비페리히 소수

비페리히 소수
의 이름을 따서 명명됨	아서 비페리히
발행년도	1909
출판물의 저자	비페리히, A.
No. 알려진 용어의	2
용어의 추측	인피니트
의 후속 사항	크랜달 번호; 비페리히 수; 루카스-비페리히 소수; 비페리히에 가까운 소수
초선	1093, 3511
알려진 최대 용어	3511
OEIS 지수	A001220

정수론에서, 한 Wieferich 소수이기도 한 소수 p가 p2을 나누는 데에 대해 파운드당 2펜스 − 1− 1,[4]따라서 연결하는 이러한 최고급 제품과 페르마의 작은 정리, 쓰인 모든 이상한 총리 p가 분열하여 파운드당 2펜스 − 1− 1.Wieferich 최고급 제품이 먼저 설명한 아서 Wieferich에서 1909년에 작품과 관계에 페르마의 마지막 정리,에서 양국의 Ferm.의 이론에서이미 ^[5]^[6]수학자들에게 잘 알려져 있었다.

그 이후로, 비페리히 소수와 메르센과 페르마 숫자와 같은 다른 유형의 숫자와 소수, 특정한 유형의 의사 소수, 그리고 비페리히 소수의 원래 정의에서 일반화된 몇 가지 유형의 숫자를 포함한 수학의 다양한 주제들 사이의 연관성이 발견되었다.시간이 지남에 따라, 이러한 연관성은 숫자 필드나 abc 추측과 같은 더 일반적인 주제뿐만 아니라 특정 소수의 더 많은 속성을 포함하도록 확장되었습니다.

2022년 4월^[update] 현재 알려진 유일한 비페리히 소수는 1093과 3511이다(OEIS의 시퀀스 A001220).

동등한 정의

비페리히 소수가 만족하는 페르마의 작은 정리의 더 강한 버전은 보통 합동 $관계 p -1$ 2 $1$ 1 ( $mod 2$ p $)$ 로 표현된다.정수에 대한 합동관계의 정의로부터, 이 속성은 처음에 주어진 정의와 동등하다는 것을 알 수 있다.따라서 소수 p가 이 합치를 만족하면, 이 소수 p는 페르마 ${\tfrac {2^{p-1}-1}{p}}$ 를 ${\tfrac {2^{p-1}-1}{p}}$ p ${\tfrac {2^{p-1}-1}{p}}$ - 1 - ${\tfrac {2^{p-1}-1}{p}}$ p { $display$ { $tfrac$ { $2^$ { $p-1}$ - { $p$ 로 $나눕니다$ .다음은 소수점 11과 1093을 사용하는 두 가지 예입니다.

p = 11의 경우 2

{\tfrac {2^{10}-1}{11}}

-

{\tfrac {2^{10}-1}{11}}

({

이

\tfrac{2^{10}-1}{11}

{\tfrac {2^{10}-1}{11}}

. 이 값은 93이고 11로 나누면 나머지 5가 남습니다. 따라서 11은 비페리히 소수가 아닙니다.p = 1093의 경우 2

{\tfrac {2^{1092}-1}{1093}}

- 1

{\tfrac {2^{1092}-1}{1093}}

{

{\tfrac {2^{1092}-1}{1093}}

{

tfrac

{ 2

^

{

1092

} -

{\tfrac {2^{1092}-1}{1093}}

{

1093}}

{\tfrac {2^{1092}-1}{1093}}

485439490310...852893958515(명확성을 위해 302개의 중간 자리 생략)는 1093으로 나누면 0이 남으므로 1093은 비페리히 소수입니다.

비페리히 소수는 다른 등가 합동으로 정의할 수 있다.p가 비페리히 소수일 경우 $합치 p -1$ 2 $1$ 1 ( $mod 2$ p $)$ 에 2를 곱하면 2 $2$ 2 ( $mod 2$ p $)$ 가^p 된다.합성의 양변을 거듭제곱 p로 올리면 비페리히 소수도 2 $k2 p$ $(2(mod 2$ p $)$ 를^{p^k} 만족하므로 $모든 p 2$ k $11$ 에 대해 2 $22mod2$ ( $mod 2 p)$ 를 만족한다는 것을 알 수 있다.그 반대의 경우도 있다: $일부 p k$ k $1$ 1에 대한 2 $2$ 2 ( $mod 2$ p $)$ 는 2 모듈로² p의 승수가 gcd $(p k$ - 1,φ ( $p 2) = p$ - $1$ 을 나눈다는 것을 의미한다. 즉, $2 p -1 1$ 1 ( $mod 2$ p $)$ 이므로 p는 비페리히 소수이다.이것은 또한 비페리히 소수가 2 모듈로 p와 모듈로² p의 곱셈 순서가 일치하도록 소수 p로 정의될 수 있다는 것을 $암시$ 한다_p²: $ord p$ 2 = $ord$ 2, (그런데, ord2₁₀₉₃ = 364, ord2₃₅₁₁ = 1755).

H. S. Vandiver는 1 $1+{\tfrac {1}{3}}+\dots +{\tfrac {1}{p-2}}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ + $1+{\tfrac {1}{3}}+\dots +{\tfrac {1}{p-2}}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ 3 + 1 $1+{\tfrac {1}{3}}+\dots +{\tfrac {1}{p-2}}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ + $1+{\tfrac {1}{3}}+\dots +{\tfrac {1}{p-2}}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ p - $1+{\tfrac {1}{3}}+\dots +{\tfrac {1}{p-2}}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ 0 ( $1+{\tfrac {1}{3}}+\dots +{\tfrac {1}{p-2}}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ $1+{\tfrac {1}{3}}+\dots +{\tfrac {1}{p-2}}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ 2 $){$ $display$ 1 + { \ $tfrac$ { $1 }$ { 3 } + \ dots + { \ $tfrac$ { 1 $1+{\tfrac {1}{3}}+\dots +{\tfrac {1}{p-2}}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ } { p - 2 } \ $equiv 0$ \ $pmodp$ ^ { $1+{\tfrac {1}{3}}+\dots +{\tfrac {1}{p-2}}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ } $1+{\tfrac {1}{3}}+\dots +{\tfrac {1}{p-2}}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ ^[7]^{: 187}}인 $1+{\tfrac {1}{3}}+\dots +{\tfrac {1}{p-2}}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ 에만 2 $1$ 1 ( $mod 3$ p )가^p−1 확인되었습니다.

이력 및 검색 상태

1902년, 마이어는 일치^{p − 1} a ≤ 1 (mod^r p)^[8]^{: 930}^[9]의 해들에 대한 정리를 증명했다.이후 10년 동안 Arthur Wiferich는 페르마의 마지막 정리의 첫 번째 사례가 홀수 소수 지수에 대한 해를 갖는다면, 그 소수는 a = 2와 r =^[10] 2에 대한 합치를 만족해야 한다는 것을 구체적으로 보여주었다.즉, x + y^p + z^p = 0에 대한 솔루션이^p x, y, z 및 p가 p z xyz인 홀수 소수인 경우 p는 2 1 1(mod² p)을 만족합니다^{p − 1}.1913년 바흐만은 ${\tfrac {2^{p-1}-1}{p}}\,{\bmod {\,}}p$ - ${\tfrac {2^{p-1}-1}{p}}\,{\bmod {\,}}p$ ${\tfrac {2^{p-1}-1}{p}}\,{\bmod {\,}}p$ p $,$ { $tfrac {2^{p-1}{p}},$ {\ $bmod$ {,} $p$ 의 잔류물을 조사했다. 그는 이 잔류물이 언제 사라졌는지 질문하고 이 ^[11]질문에 대한 답을 찾기 위한 표현을 찾으려고 했다.

