피타고라스 전성기

Pythagorean prime
"피타고라스 번호"는 여기서 리디렉션된다.제곱합과 관련된 필드 불변수는 피타고라스 번호를 참조하십시오.
피타고라스 프라임 5와 그 제곱근은 모두 정수의 다리를 가진 오른쪽 삼각형의 하이포틴이다.이 공식은 정수 다리를 가진 직각 삼각형을 첫 번째 삼각형의 정사각형인 정수 다리를 가진 또 다른 직각 삼각형으로 변환하는 방법을 보여준다.

피타고라스 프라임은 4n + 1 형식의 소수다. 피타고라스 프라임은 정확히 두 칸의 합인 홀수 프라임 숫자다. 이 특성화는 두 칸의 합에 대한 페르마의 정리다.

동등하게 피타고라스 정리로는 √p가 정수의 다리로 직삼각형의 하이포텐유 길이인 홀수 p이고, p 자체가 원시 피타고라스 삼각형의 하이포텐유 길이인 p가 되기도 한다.예를 들어, 숫자 5는 피타고라스 프라임이고, √5는 다리 1과 2가 있는 직삼각형의 하이포텐션이며, 5 그 자체는 다리 3과 4가 있는 직삼각형의 하이포텐션이다.

값과 밀도

피타고라스의 첫 몇 가지 프라임은

5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, ...(OEIS에서 연속 A002144).

디리클레트의 산술 진행에 대한 정리로는 이 순서는 무한하다.보다 강하게, 각 n에 대해, 피타고라스와 비피타고라스의 소수 n까지의 숫자는 대략 같다.그러나 피타고라스의 프리타임 수가 n까지인 경우는 피타고라스가 아닌 프리타임 수보다 다소 적은 경우가 많다. 이 현상은 체비셰프의 바이어스라고 알려져 있다.[1]예를 들어, n보다 작거나 같은 피타고라스가 아닌 홀수보다 피타고라스가 더 많은 n ~ 600,000의 유일한 값은 26861과 26862이다.[2]

두 제곱의 합으로 표현

홀수 제곱과 짝수 제곱의 합은 1모드 4에 합치되, 1모드 4인 21과 같은 복합 숫자가 존재하지만, 2개의 제곱의 합으로 나타낼 수 없다.페르마의 두 정사각형 합계에 대한 정리에서는 두 정사각형의 합으로 나타낼 수 있는 소수들은 정확히 2이고 홀수 소수들은 1모드 4에 일치한다고 말한다.[3]그러한 각 숫자의 표현은 두 제곱의 순서에 따라 고유하다.[4]

피타고라스의 정리를 사용함으로써, 이 표현은 기하학적으로 해석될 수 있다: 피타고라스의 프리마임은 정확히 홀수 소수 p로서, 정수의 다리와 함께 직각 삼각형이 존재하며, 하이포텐use는 길이가 pp이다.그것들은 또한 정확히 소수 p이며, 하이포텐use가 길이가 p인 정수 면이 있는 직각 삼각형이 존재한다.의 경우, 다리가 x와 y인 삼각형의 경우, 다리가2 x와 2xy인 삼각형의 사용길이 p가2 hyp(x > y인 삼각형의 경우 hypotenuse 길이가 p이다.[5]

이 표현을 두 개의 제곱의 합으로 이해하는 또 다른 방법은 가우스 정수를 포함한다. 가우스 정수는 실제 부분과 가상 부분이 모두 정수인 복잡한 숫자다.[6]가우스 정수 x + y의 표준은 숫자2 x + y이다2.따라서 피타고라스적 소수(및 2)는 가우스 정수의 규범으로서 발생하는 반면, 다른 소수들은 그렇지 않다.가우스 정수 안에서 피타고라스 소수들은 원시 숫자로 간주되지 않는다. 왜냐하면 그것들은 다음과 같이 고려될 수 있기 때문이다.

p = (x + ii)(x - ii).

마찬가지로 그들의 제곱은 다음과 같이 정수 인자화와는 다른 방법으로 인수될 수 있다.

p2 = (x + y)(2x - yi)2 = (x2 - y2 + 2xyi)(x2 - y - 2xyi2)

이러한 요인에서 인자의 실제와 상상의 부분은 주어진 하이포테노스가 있는 오른쪽 삼각형의 다리 길이이다.

2차 잔류물

2차상호주의 법칙에 따르면 p와 q가 구별되는 홀수인 경우 p와 q 중 적어도 하나가 피타고라스인 경우 p는 2차적 잔류물 modd q이고, 반대로 p와 q가 2차적 잔류물 modd인 경우 p는 2차적 잔류물 modd q이고, q가 2차적 잔류 modd가 아닌 경우에만 p이다.[7]

피타고라스 원시 p를 갖는 유한장 Z/p에서 다항식 x2 = -1은 두 가지 해법이 있다.이것은 -1이 2차적 잔류물 mod p라고 말함으로써 표현될 수 있다.대조적으로, 이 방정식은 p가 홀수 프라임이지만 피타고라스가 아닌 유한장 Z/p에서는 해법이 없다.[8]

13개의 꼭지점이 있는 창백한 그래프

모든 피타고라스의 p p p에 대해, p 정점이 있는 Paley 그래프가 존재하며, 그 차이가 2차적 잔류물인 경우에만 그래프에 두 개의 숫자가 인접해 있다.이 정의는 -1이 2차적 잔류물이라는 피타고라스의 특성 때문에, 차이를 계산하기 위해 두 숫자를 뺀 순서에 관계없이 동일한 인접 관계를 생성한다.[9]

참조

  1. ^ Rubinstein, Michael; Sarnak, Peter (1994), "Chebyshev's bias", Experimental Mathematics, 3 (3): 173–197, doi:10.1080/10586458.1994.10504289.
  2. ^ Granville, Andrew; Martin, Greg (January 2006). "Prime Number Races" (PDF). American Mathematical Monthly. 113 (1): 1--33. doi:10.2307/27641834. JSTOR 27641834.
  3. ^ Stewart, Ian (2008), Why Beauty is Truth: A History of Symmetry, Basic Books, p. 264, ISBN 9780465082377.
  4. ^ LeVeque, William Judson (1996), Fundamentals of Number Theory, Dover, p. 183, ISBN 9780486689067.
  5. ^ Stillwell, John (2003), Elements of Number Theory, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, p. 112, ISBN 9780387955872.
  6. ^ Mazur, Barry (2010), "Algebraic numbers [IV.I]", in Gowers, Timothy (ed.), The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, pp. 315–332, ISBN 9781400830398 특히 섹션 9의 "이항 2차 형태별 소수점 표시", 페이지 325를 참조한다.
  7. ^ LeVeque(1996), 페이지 103.
  8. ^ LeVeque(1996), 페이지 100.
  9. ^ Chung, Fan R. K. (1997), Spectral Graph Theory, CBMS Regional Conference Series, vol. 92, American Mathematical Society, pp. 97–98, ISBN 9780821889367.

외부 링크