레전드레의 추측

Adrien-Marie Legendre가 제안한 Legendre의 추측에 따르면 모든 양의 정수 n에 대해 n과² (n + 1) 사이에 소수(²prime n)가 있다고 한다.그 추측은 란다우의 소수 문제들 중 하나이다. 2022년^[update] 현재, 그 추측이 증명되지도 않고 반증하지도 않았다.

프라임 갭

Legendre의 추측은 소수 사이의 간격, 즉 소수와의 간격과 관련된 결과와 추측의 가족 중 하나이다.

소수 정리는 n과² (n + ²1) 사이의 실제 소수(OEIS: A014085)가 n/ln(n)에 무증상임을 시사한다.이 숫자는 큰 n에 비해 크기 때문에, 이것은 레전드레의 추측에 신빙성을 부여한다.

레전드레의 추측이 사실이라면 어떤 프라임 p와 그 다음으로 큰 프라임 p 사이의 간격은 $항상{\displaystyle \sqrt{}}$ 최대 p ${\${\$sqrt{p}}$의 순서로 되어 있을 것이다$;$^[a] 큰 O 표기법에서는 그 $간격$은 O${\displaystyle }$( ${\displaystyle p}$) ${\displaystysty$ O$({\sqrt{p}})}$이다$.$안드리카의 추측과 오퍼만의 추측이라는 두 가지 더 강력한 추측도 이 격차의 크기가 같다는 것을 암시한다.

Harald Cramér conjectured that the gaps are always much smaller, of the order ${\displaystyle (\log p)^{2}}$. If Cramér's conjecture is true, Legendre's conjecture would follow for all sufficiently large n. Cramér also proved that the Riemann hypothesis implies a weaker bound of ${\displaystyle O({\$$최대$ 프라임 간격 크기에$대한$ sqrt {{p$$$}\log p)}$^[1]

10에¹⁸ 가까운 표본은 평균 간격의 5천만 배에 이르는 원시 갭을 필요로 한다.

레전드레의 추측에 의하면 울람 나선형의 반 회전마다 적어도 하나의 프라임이 발견될 수 있다는 것을 암시하고 있다.

부분 결과

충분히 큰 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$에$$대해 연속된 $큐브{\displaystyle {}^{}}$ n ${\$ n$^{3}$과$({\displaystyle \mathrm{n}}$+ 1)${\displaystyle {}^{3\mathrm{}}}${\$displaystyle (n+1)^{3}$ 사이에 prime이 있다는 것이 인감의 결과로 이어진다$.$^[2]

베이커, 하만, 핀츠는 모든 $큰{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ $x$+ O${\displaystyle }$($x21/40$간격에 prime이 있음을 증명했다$.$^[3]

최대 원시 간격의 표는 추측이 적어도 $n{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle \cdot }$ 10 $[\$ n$^{2}=4\cdot 10^{18}},$$즉{\displaystyle }$n = ${\displaystyle 2{10}^{}}$ ${\displaystyle {10\mathrm{}}^{}}$ 9$[\$ 10$^{9}}}}}}$을 유지한다는 것을 보여준다$.$^[4]

참고 항목

• 베르트랑의 가정
• 브로카드의 추측
• 피로즈바히트의 추측

참고 및 참조

^a 연속된 두 제곱의 차이가 제곱근의 순서에 따른 결과다.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Legendre's conjecture". MathWorld.