울람 수

Ulam number

수학에서 울람 수는 1964년에 이것을 도입한 스타니슬라프 울람의 이름을 따서 고안된 정수 순서로 구성된다.[1]표준 Ulam 시퀀스(1, 2)-Ulam2 시퀀스)는 U1 = 1과 U = 2로 시작한다.그 다음 n > 2의 경우 U는n 정확히 한 가지 방법으로 이전의 두 뚜렷한 두 용어의 합이고 이전의 모든 용어보다 큰 최소 정수로 정의된다.

예

정의의 결과 3은 울람 번호(1 + 2)이고, 4는 울람 번호(1 + 3)이다.(여기서 2 + 2는 앞의 용어가 구별되어야 하기 때문에 4의 두 번째 표현은 아니다.)5 = 1 + 4 = 2 + 3이기 때문에 정수 5는 Ulam 숫자가 아니다.처음 몇 가지 조건은

1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 18, 26, 28, 36, 38, 47, 48, 53, 57, 62, 69, 72, 77, 82, 87, 97, 99, 102, 106, 114, 126, 131, 138, 145, 148, 155, 175, 177, 180, 182, 189, 197, 206, 209, 219, 221, 236, 238, 241, 243, 253, 258, 260, 273, 282, ... (sequence A002858 in the OEIS).

울람 수는 무한히 많다.왜냐하면, 시퀀스의 처음 n개의 숫자가 이미 결정된 후에는 항상 한 개의 요소만큼 시퀀스를 확장할 수 있기 때문이다.Un−1 + U는n 첫 번째 n개의 숫자 중 두 개의 합으로 고유하게 표현되며, 이와 같이 고유하게 표현되는 다른 작은 숫자도 있을 수 있으므로, 다음 요소는 이러한 고유하게 표현 가능한 숫자 중에서 가장 작은 숫자로 선택할 수 있다.[2]

울람은 이 숫자들이 밀도가 0이라고 추측했다고 하는데,[3] 그 밀도는 약 0.07398인 것 같다.[4]

특성.

1 + 2 = 3을 제외하고 후속 Ulam 번호는 이전의 연속 Ulam 번호 2개의 합이 될 수 없다.

증명: n > 2의 경우, Un−1 + Un = U가n+1 한 가지 방법으로만 필요한 합이라고 가정하면, Un + U는n−2 한 가지 방법으로만 합을 생산하고 U와n U 사이에n+1 해당한다고 가정한다. 이는n+1 U가 다음으로 작은 울람수라는 조건과 모순된다.[5]

n > 2의 경우 정수면으로서의 3개의 연속적인 울람수(Un−1, Un, Un+1)가 삼각형을 형성한다.[6]

증명: 이전 재산은 n > 2에 대해n−2 U + Unn > U. 결과적으로n + 1n−1 U > U 그리고n+1 Un−1 < U < U > 그리고nn+1 U < U > 삼각불평등이 충족된다고 명시하고 있다.

울람 숫자의 순서는 완전한 순서가 된다.

증명: 정의에n 따르면j U = Uk + U 여기서 j < k < n은 정확히 한 가지 방법으로 두 개의 뚜렷한 작은 울람 숫자의 합인 가장 작은 정수다.이는 n > 3을 가진 모든 U에n 대해 U가j 가질 수 있는 가장 큰 가치는 U이고n−3 U가k 가질 수 있는 가장 큰 가치는 U라는n−1 것을 의미한다.[5][7]
따라서 Un ≤ Un−1 + Un−3 < 2U와n−1 U1 = 1, U2 = 2, U = 3이다3.이는 울람 수가 완전한 순서가 되기에 충분한 조건이다.

모든 정수 n > 1에 대해 n ≤ Uj < 2n과 같은 Ulam 숫자 U가j 항상 하나 이상 있다.

증명: 무한히 많은 울람 숫자가 있고 1시에 시작한다는 것이 증명되었다.따라서 모든 정수 n > 1에 대해j−1 U 3 nj ≤ Uj. 위의 n > 3, U ≤ Uj−1 + Uj−3 < 2U에j−1 대한 증명으로부터 j를 찾을 수 있다.따라서j n ≤ U < 2Uj−1 ≤ 2n.또한 n = 2와 3의 경우 그 속성은 계산에 의해 참이다.

5개의 연속적인 양의 정수 {i, i + 1, ..., i + 4, i > 4의 순서에서 최대 2개의 울람 수가 있을 수 있다.[7]

증명: {i, i + 1,..., i + 4} 시퀀스에 첫 번째 값 i = Uj an Ulam 번호가 있다고 가정하면, i + 1이 다음 Ulam 번호 U일j+1 가능성이 있다. 자, i + 2를 고려해 보십시오, 이것은 이전 두 기간의 고유한 합이 아니기 때문에 다음 Ulam 번호 U가j+2 될 수 없다.i + 2 = Uj+1 + U = Uj + U12. i + 3 및 i + 4에 대해 유사한 인수가 존재한다.

