$ + b $a^{n}+b^{n}=(a^{p})^{m}+(b^{p})^{m}$ = $a^{n}+b^{n}=(a^{p})^{m}+(b^{p})^{m}$ ( $a^{n}+b^{n}=(a^{p})^{m}+(b^{p})^{m}$ $a^{n}+b^{n}=(a^{p})^{m}+(b^{p})^{m}$ + $a^{n}+b^{n}=(a^{p})^{m}+(b^{p})^{m}$ ( $a^{n}+b^{n}=(a^{p})^{m}+(b^{p})^{m}$ $a^{n}+b^{n}=(a^{p})^{m}+(b^{p})^{m}$ m ${\display a^{n}+b^{n$ }=( $a^{p})^{m}+(b^{p})^{$ m}+(b^{p})^{ $m$ a^p + b로^p 나뉠 수 있습니다.) 그러나 복소수 영역에서 $a^{2n}+b^{2n}$ a $a^{2n}+b^{2n}$ + b $a^{2n}+b^{2n}$ ${\display$ a $^{2n}$ + $b^{2n}}($ 여기서 n>=1)은 항상 $a^{2n}+b^{2n}=(a^{n}+b^{n}i)\cdot (a^{n}-b^{n}i)$ + $a^{2n}+b^{2n}=(a^{n}+b^{n}i)\cdot (a^{n}-b^{n}i)$ $a^{2n}+b^{2n}=(a^{n}+b^{n}i)\cdot (a^{n}-b^{n}i)$ = $a^{2n}+b^{2n}=(a^{n}+b^{n}i)\cdot (a^{n}-b^{n}i)$ ( $a^{2n}+b^{2n}=(a^{n}+b^{n}i)\cdot (a^{n}-b^{n}i)$ + b $a^{2n}+b^{2n}=(a^{n}+b^{n}i)\cdot (a^{n}-b^{n}i)$ $a^{2n}+b^{2n}=(a^{n}+b^{n}i)\cdot (a^{n}-b^{n}i)$ ⋅( $a^{2n}+b^{2n}=(a^{n}+b^{n}i)\cdot (a^{n}-b^{n}i)$ - $a^{2n}+b^{2n}=(a^{n}+b^{n}i)\cdot (a^{n}-b^{n}i)$ b n ) {\ $display a^{2n$ } + b^{ $2n}$ = $(a^{n}$ + b^{n $}i)\cdot(a^{n}$ - b $a^{2n}+b^{2n}=(a^{n}+b^{n}i)\cdot (a^{n}-b^{n}i)$ n}i)}로 인수분해할 수 있습니다.

참고 항목

참고문헌

^ Lipschutz, Seymour (1982). Schaum's Outline of Theory and Problems of Essential Computer Mathematics. New York: McGraw-Hill. p. 3. ISBN 0-07-037990-4.
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^ $\log _{1024/1000}1.5\approx 17.1,$ $\log _{1024/1000}2\approx 29.2.$
^ Guy, Richard K. (2004), "E24 Irrationality sequences", Unsolved problems in number theory (3rd ed.), Springer-Verlag, p. 346, ISBN 0-387-20860-7, Zbl 1058.11001, archived from the original on 2016-04-28
^ ^a ^b ^c 워드 크기는 다양하지만 모든 x86 프로세서는 "워드"라는 용어를 사용하여 16비트를 의미합니다. 따라서 32비트 x86 프로세서는 고유의 워드 크기를 dword로 나타냅니다.
^ 프라임 큐리오스!: 536870912
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^ Paweł Strzelecki (1994). "O potęgach dwójki (About powers of two)" (in Polish). Delta. Archived from the original on 2016-05-09.

[1] Lipschutz, Seymour (1982). Schaum's Outline of Theory and Problems of Essential Computer Mathematics. New York: McGraw-Hill. p. 3. ISBN 0-07-037990-4.

[2] Sewell, Michael J. (1997). Mathematics Masterclasses. Oxford: Oxford University Press. p. 78. ISBN 0-19-851494-8.

[3] $\log _{1024/1000}1.5\approx 17.1,$ $\log _{1024/1000}2\approx 29.2.$

[4] Guy, Richard K. (2004), "E24 Irrationality sequences", Unsolved problems in number theory (3rd ed.), Springer-Verlag, p. 346, ISBN 0-387-20860-7, Zbl 1058.11001, archived from the original on 2016-04-28

[iword-5] 워드 크기는 다양하지만 모든 x86 프로세서는 "워드"라는 용어를 사용하여 16비트를 의미합니다. 따라서 32비트 x86 프로세서는 고유의 워드 크기를 dword로 나타냅니다.

[6] 프라임 큐리오스!: 536870912

[7] "Powers of 2 Table - - - - - - Vaughn's Summaries". www.vaughns-1-pagers.com. Archived from the original on August 12, 2015.

[8] Weisstein, Eric W. "Zero" MathWorld로부터--울프람 웹 리소스.

[9] "Mersenne Prime Discovery - 2^82589933-1 is Prime!". www.mersenne.org.

[schroeder-10] Manfred Robert Schroeder (2008). Number theory in science and communication (2nd ed.). Springer. pp. 26–28. ISBN 978-3-540-85297-1.

[o_potegach_dwojki-11] Paweł Strzelecki (1994). "O potęgach dwójki (About powers of two)" (in Polish). Delta. Archived from the original on 2016-05-09.

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