소수 1093은 W에 의해 비페리히 소수인 것으로 밝혀졌다. 마이스너[cs]는 1913년에 2000 미만의 유일한 소수임을 확인했다.그는 2000 미만의 모든 소수 p에 대해 ${\tfrac {2^{t}-1}{p}}\,{\bmod {\,}}p$ t - ${\tfrac {2^{t}-1}{p}}\,{\bmod {\,}}p$ ${\tfrac {2^{t}-1}{p}}\,{\bmod {\,}}p$ ${\tfrac {2^{t}-1}{p}}\,{\bmod {\,}}p$ p(\ $displaystyle\tfrac$ {2 $^{t}-1}{p},\bmod {,}p})$ 의 $\tfrac{2^{t}-1}{p}\,\bmod\,p$ 최소 잔기를 계산했고, 이 잔기가 t = 364 및 p = 1093에 대해 0이라는 것을 발견하여 Grave가 위그루퍼의 ^[12]추측 불가능성에 대한 반례를 제공했다.E. Haentzchel [de]는 나중에 기본적인 계산만을 ^[13]^{: 664}통해 마이스너의 합성의 정확성을 검증할 것을 명령했다.오일러의 초기 작품에서 영감을 얻어, 그는 1093² (2¹⁸² + 1)을 보여줌으로써 마이스너의 증명을 단순화했고 (2¹⁸² + 1)은 (2³⁶⁴ - ^[14]1)의 인수라고 언급했습니다.마이스너 자신도 복잡한 ^[12]^{: 665}값이 없는 증명을 알고 있음을 암시했지만, 마이스너가 ^[15]사용한 방법과 달리 복소수를 사용하지 않고도 1093이 비페리히 소수임을 증명할 수 있다는 것을 보여주었다.

프라임 3511은 1922년 N^[16]. G. W. H. 비거에 의해 처음 발견되었고,^[17] 또 다른 비페리히 프라임 증거는 1965년 가이에 의해 발표되었다.1960년 크라비츠는^[18] 프뢰베르그[sv]^[19]가 세운 종전 기록을 두 배로 늘렸고 1961년 리젤은 ^[20]BESK의 도움으로 수색 범위를 500,000까지 확장했다.1980년경, 레머는 6×^[21]10의⁹ 검색 한계에 도달할 수 있었습니다.이 제한은 ^[22]2006년에 2.5×10¹⁵ 이상으로 확장되어 마침내 3×10에¹⁵ 도달했습니다.이제 다른 비페리히 소수가 존재한다면 6.7×^[23]10보다¹⁵ 커야 한다고 알려져 있다.

2007~2016년에는 분산 컴퓨팅 프로젝트인 Wieberich@^[24]Home에 의해 Wipperich 소수점 검색이 수행되었습니다.2011-2017년에 PrimeGrid 프로젝트에 의해 또 다른 검색이 수행되었지만, 나중에 이 프로젝트에서 수행된 작업이 ^[25]낭비되었다고 주장되었습니다.이 프로젝트들은 1×10¹⁷ 이상의 검색 범위에 도달했지만, 두 프로젝트 모두 지속 가능한 결과를 보고하지 않았습니다.

2020년에 PrimeGrid는 Wiferich와 Wall-Sun-Sun-Sun 소수를 동시에 검색하는 또 다른 프로젝트를 시작했습니다.새 프로젝트에서는 체크섬을 사용하여 각 하위 간격에 대해 독립적인 이중 검사를 수행할 수 있으므로 하드웨어 ^[26]장애로 인한 인스턴스 손실 위험을 최소화할 수 있습니다.2021년 ^[update]3월 현재 이 검색의 선두는 3×10¹⁸ ^[27]이상입니다.

그것은(윌슨 소수로)그 무한히 많은 Wieferich 최고급 제품 존재하고, Wieferich 소수 수열이야 x아래의 번호 약)log(로그())는 그럴듯한 가정은 주요 p에, 통일의(p1−)-th 정도 뿌리의 나머지를 p2한결같이multiplic에 분포한다에서 다음과 같다 발견적 학습 결관 것으로 추측하고 있다.a정수 모듈로² ^[28]p의 tive 그룹.

특성.

페르마의 마지막 정리와의 연관성

1909년 ^[10]비페리히 소수와 페르마의 마지막 정리를 연결하는 다음과 같은 정리가 비페리히에 의해 증명되었다.

p를 소수라고 하고 x, y, z를

x p

+

y p

+

z

=

0

과^p 같은 정수라고 합니다.또한 p가 xyz 곱을 나누지 않는다고 가정합니다.그러면 p는 비페리히 소수이다.

위의 경우(여기서 p는 x, y 또는 z 중 어느 것도 나누지 않음)는 일반적으로 페르마의 마지막 정리(^[29]^[30]FLTI)의 첫 번째 경우로 알려져 있으며,^[31] FLTI는 p에 대해 페르마 방정식의 해(해)가 존재하면 p에 대해 실패하는 것으로 알려져 있다.1910년에 미리마노프는^[32] 만약 정리의 전제조건이 어떤 소수 p에 대해 참이라면, p도² $3-1$ 을^{p − 1} 나누어야 한다는 것을 보여주면서 정리를 확장했다. 그란빌과 모나간은 또한 모든 소수 m ≤ 89에 대해 ^[33]p가 실제로 m - $1$ 을 $나누어야 p - 1$ 한다는 것을² 추가로 증명했다.스즈키는 모든 소수점 mimes 113까지 증빙을 확대했다.^[34]

H는_p 1을 최대공약수로 하고, p는 x, y 및 x + y, (x + y),^p−1 (x² + y) ), 1 (mod p), (x + yy)는 cos 2 2/p + i sin 2 as/p로 정의된 K의 이상적인 p승이다.K = Q(추정)는 대수적 수 θ의 모든 다항식을 유리 수 필드에 인접시켜 얻은 장 확장이다(이러한 확장은 숫자 필드 또는 이 경우, θ는 단일성의 루트, 사이클로토믹 수 필드).^[33]^{: 332}Q())에서의 이상 인수 분해의 특이성으로부터 페르마의 마지막 정리의 첫 번째 사례가 해 x, y, z를 갖는다면 p 나눗셈 x+y+z와 (x, y), (y, z)와 (z, x)는 ^[33]^{: 333}H의_p 원소이다. 그란빌과 모나간은 (1, 1) δH를_p 나타내며, 만약 피히퍼일 경우에만 ^[33]^{: 333}pichfer를 나타낸다.