불평등

울람수는 사이비 난수이고 너무 불규칙해서 경계를 좁히지 못한다.그럼에도 불구하고 위의 속성, 즉 최악의 경우 다음 Ulam 번호n+1 U ≤ U + Un−2 그리고n 최대 2개의 연속적인 5개의 양의 정수는 Ulam 번호라고 말할 수 있다.

.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-out.n을을 위해;0,[7].sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}5/2n−7≤ 김정은 ≤ Nn+1다.

여기서 N은n 나라야나의 젖소 순서에 있는 숫자다: 1,1,2,3,4,6,9,13,19,...Nn0 = N +N으로n−1 시작하는n−3 반복 관계.

숨겨진 구조

그것은 첫 10만 울람 숫자 cos⁡(2.5714474995 n)<0{\displaystyle \cos{(2.5714474995a_{n})}&lt을 충족하는;0}(이 지금 최초로 109{\displaystyle 10^{9}에}확인되었다 4대 원소({\displaystyle \left\{2,3,47,69\right\}}을 제외하고 observed[8] 왔다. 울람 numbers). 이러한 유형의 불평등은 어떤 형태의 주기성을 나타내는 시퀀스에 대해 대개 사실이지만 울람 시퀀스는 주기적인 것 같지 않고 현상도 이해하지 못한다.Ulam 시퀀스의 빠른 계산을 위해 이용할 수 있다(#외부 링크 참조).

일반화

다른 시작 값(u, v)을 선택하여 (u, v)-Ulam 숫자로 일반화할 수 있다.(u, v)-Ulam 번호의 순서는 시퀀스에서 연속된 번호 간의 차이의 순서가 결국 주기적인 경우 정규적이다.v가 3보다 큰 홀수인 경우, (2, v)-Ulam 번호는 정규이다.v가 1 (mod 4)과 최소 5에 일치할 때 (4, v)-Ulam 번호는 다시 정규 번호가 된다.그러나 울람 숫자 자체는 규칙적으로 보이지 않는다.[9]

수열의 초기 2s 조건 후에, 수열의 각 숫자가 이전의 두 숫자의 합으로 정확히 표현되는 경우, 숫자 순서는 s-additive라고 한다.따라서 Ulam 번호와 (u, v)-Ulam 번호는 1-addition이다.[10]

고유하게 나타낼 수 있는 가장 작은 숫자를 추가하는 대신, 이전의 두 숫자의 합으로 고유한 표현을 가진 가장 큰 숫자를 추가하여 시퀀스를 구성한다면, 결과 시퀀스는 피보나치 숫자의 시퀀스다.[11]

메모들

  1. ^ 울람(1964a, 1964b).
  2. ^ 리카만(1973)은 모순에 의한 증거로 표현되는 유사한 주장을 한다.그는 만약 울람 숫자가 아주 많다면, 마지막 두 숫자의 합도 울람 숫자 즉 모순이 될 것이라고 말한다.그러나 이 경우 마지막 두 숫자의 합은 두 개의 울람 숫자의 합으로 독특한 표현을 하게 되겠지만, 반드시 독특한 표현을 가진 가장 작은 숫자가 되지는 않을 것이다.
  3. ^ 울람이 이런 추측을 했다는 진술은 OEIS OEIS: A002858에 있지만 울람은 울람(1964a)에서는 이 수열의 밀도를 다루지 않고, 울람(1964b)에서는 값을 추측하지 않고 밀도를 결정하는 문제를 제기한다.리카만(1973)은 이 염기서열의 밀도에 대한 울람(1964b)의 질문을 다시 한 번 반복하며, 그것에 대한 값을 추측하지 않는다.
  4. ^ OEIS OEIS: A002858
  5. ^ a b 리카만 (1973)
  6. ^ OEIS OEIS: A330909
  7. ^ a b c Philip Gibbs and Judson McCranie (2017). "The Ulam Numbers up to One Trillion". p. 1(Introduction).
  8. ^ 슈타이너버거(2015년)
  9. ^ Queneau(1972)는 먼저 u = 2와 v = 7과 v = 9에 대한 시퀀스의 정규성을 관찰했다.핀치(1992)는 이 결과가 3보다 큰 모든 홀수 v로 확장되는 것을 추측했고, 이 추측은 슈멜&슈피겔(1994)에 의해 증명되었다.(4, v)-Ulam 번호의 규칙성은 Cassaigne & Finch(1995)에 의해 증명되었다.
  10. ^ 퀴노(1972년).
  11. ^ 핀치(1992년).

참조


외부 링크