팔린드롬수

Palindromic number

팔라인드롬 숫자(숫자 팔라인드롬 또는 숫자 팔라인드롬이라고도 함)는 숫자가 반전될 때 그대로 유지되는 숫자(예: 16461)이다. 즉 수직축을 가로지르는 반사대칭성을 가지고 있다. 팔린드로믹(Palindromic)이라는 용어는 글자가 뒤바뀌어도 철자가 변하지 않는 단어(로터나 경주용 자동차 등)를 가리키는 팔린드로롬(Palindromic)에서 유래되었다. 처음 30개의 소수점(소수)은 다음과 같다.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 101, 111, 111, 121, 131, 151, 161, 171, 181, 191, 202, (OEIS에서 연속 A002113)

팔린드로믹 숫자는 레크리에이션 수학의 영역에서 가장 많은 관심을 받는다. 전형적인 문제는 특정한 속성을 가지고 있고 창백한 숫자들을 요구한다. 예를 들어,

어떤 기초에서든 무한히 많은 팔레드로믹 숫자가 존재한다는 것은 명백하다. 왜냐하면 어떤 기초에서든 (그 기초에서) 101, 1001, 10001, 1001, 100001 등으로 쓰여진 무한 시퀀스는 팔레드로믹스로만 구성되어 있기 때문이다.

형식 정의

소수계에서는 팔린드로믹 숫자가 가장 많이 고려되지만, 팔린드로믹스의 개념은 어떤 숫자계에서도 자연수에 적용될 수 있다. b ≥ 2의 숫자 n > 0을 고려한다. 여기서 이 숫자는 다음과 같이 k+1 자리 a로i 표준 표기법으로 표기된다.

항상 그렇듯이, 모든 i에 대해i 0 < a < b 그리고 0k ≠을 가지고. 그i 다음 n은 모든 i에 대해 a = a일k−i 경우에만 Palindromic이다. 0은 어떤 베이스에서나 0으로 쓰여져 있으며, 또한 정의에 의해서도 구문색이다.

십진 팔린드롬수

한 자릿수를 가진 베이스 10(그리고 실제로 어떤 베이스에서든)의 모든 숫자는 팔린드로믹이므로 한 자릿수를 가진 10개의 소수 팔린드로믹 숫자가 있다.

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

두 자릿수를 가진 9개의 팔린드로믹 숫자가 있다.

{11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}.

3자리 숫자를 가진 90개의 팔린드로믹 숫자가 있다(제품 규칙 사용: 첫 번째 자리에도 9개의 선택 - 세 번째 자리에도 10개의 선택 - 두 번째 자리에도 10개의 선택지를 곱함).

{101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, …, 909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999}

마찬가지로 4자리 숫자를 가진 90개의 팔린드로믹 숫자가 있다(again, 첫 번째 자리에는 9개의 선택과 두 번째 자리에는 10개의 선택지를 곱함). 나머지 두 자릿수는 처음 두 자릿수의 선택에 의해 결정된다.

{1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991, …, 9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999},

그래서 10보다4 낮은 199개의 팔린드로믹 숫자가 있다.

105 이하에는 1099개의 팔린드로믹 숫자가 있으며, 10의n 다른 지수에는 1999, 10999, 9999, 199999, 109999, ...(OEIS에서 연속 A070199)가 있다. 다른 속성이 있는 팔색조 번호의 수는 다음과 같다.

101 102 103 104 105 106 107 108 109 1010
n 천연의 10 19 109 199 1099 1999 10999 19999 109999 199999
n 짝수 5 9 49 89 489 889 4889 8889 48889 88889
n 기묘한 5 10 60 110 610 1110 6110 11110 61110 111110
n 정사각형의 4 7 14 15 20 31
n 정육면체 3 4 5 7 8
n 전성기의 4 5 20 113 781 5953
n 사각형의 6 12 67 120 675 1200 6821 12160 + +
n 비제곱(μ(n)=0) 4 7 42 79 424 799 4178 7839 + +
원근으로[1] 정사각형 2 3 5
n 구별되는 주요 요인이 짝수인 경우(μ(n)=1) 2 6 35 56 324 583 3383 6093 + +
n 구별되는 소수 주성분(μ(n)=-1)이 있는 경우 4 6 32 64 351 617 3438 6067 + +
n 주 요인 수가 홀수인 경우에도 1 2 9 21 100 180 1010 6067 + +
n 구별되는 주요 요소 수가 홀수인 경우에도 3 4 21 49 268 482 2486 4452 + +
주 요인이 홀수인 홀수 n 홀수 3 4 23 43 251 437 2428 4315 + +
홀수 수의 구별되는 주요 요인이 있는 홀수 4 5 28 56 317 566 3070 5607 + +
짝수 수의 주요 요인이 있는 정사각형도 없다. 1 2 11 15 98 171 991 1782 + +
짝수 수의 주요 요인이 있는 홀수 사각형 없음 1 4 24 41 226 412 2392 4221 + +
1차 요인이 정확히 2개인 n 홀수 1 4 25 39 205 303 1768 2403 + +
n 정확히 2개의 주요 요인이 있더라도 2 3 11 64 413 + +
n 정확히 3가지 주요 요인이 있더라도 1 3 14 24 122 179 1056 1400 + +
n 정확히 3개의 주요 요인이 있는 경우에도 0 1 18 44 250 390 2001 2814 + +
1차 요인이 정확히 3개인 n 홀수 0 1 12 34 173 348 1762 3292 + +
n 카마이클 수 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1
n σ(n)이 팔린드롬인 경우 6 10 47 114 688 1417 5683 + + +