abc 추측 및 비페리히 소수와의 관련성

비페리히 소수는 2 $11(mod 2$ p $)$ 을^{p − 1} 만족하는 소수 p이다.1988년 J. H. 실버만은 abc 추측이 맞다면 비페리히 소수가 ^[35]무한히 많다는 것을 보여주었다.좀 더 정확히는 abc 추측은 변수 X보다 작거나 같은 p의 기저α에 대한 비 비페리히 소수 수가 X가 무한대로 ^[36]^{: 227}갈수록 log(X)보다 클 정도로 α에만 의존하는 상수의 존재를 암시한다는 것을 보여주었다.수치적 증거에 따르면 주어진 간격의 소수 중 극소수가 비페리히 소수이다.비페리히 소수₂^c 집합과 비페리히 소수 집합은 각각 ^[37]W와 W로₂ 나타내기도 하므로, 둘 중 하나가 유한한 것으로 나타나면, 다른 하나는 반드시 무한해야 한다. 왜냐하면 둘 다 소수 집합의 적절한 부분 집합이기 때문이다.무한히 많은 비페리히 소수의 존재는 ABC-(k, θ) ^[38]추측이라고 불리는 ABC 추측의 더 약한 버전에서 이미 따라온다는 것이 나중에 증명되었다.거기 무한히 많은square-free 메르센 numbers[39]뿐만 아니라 존재한다면 실수든지 존재하는 게다가, 무한히 많은non-Wieferich 최고급 제품의 존재 또한 따를 것을 ξ은 집합{n∈ N:λ(2n − 1)<>2− ξ}이 작곡의 지수가 정수 n의 λ(n)로그 ⁡와 로그 ⁡로 정의된다 밀도를 강화시킨다.γ(n $)({$ \ $log$ \ $log$ (n ${\tfrac {\log n}{\log \gamma (n)}}$ $\gamma (n)=\prod _{p\mid n}p$ 및 $\gamma (n)=\prod _{p\mid n}p$ p ( $n$ ) $=$ $\gamma (n)=\prod _{p\mid n}p$ $\gamma (n)=\prod _{p\mid n}p$ $\gamma (n)=\prod _{p\mid n}p$ ${\$ $\gamma (n)=\prod _{p\mid n}p$ p _ { p \ mid n $}p 、$ 즉, $)$ ( $\gamma (n)$ ){ $displaystyle$ \ $mid n$ $\gamma (n)=\prod _{p\mid n}p$ }p $\gamma (n)$ $\gamma (n)=\prod _{p\mid n}p$ ） ${\tfrac {\log n}{\log \gamma (n)}}$ 。{ display style ( $\gamma (n)$ )는 ^[37]^{: 4}n의 모든 주요 인수의 곱을 나타냅니다.

메르센 및 페르마 소수와의 연관성

n번째 메르센 $수 n$ M = $2 n$ - $1$ 은 n이 소수일 경우에만 소수인 것으로 알려져 있다.페르마의 작은 정리는 만약 $p$ > $2가$ 소수라면, M_p−1 $(= 2 p - 1$ - $1$ )은 항상 p로 나누어질 수 있다는 것을 암시한다.메르센의 프라임_p 지수_q M과 M은 공동 프라임이기 때문에

여기서 q가 소수인 M의 소수_q p는 p가 ^[40]M을 나누는_q 경우에만² 비페리히 소수이다.

따라서 메르센 소수도 비페리히 소수가 될 수 없다.주목할 만한 미해결 문제는 메르센의 프라임 지수 수치가 모두 제곱 프리인지 여부를 결정하는 것이다.만약 q가 소수이고 메르센 수_q M이 제곱 자유롭지 않다면, 즉 p가 M을 나누는_q 소수² p가 존재한다면, p는 비페리히 소수이다.따라서, 만약 비페리히 소수가 확실히 많다면, 소수 지수를 제곱하지 않는 메르센 숫자가 많아야 많을 것이다.Rotkiewicz는 관련된 결과를 보여주었다: 만약 무한히 많은 정사각형 없는 메르센 수가 있다면, 무한히 많은 ^[41]비페리히 소수가 있다는 것이다.

마찬가지로, p가 소수이고² p가 페르마 수_n F = $2 2 n$ + $1$ 을 나눈다면, p는 비페리히 ^[42]소수여야 한다.

실제로 자연수 $\Phi _{n}(2)$ 과 $\Phi _{n}(2)$ p를 나눈 소수 p가 존재하며, 여기서 p가 위퍼 소수일 경우에만 $\Phi _{n}(2)$ $\Phi _{n}(x)$ ( $x)$ ({ $\Phi _{n}(x$ 를 n번째 사이클로토믹 다항식으로 나눈 소수² p가 존재한다.만약 1093년과 3511은 단 2Wieferich 소수 수열이야, 그 모든Φ n(2){예를 들어, 10932가 분열되}, 35112가 분열되}1755년(2){\displaystyle \Phi_{1755년}(2)Φ.Φ n(2){\displaystyle \Phi_{n}(2)의 메르센과 페르마 번호들은 특별한 상황}. 따라서, 364(2){\displaystyle \Phi_{364}(2)Φ.)Displaystyle \Phi _ᆰ(2)}Φ 364(2){\displaystyle \Phi_{364}(2)을 제외한}과 1755년(2){\displaystyle \Phi_{1755년}(2)}(사실에서는 p2일부 Φ n을 나누는 총리 p(2존재하){\displaystyle \Phi_{n}(2)}Φ,다면, 그것은 Wieferich 전성기);고 명확하게 만약Φ n(2){\dsquare-free 있다.i $splaystyle \Phi$ _ ${n}(2)$ 는 $\Phi_n(2)$ 소수이므로 Wiferich 소수일 수 없습니다.(모든 홀수 소수 p는 $\Phi _{n}(2)$ 의 $\Phi _{n}(2)$ δn ( $2$ ){displaystyle $\Phi$ _ ${n}$ ( $2)}$ 만 $\Phi_n(2)$ 분할하고 n은 p - $1$ 을 $나눕니다$ .또한 2진수에서 1/p의 주기가 n인 경우에만 p는 $\Phi _{n}(2)$ $\Phi _{n}(2)$ 2 $)\displaystyle \Phi$ _ ${n}(2$ 를 나눕니다. 또한 pichfer인 경우에만 pichfer입니다.그 이외의 경우는, 이것은 그것보다 p배입니다).

소수 1093과 3511의 경우, 364와 1755는 ^[43]2의 소수도 아니고 2의 거듭제곱도 아니기 때문에, 둘 다 소수 지수를 가진 메르센 수의 제수도 아니고 페르마 수의 제수도 아니라는 것이 밝혀졌다.

다른 방정식과의 연결

Scott와 Styer는 p^{ord_p 2} – 2^y = d의 공식은^x p 65 65(mod 192)일⁴ 때^{ord_p 2} 또는 p 2 – 1일² 때(ord 2는 2 모듈로 ^[44]^{: 215, 217–218}p의 곱셈 순서를 나타냄)를 제외하고 양의 정수(x, y)에 최대 1개의 해를 갖는다는 것을 보여주었다_p.그들은 또한 방정식^x₁ ±a^y₁ ± 2 = ±a^x₂^y₂ ± 2 = c에 대한 해는 특정 방정식 집합에서 나온 것이어야 하지만 a가 1.25¹⁵ ^[45]^{: 258}x 10보다 큰 비페리히 소수일 경우 이 해는 유지되지 않는다는 것을 보여주었다.

p - 1의 바이너리 주기성

Johnson은^[46] 알려진 두 개의 바이페리히 소수가 주기적인 이진수 팽창(1092 = 01000100₂=444₁₆, 3510 = 110110110₂=666₈)보다 하나 더 크다는 것을 관찰했다.Wiferich@Home 프로젝트는 바이너리 확장 수보다 1 큰 숫자를 테스트하여 바이퍼리히 소수를 검색했지만 최대 24비트 길이의 비트 문자열 조합으로 생성된 테스트된 바이너리 숫자 중 3500비트 유사 길이까지 새로운 바이퍼리히 ^[47]소수를 찾지 못했습니다.

p - 1의 풍부성

알려진 비페리히 소수가 상호 친화적인 수보다 1 더 크다는 것이(공유 풍부성 지수는 112/39이다) 지적되었다.

의사 소수점에서의 접속

알려진 두 개의 비페리히 소수는 25×^[48]10까지의⁹ 모든 비제곱 자유기치 2 페르마 유사 소수의 제곱인수이다.나중에 계산한 결과, 최대 10의¹² 유사 소수의 반복 인자는 1093과 3511뿐이었습니다.^[49]또, 다음의 접속이 존재합니다.

n을 2의 의사 소수로 하고 p를 n의 제수로 합니다.

