메어텐스 수

숫자 이론과 수학적 논리학에서 주어진 숫자 $베이스$ b $b$ 에 있는 메어텐스 숫자는 그 자체의 괴델 수인 자연수다 $b$ .그것은 암스테르담의 CWI에서 25년을 기념하는 동안 선물로 Richard S. Bird에 의해 Lambert Meertens의 이름을 따서 명명되었다.^[1]

정의

$n$ $n$ 을(를) 자연수가 되게 $n$ 하라. $b>1$ b > $b>1$ $b>1$ $F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ $F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ : $F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ → $F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ ${\$ 에 대한 Meertens 함수를 다음과 같이 $F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ 정의한다.

F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}p_{k-i-1}^{d_{i}}.

여기서 $k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1$ = $k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1$ $k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1$ $k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1$ $k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1$ + 1 ${\displaystyle$ k $=\lfloor \log _{b}{n}\$ n}\ $floor +1}$ 는 $k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1$ $기본$ $p_{i}$ b ${\displaystyle b$ $p_{i}$ i ${\displaystyp_$ ${i}$ 에 있는 숫자의 수입니다 $i$ $.$

d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}-n-{\bmod {b}^{i}}}{b^{i}}}}}}}:{b^{i}}}}}}}}}}

숫자의 각 자릿수 값이다.자연수 $n$ $n$ 은 $F_{b}$ 는) $F_{b}$ b ${\$ 의 고정점일 경우 메어텐스 번호로 $n$ , $F_{b}(n)=n$ b $F_{b}(n)=n$ ) $F_{b}(n)=n$ = $F_{b}(n)=n$ ${\displaystyle F_{b}(n)=n$ 이는 괴델 인코딩에 해당한다.

예를 들어 $b=4$ = $b=4$ $b=4$ 의 숫자 3020은 메어텐스 숫자인데 $b=4$ , 그 이유는 다음과 같다.

3020=2^{3}3^{0}5^{2}7^{0}

=

3020=2^{3}3^{0}5^{2}7^{0}

3020=2^{3}3^{0}5^{2}7^{0}

3020=2^{3}3^{0}5^{2}7^{0}

3020=2^{3}3^{0}5^{2}7^{0}

3020=2^{3}3^{0}5^{2}7^{0}

3020=2^{3}3^{0}5^{2}7^{0}

3020=2^{3}3^{0}5^{2}7^{0}

3020=2^{3}3^{0}5^{2}7^{0}

{\

A natural number $n$ is a sociable Meertens number if it is a periodic point for $F_{b}$ , where $F_{b}^{k}(n)=n$ for a positive integer $k$ , and forms a cycle of period $k$ . A Meertens number is a sociabl $k=1$ k $k=1$ = $k=1$ ${\displaystyle k=1$ }을 $($ 를 $k=1$ 가진 Meertens 번호와 $k=2$ 인 Meertens 번호는 k $k=2$ = 2 $k=2$ 을(를) 가진 사교적인 Meertens 번호다 $k=2$

$F_{b}^{i}(n)$ $F_{b}^{i}(n)$ $F_{b}^{i}(n)$ ( $F_{b}^{i}(n)$ ) $F_{b}^{i}(n)$ 이(가) 고정 지점에 도달하는 $F_{b}^{i}(n)$ 데 필요한 $i$ $반복$ i ${\displaystyle$ $i$ $}$ 의 수는 메어텐스 함수의 $n$ ${\displaystyn}$ 지속성이고 $n$ 고정 지점에 도달하지 않는 경우 정의되지 않은 수입니다.

특정 $b$ $b$ 에 $F_{b}$ 대해 F $F_{b}$ ${\$ 의 번호 및 주기 확인

모든 숫자는 base $b$ $b$ 에 있다 $b$

$(\displaystyle b)$	메어텐스 수	사이클	평.
2	10, 110, 1010		${\displaystylen<2^{96}}$ ^[2]
3	101	11 → 20 → 11	${\displaystylen<3^{60}}$ ^[2]
4	3020	2 → 10 → 2	${\displaystylen<4^{48}}$ ^[2]
5	11, 3032000, 21302000		${\displaystylen<5^{41}}$ ^[2]
6	130	12 → 30 → 12	$n<6^{37}$ ^[2]
7	202		${\displaystylen<7^{34}}$ ^[2]
8	330		${\displaystylen<8^{32}}$ ^[2]
9	7810000		$n<9^{30}$ ^[2]
10	81312000		$n<10^{29}$ ^[2]
11	$\varnothing$		${\displaystylen<11^{44}}$ ^[2]
12	$\varnothing$		$n<12^{40}$ ^[2]
13	$\varnothing$		$n<13^{39}$ ^[2]
14	13310		$n<14^{25}$ ^[2]
15	$\varnothing$		$n<15^{37}$ ^[2]
16	12	2 → 4 → 10 → 2	${\displaystylen<16^{24}}$ ^[2]