퍼펙트 파워

많은 palindromic perfect power n이k 있는데, 여기서 n은 자연수이고 k는 2, 3, 4이다.

시퀀스2 12, 1112, 111, 1111의2 처음 9개 항은 팔레드롬 1, 121, 12321, 1234321, ...(OEIS에서 시퀀스 A0024777)을 형성한다.

유일하게 알려진 비팔린드로만 정육면체(Calindrome)는 2201이며, 모든 팔린드롬 4강 중 4루트가 10만개의 팔린드롬이라는 추측이다...000001 (10n + 1).

G. J. 시몬스는 k > 4 (그리고 n > 1)에 대해 n 형태의k 팔레드롬은 없다고 추측했다.[2]

기타 베이스

소수점 이외의 숫자 체계에서는 팔린드롬 숫자를 고려할 수 있다. 예를 들어, 이진 팔린드로믹 번호는 다음과 같은 이항 표현을 가진 숫자들이다.

0, 1, 11, 101, 111, 1001, 1111, 10001, 10101, 11011, 11111, 100001, ...

또는 십진수:

0, 1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, 21, 27, 31, 33, ...(OEIS에서 연속 A006995)

페르마 프라임과 메르센 프라임은 이항 팔린드로믹 프라임의 하위 집합을 형성한다.

어떤 숫자 n{n\displaystyle}모든 기지에 b{\displaystyle b}b>, n{\displaystyle b>, n}( 하찮게서, n{\displaystyle n}이 된 다음 한 자릿수의 번호), 및 기지 n또한 − 1{\displaystyle n-1}(기 때문에 n{n\displaystyle}가 있다면 11n− 1{\displaysty 재발성 있다.11_ 르 염기서열보다 숫자가 적은 경우를 제외하더라도 대부분 염기서열로 되어 있다. 예를 들어, 1221년 4=1518=7714=5520=3334=11104{1221_{4\displaystyle}=151_{8}=77_{14}=55_{20}=33_{34}=11_{104}}, 1991년 10=7C 716{\displaystyle 1991_{10}=7C7_{16}}. 많은은non-palindromic에 주자가 모두 b{\displaystyle b}1<>b<>n− 1{\displaystyl.e1<, b은 엄밀히 말하면 비팔원수라고 한다.

베이스 7에서 101은7 완벽한 사각형(52=347)의 두 배이기 때문에 여러 개의 배수는 팔린드로믹 사각형이다.

132 = 202
262 = 1111
552 = 4444
1012 = 10201
1432 = 24442

18번 기지에서 7번 중 일부 힘은 팔린드로믹이다.

70 = 1
71 = 7
73 = 111
74 = 777
76 = 12321
79 = 1367631

그리고 베이스 24에서는 5의 처음 8의 힘도 팔각색이다.

50 = 1
51 = 5
52 = 11
53 = 55
54 = 121
55 = 5A5
56 = 1331
57 = 5FF5
58 = 14641
5A = 15AA51
5C = 16FLF61

Palindromic 순서로 배열된 l 길이의 Palindromic 시퀀스로 구성된 b 기준 b의 Palindromic 번호(예: 101 111 010 111 1012)는 b 기준 b의l Palindromic이다(예를 들어 위의 2진수는 base3 2=8에서 Palindromic이다(이는 57275와8 동일).

베이스 30의 13310 제곱은 4D302 = KKK30 = 3R362 = DPD이다36. 베이스 24에는 52 = 11로 인한 팔린드로믹 정사각형이 더 많다. 그리고 1666형식의 모든 숫자의 제곱은...6667 (1과 7 사이의 임의의 수의 6을 포함)은 구각색이다. 1672 = 1E5E1, 16672 = 1E3K3E1, 166672 = 1E3H8H3E1

리크렐 공정

비 팔린드로믹 번호는 일련의 수술을 통해 팔린드로믹 숫자와 짝을 이룰 수 있다. 첫째, 비팔린드롬 번호가 역전되어 결과가 원래의 번호에 추가된다. 결과가 팔린드롬 번호가 아닌 경우 팔린드롬 번호를 부여할 때까지 반복한다. 그러한 숫자를 "지연된 흑백"이라고 부른다.