{\tfrac {2^{n-1}-1}{n}}\not \equiv 0{\pmod {p}}

-

{\tfrac {2^{n-1}-1}{n}}\not \equiv 0{\pmod {p}}

0 (

{\tfrac {2^{n-1}-1}{n}}\not \equiv 0{\pmod {p}}

p )

{\tfrac {2^{n-1}-1}{n}}\not \equiv 0{\pmod {p}}

{

displaystyle

{

tfrac

{

2

^ { n -

1 }

{

n

} \

equiv

0 { \

pmod

{\tfrac {2^{n-1}-1}{n}}\not \equiv 0{\pmod {p}}

{

p

{\tfrac {2^{p-1}-1}{p}}\not \equiv 0{\pmod {p}}

{\tfrac {2^{n-1}-1}{n}}\not \equiv 0{\pmod {p}}

{\tfrac {2^{p-1}-1}{p}}\not \equiv 0{\pmod {p}}

0 (

{\tfrac {2^{p-1}-1}{p}}\not \equiv 0{\pmod {p}}

p

{\tfrac {2^{p-1}-1}{p}}\not \equiv 0{\pmod {p}}

) \ 2 p

{\tfrac {2^{p-1}-1}{p}}\not \equiv 0{\pmod {p}}

-

{\tfrac {2^{p-1}-1}{p}}\not \equiv 0{\pmod {p}}

p

fr

0 (

mod

{\tfrac {2^{p-1}-1}{p}}\not \equiv 0{\pmod {p}}

) \

display style

{ tfrac { 2 ^ { 2 - 1 - 1 } { p - 1 } { p - 1

{\tfrac {2^{p-1}-1}{p}}\not \equiv 0{\pmod {p}}

} { p - 1 } { p } { p } { p } { p } { p } { p } { p }

}

}

방향 그래프를 사용한 연결

$100000$ 까지의 모든 $소수$ p에 $대해$ L $($ $p n +1) =$ $L ($ $p n)$ 은 L( $10932)$ = L( $1093)$ = $364$ 및 $L$ ( $35112)$ = $1755$ 의 두 가지 경우에만 L $(p$ ) = $L ($ m $)$ 은 이중화 모듈 $mo$ 에서 1 사이클의 정점 수입니다.여기서 더블링 다이어그램은 m 미만의 음이 아닌 정수를 정점으로 하고 각 정점 x에서 정점 2배 감소된 모듈로 ^[50]^{: 74}m으로 가는 방향 그래프를 나타낸다.모든 홀수 소수에 대해 L $(p n +1) = p$ · $L (p n)$ $또는$ L $(p n +1)$ = $L (p n)$ ^[50]^{: 75}인 것으로 나타났다.

숫자 필드 관련 속성

만일 어디 p은 특이한 전성기와 D 0파운드당 2펜스 − 1≢ 1(p2mod)<0이 χ D0}일 경우{\big(}p{\big)}=1}과λ p(Q(D 0))=1{\displaystyle \lambda \,\!_{p}{\big(}\mathbb{Q}{\big(}{\sqrt{D_{0}}}{\big)}{\big)}=1}=1{\displaystyle \chi_{D_{0}(p)공개되었다. {\displa $ystyle$ D_ ${0}<$ $\mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {1-p^{2}}}{\big )}$ $}$ 은 $D_{0} < 0$ 가상의 2차 $\mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {1-p^{2}}}{\big )}$ (1 $\mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {1-p^{2}}}{\big )}$ - $\mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {1-p^{2}}}{\big )}$ 2 $){$ 의 기본 판별자이며, 또한 다음과 같이 나타났다.만약 p3(모드 4)≡, D 0<0{\displaystyle D_{0}<, 상상의 2차 필드의 0}일 경우는 근본적인 discriminant Q{\displaystyle \mathbb{Q}{\big(}{\sqrt{1-p}}{\big)}(p1−)}그리고 만약 p≡ 1(모드 4), D 0<>, 0{\displaystyle D_{0}<imagin의 0}일 경우는 근본적인 discriminant 봅시다.ary 인쇄ic $\mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {4-p}}{\big )}$ Q ( $4$ $\mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {4-p}}{\big )}$ - $\mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {4-p}}{\big )}$ $){$ \ $mathbb { Q$ $\lambda \,\!_{p}{\big (}\mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {D_{0}}}{\big )}{\big )}=1$ } { \ big ( $\mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {4-p}}{\big )}$ } } $\mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {4-p}}{\big )}$ } 、 $\chi _{D_{0}}{\big (}p{\big )}=1$ D $\chi _{D_{0}}{\big (}p{\big )}=1$ 0 ( $\chi _{D_{0}}{\big (}p{\big )}=1$ ) $\chi _{D_{0}}{\big (}p{\big )}=1$ $\chi _{D_{0}}{\big (}p{\big )}=1$ ( \ $displaystyle \chi$ _ { $D$ _ 0 $\lambda \,\!_{p}{\big (}\mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {D_{0}}}{\big )}{\big )}=1$ } { \ $big$ ( ) $\lambda \,\!_{p}{\big (}\mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {D_{0}}}{\big )}{\big )}=1$ $\chi _{D_{0}}{\big (}p{\big )}=1$ $\lambda \,\!_{p}{\big (}\mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {D_{0}}}{\big )}{\big )}=1$ ( $\lambda \,\!_{p}{\big (}\mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {D_{0}}}{\big )}{\big )}=1$ ) $styledisplay$ 1 $\lambda \,\!_{p}{\big (}\mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {D_{0}}}{\big )}{\big )}=1$ ) $=$ 1}( $\lambda \,\!_{p}{\big (}\mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {D_{0}}}{\big )}{\big )}=1$ 이 문맥에서 and과 in는 이와사와 ^[51]^{: 27}불변량을 나타낸다 $).$

또한 다음과 같은 결과를 얻었습니다.q 이상한 소수, k및 p은 최고급 제품과 같이 p)2k+1, k≡ 3(모드 4), p≡ −1(qmod), p≢ −1(q3mod)과 q의 순서 모듈로 k은 k− 12{\displaystyle{\tfrac{k-1}{2}}}. 그 qh+을 나누었다고 가정하자, Q(ζ p+ζ p− 1)진짜 원체.의 반 번호{\displaystyle \math자.b $b {Q}$ { $big (\)\zeta$ \!_{ $p}+\zeta \,\!_{p}^{-1}{\$ big $\mathbb {Q} {\big (}\zeta \,\!_{p}+\zeta \,\!_{p}^{-1}{\big )}$ p번째 통합근의 인접합과 유리수장에 대한 역수로 얻은 사이클로토믹 필드.그러면 q는 비페리히 ^[52]^{: 55}소수이다. $또한$ 조건 p - - $1$ ( $mod$ q ) $및$ p - - $1$ ( $mod 3$ q )가 p - - $3$ ( $mod 3$ q )로 대체된 경우 및 $조건$ p - - $1$ ( $mod$ q )가 p - - $5$ ( $mod$ q )로 대체된 경우 및 조건 p q가 월 - Sun - Sun (Mod q) 및 비주파괴 상태일 경우)로 대체된 경우에도 유지됩니다.