모든 비팔린드롬 숫자와 이런 식으로 쌍을 이룰 수 있는지는 알려지지 않았다. 아직 어떤 숫자도 손상되지 않은 것으로 증명되지 않았지만, 많은 숫자들은 그렇지 않은 것으로 보인다. 예를 들어 196은 7억 번을 반복해도 판자국을 내지 않는다. 이런 식으로 절대 팔린드로믹이 되지 않는 숫자는 리크렐 숫자로 알려져 있다.

2017년 1월 24일 OEIS에서 번호 1,999,291,987,030,606,810이 A281509로 발행되어 '가장 큰 지연 팔라인드롬'을 발표했다. 1,999,291,987,030,606,810보다 앞선 125 261계단 가장 지연된 팔레드의 순서는 A281508로 별도로 발표되었다.

왕복 총액

팔린드롬 숫자의 왕복선의 합은 수렴 계열로, 그 값은 대략 3.37028... (OEIS에서 시퀀스 A118031).

셰헤라자데 수

셰헤라자데 숫자들은 벅민스터 풀러가 그의 저서 시너게틱스에서 식별한 숫자의 집합이다.[3] 풀러는 이 용어에 대해 공식적인 정의를 내리지는 않지만, 그가 제시하는 예시를 보면, n≥13의 원소로서 그 수에서 가장 큰 원소인 원소 n#의 인자를 포함하고 있는 숫자로 이해할 수 있다. 풀러는 이 숫자들을 쉐헤라자데 숫자라고 불렀는데, 이는 그들이 1001의 인자를 가지고 있어야 하기 때문이다. 셰헤라자데는 천박과 일박의 이야기꾼으로, 매일 밤 새로운 이야기를 들려주어 사형 집행을 지연시킨다. n은 13 이상이어야 하므로 원형은 1·2·3·5·7·11·13 이상, 7×11×13 = 1001 이상이어야 한다. 풀러(Fuller)는 1001의 힘을 셰헤라자데 수(Sheherazade number)라고 부르기도 한다. 쉐헤라자데 숫자를 포함하는 가장 작은 원석은 13# = 30,030이다.

풀러는 이 숫자들 중 일부는 숫자의 그룹에 의해 팔린드로믹하다고 지적했다. 예를 들어 17# = 510,510은 3자리 그룹의 대칭을 보여준다. Fuller는 그러한 숫자를 Schherazade Sublimely Recemberable 포괄 배당금 또는 SSRCD 번호라고 불렀다. 풀러 교수는 1001이 세 자릿수 그룹에서 구문색인 기억력이 뛰어난 숫자를 생성할 뿐만 아니라 그룹의 값도 이항계수라는 점에 주목한다. 예를 들어.

이 시퀀스는 일부 그룹에서 왼쪽으로 이동되는 이동 숫자가 있기 때문에 (1001)13에서 실패한다. 풀러는 이 유출물을 별도의 줄에 쓸 것을 제안한다. 이렇게 하면 필요에 따라 더 많은 스필오버 라인을 사용하여 대칭이 어떤 전력에도 무한정 보존된다.[4] 많은 다른 셰헤라자데 숫자들은 이런 식으로 표현했을 때 유사한 대칭을 보여준다.[5]

팔린드로메스 총계

2018년에는 모든 양의 정수를 베이스 5 이상이면 모든 숫자 시스템에서 3개의 팔린드로 쓸 수 있다는 것을 보여주는 논문이 발표되었다.[6]

참고 항목

메모들

  1. ^ (OEIS에서 시퀀스 A065379) 다음 예는 19자리 - 900075181570009이다.
  2. ^ Murray S. Klamkin (1990), 응용 수학의 문제: SIAM 리뷰의 선택, 페이지 520.
  3. ^ R. 벅민스터 풀러(E. J. Applewhite, 시너게틱스(Synergetics): 맥밀런, 1982년 사고 기하학의 탐구 ISBN0-02-065320-4.
  4. ^ 풀러, 페이지 773-774
  5. ^ 풀러, 페이지 777-780
  6. ^ Cilleruelo, Javier; Luca, Florian; Baxter, Lewis (2016-02-19). "Every positive integer is a sum of three palindromes". Mathematics of Computation. arXiv:1602.06208. (ArXiv 사전 인쇄)

참조

외부 링크