일반화

근비페리히 소수

A가 작은 합치^(p−1)/2 2µ $\pm1$ + $Ap$ (mod² p)를 만족하는 소수 p는 일반적으로 근비페리히 소수(OEIS에서는 ^[28]^[54]A195988)라고 불린다.A = 0인 비페리히에 가까운 소수는 비페리히 소수를 나타냅니다.비페리히 소수에 대한 일차적인 검색과 더불어 최근의 검색은 비페리히 소수에 가까운 ^[23]^[55]소수를 찾으려 했다.다음 표는 [1×10⁹, 3×10¹⁵]^[56] 구간에서 A 10 10을 갖는 모든 비페리히에 가까운 소수를 나열합니다.이 검색 범위는 2006년 P. Carlisle, R. Crandall 및 M에 의한 검색 노력으로 도달했습니다.로덴커치^[22]^[57]더 큰 항목은 PrimeGrid의 것입니다.

p	1 또는 -1	A
3520624567	+1	−6
46262476201	+1	+5
47004625957	−1	+1
58481216789	−1	+5
76843523891	−1	+1
1180032105761	+1	−6
12456646902457	+1	+2
134257821895921	+1	+10
339258218134349	−1	+2
2276306935816523	−1	−3
82687771042557349	-1	-10
3156824277937156367	+1	+7

위의 기호 +1 또는 -1은 오일러의 기준(및 2차 상호 법칙의 두 번째 보충)으로 쉽게 예측할 수 있습니다.

Dorais과 Klyve[23]유력한 p로 ω(p)p{\displaystyle \left{\tfrac{\omega)}{p}}\right의 작은 가치로 정의하는}이 ω(p)=2p− 1− 1p모드 p{\displaystyle\omega(p)={\tfrac{2^{p-1}-1}{p}}\,{\bmod{년,}}p}은 페르마 q.near-Wieferich 전성기의 다른 정의 사용uotient는 p modulo p에 대해 2이다(여기서 modulo 연산은 가장 작은 절대값을 가진 잔기를 제공한다).다음 표는 $\left|{\tfrac {\omega (p)}{p}}\right|\leq 10^{-14}$ p $\left|{\tfrac {\omega (p)}{p}}\right|\leq 10^{-14}$ $6$ 6 $.7$ × $10과 15$ (p ) $\left|{\tfrac {\omega (p)}{p}}\right|\leq 10^{-14}$ 10 $\left|{\tfrac {\omega (p)}{p}}\right|\leq 10^{-14}$ - $\left|{\tfrac {\omega (p)}{p}}\right|\leq 10^{-14}$ ${$ $display$ style \ $tfrac$ \ obega $(p)$ } { $p}$ \ $right$ \ $leq$ 10^ { - $14$ 의 모든 소수입니다.

p	$\displaystyle \omeega(p)}$	$\displaystyle \tfrac \p} \오른쪽 \times 10^{14}$
1093	0	0
3511	0	0
2276306935816523	+6	0.264
3167939147662997	−17	0.537
3723113065138349	−36	0.967
5131427559624857	−36	0.702
5294488110626977	−31	0.586
6517506365514181	+58	0.890

근접에 대한 두 가지 개념은 다음과 같다.2 $2^{(p-1)/2}\equiv \pm 1+Ap{\pmod {p^{2}}}$ ( $2^{(p-1)/2}\equiv \pm 1+Ap{\pmod {p^{2}}}$ - $2^{(p-1)/2}\equiv \pm 1+Ap{\pmod {p^{2}}}$ ) / $2^{(p-1)/2}\equiv \pm 1+Ap{\pmod {p^{2}}}$ µ ± $2^{(p-1)/2}\equiv \pm 1+Ap{\pmod {p^{2}}}$ + $A$ ( $2^{(p-1)/2}\equiv \pm 1+Ap{\pmod {p^{2}}}$ $2^{(p-1)/2}\equiv \pm 1+Ap{\pmod {p^{2}}}$ 2 $2^{(p-1)/2}\equiv \pm 1+Ap{\pmod {p^{2}}}$ ) \ $equiv \pm$ 1 $+ Ap$ { \ $pmod$ { $p$ ^ { $2^{(p-1)/2}\equiv \pm 1+Ap{\pmod {p^{2}}}$ } $2^{(p-1)/2}\equiv \pm 1+Ap{\pmod {p^{2}}}$ }인 경우, 제곱에 의해 $2^{p-1}\equiv 1\pm 2Ap{\pmod {p^{2}}}$ 하게 $2^{p-1}\equiv 1\pm 2Ap{\pmod {p^{2}}}$ 2 $2^{p-1}\equiv 1\pm 2Ap{\pmod {p^{2}}}$ - $2^{p-1}\equiv 1\pm 2Ap{\pmod {p^{2}}}$ $2^{p-1}\equiv 1\pm 2Ap{\pmod {p^{2}}}$ ± $2^{p-1}\equiv 1\pm 2Ap{\pmod {p^{2}}}$ p ( $2^{p-1}\equiv 1\pm 2Ap{\pmod {p^{2}}}$ p $2^{p-1}\equiv 1\pm 2Ap{\pmod {p^{2}}}$ ) \ $style$ 2 1 1 ^ { 1 . 1 \ $pm$ 1 \ $equiv 1$ } $|!\pm 2A|=2|A|$ ± $|!\pm 2A|=2|A|$ $|!\pm 2A|=2|A|$ $displaystyle !\pm$ 2A $=2A })$ 도 $|!\pm 2A|=2|A|$ 작고 짝수입니다 $|!\pm 2A|=2|A|$ $\omega (p)$ , $\omega (p)$ , ( $\omega (p)$ ) $\omega (p)$ \ $style \obega (p)$ 가 $\omega(p)$ 위의 홀수일 경우 마지막 제곱 전의 $관련$ A는 작지 않았다.예를 들어 p $p=3167939147662997$ $p=3167939147662997$ { $displaystyle$ p= $3167939147662997}$ 의 $p=3167939147662997$ 2 $2^{(p-1)/2}\equiv -1-1583969573831490p{\pmod {p^{2}}}$ ( $2^{(p-1)/2}\equiv -1-1583969573831490p{\pmod {p^{2}}}$ $2^{(p-1)/2}\equiv -1-1583969573831490p{\pmod {p^{2}}}$ ) $2^{(p-1)/2}\equiv -1-1583969573831490p{\pmod {p^{2}}}$ $2$ - 1 $2^{(p-1)/2}\equiv -1-1583969573831490p{\pmod {p^{2}}}$ - $2^{(p-1)/2}\equiv -1-1583969573831490p{\pmod {p^{2}}}$ p ( $2^{(p-1)/2}\equiv -1-1583969573831490p{\pmod {p^{2}}}$ p $2)$ \ $equiv$ - $2^{(p-1)/2}\equiv -1-1583969573831490p{\pmod {p^{2}}}$ - $396957383pm$ { $pm }$ 이 $있습니다$ . $isplaystyle$ 2 $^{p-1}\equiv 1-17p{\pmod {p^{2}}}:$ 두 $2^{p-1}\equiv 1-17p{\pmod {p^{2}}}$ 번째 정의에 따르면 비페리히에 가까운 것입니다.

베이스 a 비페리히 소수점

비페리히 프라임 베이스 a는 다음을 만족시키는 프라임 p이다.

a p - 1

than

1 (

mod 2

^[8]p )는 p보다 작으나1보다 크다.

이러한 소수는 a를 나눌 수 없다. 왜냐하면 1도 나눌 수 있기 때문이다.

모든 자연수 a에 대해 기저 a에 무한히 많은 비페리히 소수가 있다는 것은 추측이다.

Bolyai는 p와 q가 소수일 경우 a는 p와 q로 나누어지지 않는 양의 정수이므로 $1$ 1( $mod$ q), $1$ 1 $(mod$ p $),$ $1$ 1 $(mod$ pq $)$ 이^q−1 $됩니다 p -1 pq -1$ .p = q를 설정하면 $1$ 1 $(mod 2$ p $)$ ^[58]^{: 284}이 $됩니다 p 2 -1$ . $a$ 가 1 $($ $mod 2$ p $)$ 인 경우, 또는 a가 1( $mod p 2 -1$ p)인 경우는 1 $($ $mod 2$ p $)$ ^[58]^{: 285–286}인 $경우 p -1$ 뿐입니다.

a의 작은 값에 대해 $1$ 1 $(mod 2$ p $)$ 의^p−1 알려진 해는 다음과 ^[59]같다(5 × 10까지¹³ 체크).

a	a = 1(mod² p)이 되도록^{p − 1} p를 소수한다.	OEIS 시퀀스
1	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... (모든 소수)	A000040
2	1093, 3511, ...	A001220
3	11, 1006003, ...	A014127
4	1093, 3511, ...
5	2, 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801, ...	A123692
6	66161, 534851, 3152573, ...	A212583
7	5, 491531, ...	A123693
8	3, 1093, 3511, ...
9	2, 11, 1006003, ...
10	3, 487, 56598313, ...	A045616
11	71, ...
12	2693, 123653, ...	A111027
13	2, 863, 1747591, ...	A128667
14	29, 353, 7596952219, ...	A234810
15	29131, 119327070011, ...	A242741
16	1093, 3511, ...
17	2, 3, 46021, 48947, 478225523351, ...	A128668
18	5, 7, 37, 331, 33923, 1284043, ...	A244260
19	3, 7, 13, 43, 137, 63061489, ...	A090968
20	281, 46457, 9377747, 122959073, ...	A242982
21	2, ...
22	13, 673, 1595813, 492366587, 9809862296159, ...	A298951
23	13, 2481757, 13703077, 15546404183, 2549536629329, ...	A128669
24	5, 25633, ...
25	2, 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801, ...
26	3, 5, 71, 486999673, 6695256707, ...	A306255
27	11, 1006003, ...
28	3, 19, 23, ...
29	2, ...
30	7, 160541, 94727075783, ...	A306256
31	7, 79, 6451, 2806861, ...	A331424
32	5, 1093, 3511, ...
33	2, 233, 47441, 9639595369, ...
34	46145917691, ...
35	3, 1613, 3571, ...
36	66161, 534851, 3152573, ...
37	2, 3, 77867, 76407520781, ...	A331426
38	17, 127, ...
39	8039, ...
40	11, 17, 307, 66431, 7036306088681, ...
41	2, 29, 1025273, 138200401, ...	A331427
42	23, 719867822369, ...
43	5, 103, 13368932516573, ...
44	3, 229, 5851, ...
45	2, 1283, 131759, 157635607, ...
46	3, 829, ...
47	...
48	7, 257, ...
49	2, 5, 491531, ...
50	7, ...

자세한 내용은 및 ^[63]을 참조하십시오^[60]^[61]^[62](a = b에^k 대한 해는 b를 나누지 않는 k의 소수점과 a = b에 대한 해와의 결합임).

n $1$ 1 $(mod 2$ p $)$ 의^p−1 최소 해는 다음과 같다.

2, 1093, 11, 1093, 2, 66161, 5, 3, 3, 71, 2693, 2, 29131, 1093, 2, 5, 5, 3, 281, 2, 13, 13, 5, 2, 11, 3, 7, 2, 4614591761, 2, 2693, 1739

n = 47, 72, 186, 187, 200, 203, 221, 304, 311, 335, 355, 435, 454, 546, 554, 610, 639, 662, 772, 798, 808, 812, 986, 871, 871, 986, 222, 231, 231, 304, 335, 454, 546, 554, 635, 629에 대해 n $µ1(mod 2$ p $)$ 의^p−1 알려진 솔루션은 없습니다.

자연수 a마다 $θ$ 1 $(mod 2$ p $)$ 의^p−1 해는 무한히 많다는 것은 추측이다.

p가 비페리히 소수인 염기 b < p는² (b > p의² 경우, k > 0의 경우, 해는 k²·p만 이동됩니다), p - $1$ 의 해 < p²>와 p에 대응하는 해는 {1, 2, 3, $...,$ $p$ - $1$ )(OEIS의 시퀀스 A143548)입니다.

p	b < p의² 값
2	1
3	1, 8
5	1, 7, 18, 24
7	1, 18, 19, 30, 31, 48
11	1, 3, 9, 27, 40, 81, 94, 112, 118, 120
13	1, 19, 22, 23, 70, 80, 89, 99, 146, 147, 150, 168
17	1, 38, 40, 65, 75, 110, 131, 134, 155, 158, 179, 214, 224, 249, 251, 288
19	1, 28, 54, 62, 68, 69, 99, 116, 127, 234, 245, 262, 292, 293, 299, 307, 333, 360
23	1, 28, 42, 63, 118, 130, 170, 177, 195, 255, 263, 266, 274, 334, 352, 359, 399, 411, 466, 487, 501, 528
29	1, 14, 41, 60, 63, 137, 190, 196, 221, 236, 267, 270, 374, 416, 425, 467, 571, 574, 605, 620, 645, 651, 704, 778, 781, 800, 827, 840

소수(n)가 비페리히 소수인 최소 기저 b > 1은 다음과 같다.

5, 8, 7, 18, 3, 38, 28, 28, 14, 115, 18, 51, 19, 53, 338, 53, 264, 143, 143, 11, 306, 31, 99, 184, 181, 43, 164, 96, 68, 38, 58, 19, 328, 313, 78, 256, 176, 176, 176, 176, 176, 176, 176

$(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ ( $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ + 1) $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ - $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ - $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ - 1 $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ 0 ( $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ 2 $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ ) { $display$ $style$ $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ ( $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ $a$ $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ + 1)^{ $p-1}$ - $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ ^{ $p-1$ }\ $equiv$ 0{\ $pmod {p^{$ 2 $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ : (일반화된 페르마 소정리에 $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ - p $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ - $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ - p $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ - p - 0 $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ 2 $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ ( $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ 2 )를 생각할 수 있습니다 $.$ $a$ 와a + $1$ 모두 p)로 나누어지지 않는 모든 자연수 a).모든 자연수 a에 대해 ( $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ 1) $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ - $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ - $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ - $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ 0 ( $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ p $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ ) $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ { $displaystyle ( a$ + $1$ )^{ $p-1}-a^{p-1}\equiv$ 0 ${\pmod {p^{2$ 과 같은 $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ 소수가 무한히 많다는 추측입니다.

small a에 대해 알려진 솔루션은 다음과 같습니다(최대 4 × 10¹¹ 체크).

$a$	p $($ $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ + $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ 1) $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ p $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ - $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ - $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ p - $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ 0 ( $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ p $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ 2) $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ {{ $displaystyle (a+1$ )^{ $p-1}-$ a^{ $p-1}\equiv 0gpmod$ { $p^{$ 2 $(a+1)^{p-1}-a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$ 의 $p$ 소수점.
1	1093, 3511, ...
2	23, 3842760169, 41975417117, ...
3	5, 250829, ...
4	3, 67, ...
5	3457, 893122907, ...
6	72673, 1108905403, 2375385997, ...
7	13, 819381943, ...
8	67, 139, 499, 26325777341, ...
9	67, 887, 9257, 83449, 111539, 31832131, ...
10	...
11	107, 4637, 239357, ...
12	5, 11, 51563, 363901, 224189011, ...
13	3, ...
14	11, 5749, 17733170113, 140328785783, ...
15	292381, ...
16	4157, ...
17	751, 46070159, ...
18	7, 142671309349, ...
19	17, 269, ...
20	29, 162703, ...
21	5, 2711, 104651, 112922981, 331325567, 13315963127, ...
22	3, 7, 13, 94447, 1198427, 23536243, ...
23	43, 179, 1637, 69073, ...
24	7, 353, 402153391, ...
25	43, 5399, 21107, 35879, ...
26	7, 131, 653, 5237, 97003, ...
27	2437, 1704732131, ...
28	5, 617, 677, 2273, 16243697, ...
29	73, 101, 6217, ...
30	7, 11, 23, 3301, 48589, 549667, ...
31	3, 41, 416797, ...
32	95989, 2276682269, ...
33	139, 1341678275933, ...
34	83, 139, ...
35	...
36	107, 137, 613, 2423, 74304856177, ...
37	5, ...
38	167, 2039, ...
39	659, 9413, ...
40	3, 23, 21029249, ...
41	31, 71, 1934399021, 474528373843, ...
42	4639, 1672609, ...
43	31, 4962186419, ...
44	36677, 17786501, ...
45	241, 26120375473, ...
46	5, 13877, ...
47	13, 311, 797, 906165497, ...
48	...
49	3, 13, 2141, 281833, 1703287, 4805298913, ...
50	2953, 22409, 99241, 5427425917, ...

비페리히 쌍

비페리히 쌍은 다음을 만족시키는 소수 p와 q 쌍입니다.

p^{q − 1} 1 1 ( mod² q )및^{p − 1} q 1 1 ( mod² p )

따라서 비페리히 소수 p ≤ 1(mod 4)이 이러한 쌍(p, 2)을 형성한다. 이 경우 유일하게 알려진 예는 $p$ = $1093$ 이다.알려진 비페리히 ^[65]쌍은 7개뿐입니다.

(2, 1093), (3, 1006003), (5, 164533507), (5, 188748146801), (83, 4871, (911, 318917) 및 (2903, 1878) (OEIS의 시퀀스 OEIS: A282293)

비페리히 수열

a(1) 임의의 자연수(>1)로 시작하며, a(n) = 최소 소수 p로서 (a(n - ^{p − 1}1) = 1(mod² p)이지만² p는 a(n - 1) - 1 또는 a(n - 1) + 1을 나누지 않는다. (p가² a(n - 1) - 1 또는 a(n - 1) + 1을 나누면 용액은 단순하다.)예를 들어, 모든 자연수 k = a(1) > 1이 이 시퀀스를 주기적으로 만든다는 것은 추측이다. 예를 들어 a(1) = 2:

2, 1093, 5, 20771, 18043, 5, 20771, 18043, 5, ..., 사이클 {5, 20771, 18043, ...}.

a(1) = 83으로 하자.

83, 4871, 83, 4871, 83, 4871, 83, ... 사이클 {83, 4871, 4871, ...}을 얻습니다.

a(1) = 59(더 긴 시퀀스):

59, 2777, 133287067, 13, 863, 7, 5, 20771, 18043, 5, ...도 5가 됩니다.

그러나 상태를 알 수 없는 a(1)에는 많은 값이 있습니다. 예를 들어 a(1) = 3:

3, 11, 71, 47? (베이스 47에는 알려진 비페리히 소수가 없습니다.)

a(1) = 14:

14, 29, ? (베이스 29에는 2 이외에는 알려진 Wiferich 소수가 없지만² 2 = 4 나누기 29 - 1 = 28)

a(1) = 39(더 긴 시퀀스):

39, 8039, 617, 101, 1050139, 29, ? (29도 취득)

a(1) >1의 값이 존재하기 때문에 결과적으로 시퀀스가 정기적으로 되는 것은 아닙니다.

a(n - 1)=k일 때 a(n)는 (k = 2)로 시작합니다. 1093, 11, 1093, 66161, 5, 1093, 11, 487, 71, 2693, 863, 29, 29131, 1093, 46021, 5, 281, 13, 256, 2071, 19, 1171, 1171, 4871, 487, 2693, 2693, 863, 29, 263, 29, 29, 29, 29, 29, 29, 29, 13, 13, 13, 13, 13, 701, 2071, 2071, 2071, 2071, 2071, 2071, 2071, 2071, 2071,nown)

비페리히 수

비페리히 수는 합치^{$φ$ (n)} 2 1 1 (mod² n)을 만족하는 홀수 자연수 n이다.여기서 $θ$ 는 오일러의 전체 함수이다(오일러의 정리에 따르면^{$φ$ (n)} 홀수 자연수 n마다 2 ( 1 (mod n)).만약 비페리히 숫자 n이 소수라면, 비페리히 소수입니다.처음 몇 개의 비페리히 숫자는 다음과 같습니다.

1, 1093, 3279, 3511, 7651, 10533, 14209, 17555, 22953, 31599, 42627, 45643, 52665, 68859, 94797, 99463, ... (OEIS의 시퀀스 A077816)

비페리히 소수만 확정적으로 많으면 비페리히 소수만 확정적으로 많다는 것을 알 수 있다.특히 1093과 3511만이 비페리히 소수라면 ^[2]현재 알려진 비페리히 숫자와 일치하는 정확히 104개의 비페리히 숫자가 존재한다.

보다 일반적으로 자연수 n은 a가 1(mod² n)^[66]^{: 31} 이상일 경우^{$φ$ (n)} a를 밑돌기 위한 비페리히 수이다.

또 다른 정의에서는 비페리히 수를 홀수 자연수 n으로 규정하여 ${\tfrac {2^{m}-1}{n}}$ 과 $({displaystyle {tfrac {2^{m$ }-1}{n $})$ 이 $\tfrac{2^m-1}{n}$ 공수가 아닙니다.여기서 m은 2 모듈로 n의 곱셈 순서입니다.첫 번째 숫자는 다음과 같습니다.^[67]

21, 39, 55, 57, 111, 147, 147, 155, 165, 171, 183, 195, 201, 203, 205, 205, 205, 219, 237, 253, 285, 291, 301, 305, 327, 355, 385, 399, ... (OIS의 시퀀스 A182297)

위와 같이 비페리히 숫자 q가 소수라면 비페리히 소수입니다.

약한 비페리히 소수

베이스 a에 약한 비페리히 프라임은 프라임 p가 조건을 만족시킵니다.

a^p (mod² p)

베이스 a에 대한 모든 비페리히 프라임은 베이스 a에 대한 약한 비페리히 프라임이기도 하다.기저 a가 정사각형 프리일 경우 p는 if를 기저로 하는 약한 Wiferich 프라임이며 p가 p가 기저 a에 대한 Wiferich 프라임일 경우에만 그러합니다.

최소 약소 비페리히 프라임에서 베이스 n은 (n = 0으로 시작)

2, 2, 1093, 11, 2, 2, 66161, 5, 2, 2, 3, 71, 2, 2, 29, 29131, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 13, 13, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 7, 7, 2, 2, 46145917691, 3, 2, 2, 17, 8039, 2, 2, 23, 5, 2, 2, 3, ...

차수 n의 비페리히 프라임

정수 n ≤2에 대하여, 차수 n의 기저 a에 대한 비페리히 소수는 p가 소수이다.

a^p−1 1 1 ( modⁿ p )

순서 n을 가진 a를 베이스로 하는 비페리히 소수 역시 순서 2 µm µn을 모두 베이스 a를 베이스로 하는 비페리히 소수이며, 순서 2를 가진 a를 베이스로 하는 비페리히 소수도 베이스 a를 베이스 a로 하는 비페리히 소수이므로 n µ3의 경우만 고려할 수 있다.그러나 순서 3의 베이스 2에 알려진 비페리히 프라임은 없습니다.순서 3의 비페리히 프라임이 알려진 첫 번째 베이스는 9입니다.여기서 2는 순서 3의 베이스 9에 대한 비페리히 프라임입니다.또, 5와 113은 모두, 순서 3의 베이스 68에 대한 비페리히 프라임이다.

루카스-비페리히 소수

P와 Q를 정수라고 하자.쌍(P, Q)과 관련된 첫 번째 종류의 Lucas 시퀀스는 다음과 같이 정의됩니다.

디스플레이 스타일U_{0}(P,Q)&=0,\\U_{1}(P,Q)&=1,\U_{n}(P,Q)&=P\cdot U_{n-1}(P,Q)-Q\cdot U_{n-2}(P,Q)\end{aligned}}

모든 $n\geq 2$ $n\geq 2$ (\ $displaystyle$ n $\geq$ 2 $n\geq 2$ 에 대해 루카스-(P, Q)와 관련된 비페리히 소수는 U(P, Q) 0 0(mod² p)이_p−ε 되도록 소수 p이다. 여기서 θ는 Legendre 기호 $\left({\tfrac {P^{2}-4Q}{p}}\right)$ 2 - $\left({\tfrac {P^{2}-4Q}{p}}\right)$ $\left({\tfrac {P^{2}-4Q}{p}}\right)$ p $)\$ }- $4Q}{p}}\right$ 모든 루카스 프리히임은 비페리히 소수가 된다.이 쌍(3, 2)에 ^[3]^{: 2088}관련된 Vieberich 소수.

피보나치비페리히 소수

Q = -1로 합니다.모든 자연수 P에 대해 루카스-(P, -1)와 관련된 비페리히 소수는 P-Fibonacci-라고 불린다.Vieberich 소수 또는 P-Wall-Sun-Sun 소수.P = 1이면 피보나치라고 한다.비페리히가 소수이다.P = 2이면 Pell-Wiferich 소수라고 한다.

예를 들어 241은 루카스입니다.비페리히 소수는 (3, -1)에 관련되므로 3-피보나치-비페리히 프라임 또는 3-월-일-일-일 프라임.사실 3은 P-Fibonacci입니다.P가 0, 4 또는 5(mod 9)^{[citation needed]}에 해당하는 경우에만 비페리히 소수이며, 이는 전통적인 비페리히 소수에서 n이 1 또는 8(mod 9)에 해당하는 경우에만 3이 베이스 n 비페리히 소수라는 진술과 유사하다.

비페리히 장소

K를 전역 필드, 즉 유한 필드 위에 있는 한 변수의 숫자 필드 또는 함수 필드라고 하고 E를 타원 곡선이라고 합니다.K와 ∈ K의 규범 qv의 v(를)=0으로 만약'v'는non-archimedean 곳, 그럼. v에, 담배 v(aqv − 1− 1)>1, 베이스 P에 대한 타원 Wieferich 곳 ∈ E, 기지 Wieferich 장소의 이름은 ≥ 1v(aqv − 1− 1)만약 NvP ∈ E2과 베이스 P에 대한 강한 타원 Wieferich 곳 ∈ E만약 nvP E2, P의 nv는 순서 모듈로 v와 Nv의 수를 제공하 ∈.합리적인 포인트( 섞은r v)^[68]^{: 206}에서의 E 환원 잔류장.

「」를 참조해 주세요.

벽-태양-소수 – 가장 넓은 의미에서 FLT의 연구 결과인 또 다른 유형의 소수
Wolstenholme prime – 가장 넓은 의미에서 FLT의 연구 결과인 또 다른 유형의 소수
윌슨 소수
합치표 – 소수에서 만족하는 기타 합치 목록
Prime Grid – 프라임 검색 프로젝트
동작하다
분산 컴퓨팅

레퍼런스

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외부 링크

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임의의 k를 갖는 페르마트/울러-인자 $(a p -1$ - $1 k$ )/p
알려진 두 개의 비페리히 소수점에 대한 메모
PrimeGrid의 Wieberich Prime Search 프로젝트 페이지

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[66] Agoh, T.; Dilcher, K.; Skula, L. (1997), "Fermat Quotients for Composite Moduli", Journal of Number Theory, 66 (1): 29–50, doi:10.1006/jnth.1997.2162

[67] Müller, H. (2009). "Über Periodenlängen und die Vermutungen von Collatz und Crandall". Mitteilungen der Mathematischen Gesellschaft in Hamburg (in German). 28: 121–130.

[68] Voloch, J. F. (2000), "Elliptic Wieferich Primes", Journal of Number Theory, 81 (2): 205–209, doi:10.1006/jnth.1999.2471

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v t 소수 클래스
공식에 의한	페르마 ( $2 2 n$ + $1$ ) 메르센 $(2 p$ - 1) $더블 2 p -1$ 메르센(2 - $1$ ) 와그스태프( $2 p +1)/3$ 프로스( $k \cdot2 n$ + $1$ ) 요인( $n!$ ± $1$ ) 초기( $p n #$ ± $1$ ) 유클리드( $p n #$ + $1$ ) 피타고라스어 ( $4n$ + $1$ ) 피어폰트( $2 m \cdot3 n +1$ ) 쿼탄( $x 4$ + $y 4$ ) 솔리나(2 ± $2 m$ ± $1 n$ ) Cullen ( $n \cdot2 n + 1$ ) 우돌( $n \cdot2 n$ - $1$ ) 쿠바어( $x 3$ - $y 3)/(x$ - $y$ ) 레이랜드 ( $x y$ + $y x$ ) Thabit ( $3\cdot2 n - 1$ ) 윌리엄스(( $b-1)\cdotb-1 n$ ) 밀스( $A 3 n)$
정수순서별	피보나치 루카스 펠 뉴먼 생크스 윌리엄스 페린 파티션 벨 모츠킨
속성별	비페리히(페어) 벽-태양-태양 볼스텐홀름 윌슨 럭키 행운의 라마누잔 필라이 규칙적인. 강한. 스턴 슈퍼싱귤러(엘리전트 곡선) 초대칭(문신 이론) 좋아요. 잘 하는 군요 힉스 고공역성
베이스 의존	회문 에미르프 유닛 $(10 n$ - $1)/9$ 치환 가능 원형 잘라낼 수 있다 최소 연약한 원시 전체 파충류 독특한 행복해 자신 스마란다슈웰린 스트로보그라마틱 이면체 테트라디크
패턴	트윈 ( $p, p$ + $2$ ) 쌍방향 체인( $n \pm 1$ , $2n \pm 1$ , $4n \pm 1$ , $\dots)$ 삼중항( $p, p$ + 2 $또는$ p + $4,$ p + $6$ ) 4중항( $p, p$ + 2 $, p$ + $6,$ p + $8$ ) k태플 사촌 ( $p, p$ + $4$ ) 섹시 ( $p, p$ + $6$ ) 첸 Sophie Germain / Safe ( $p, 2p$ + $1$ ) 커닝햄( $p, 2p \pm 1$ , $4p \pm 3$ , $8p$ $\pm 7$ , $...)$ 산술 수열( $p$ + $a\cdotn,$ $n$ = $0, 1, 2, 3$ , $...)$ 밸런스( $연속$ p - $n,$ $p, p$ + $n$ )
크기별	메가(1,000,000자리 이상) 알려진 최대 크기
복소수	아이젠슈타인 소수 가우스 프라임
합성수	의사 시간 카탈로니아어 타원형 오일러 오일러-야코비 페르마 프로베니우스 루카스 소머-루카스 강한. 카마이클 수 거의 프라임 세미프라임 인터프라임 유해.
관련 토픽	개연소수 산업용 프라임 부정한 소수 소수 공식 프라임 갭
처음 60개의 소수점	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
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베이스 a 비페리히 소수점

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