울람 나선형

울람 나선형 또는 프라임 나선형은 1963년 수학자 스타니스와프 울람이 고안해 잠시 후 사이언티픽 아메리칸에 있는 마틴 가드너의 수학 게임 컬럼에서 대중화된 소수집합을 그래픽으로 표현한 것이다.^[1] 정수를 정사각형 나선형으로 쓰고 특히 소수만을 표시하여 구성한다.

울람과 가드너는 대각선, 수평선, 수직선이 많은 나선형에서 두드러진 외관을 강조했다. 울람과 가드너 모두 나선형의 선은 2차 다항식에 해당하고, 오일러의 원생성 다항식² x - x + 41과 같은 특정 다항식은 소수 정수의 높은 밀도를 생성하는 것으로 여겨지기 때문에, 그러한 두드러진 선의 존재는 예기치 않은 일이 아니라고 언급했다.^[2][3] 그럼에도 불구하고 울람 나선은 란도의 문제 등 수론에서 미해결된 주요 문제들과 연결되어 있다. 특히 그 점증적 밀도가 어떻게 되어야 하는지에 대해서는 잘 뒷받침된 추측이 있지만, 그 점증적 다항식이 그것들의 높은 점증적 밀도를 갖는 것은 훨씬 더 적은, 무한히 많은 점증적 다항식을 생성하는 것으로 입증된 적은 없었다.

울람이 발견되기 30여년 전인 1932년, 암수학자 로렌스 클로버는 유사한 소수집중도를 보이는 수직선과 대각선을 포함하는 삼각형 비구균 배열을 건설했다. 울람과 마찬가지로 클라우버는 오일러와 같은 원시 발생 다항식과의 연관성에 주목했다.^[4]

건설

울람 나선형(Ulam spiral)은 정사각형 격자에 나선형 배열로 양의 정수를 써서 만든다.

그 다음 소수점을 표시한다.

그림에서 프라임은 특정 대각선을 따라 집중되는 것처럼 보인다. 위에 나타낸 200×200 Ulam spiral에서는 대각선이 선명하게 보여 패턴이 계속된다는 것을 확인시켜 준다. 프라임 밀도가 높은 수평선과 수직선도 두드러지지는 않지만 뚜렷이 드러난다. 숫자 완화곡선은 숫자 1을 중심으로 시작하는 경우가 가장 많으나 어떤 숫자로도 시작할 수 있으며 대각선, 수평선, 수직선을 따라 같은 농도의 소수점이 관측된다. 중앙에서 41로 시작하면 40프라임의 끊기지 않는 끈이 들어 있는 대각선이 나온다(원점 남서쪽에서 1523에서 시작, 원점에서 41까지 감소, 원점에서 북동쪽으로 1601까지 증가). 그 종류는 가장 긴 예다.^[5]

역사

가드너에 따르면 울람은 1963년 과학 모임에서 길고 매우 지루한 종이 발표 도중 낙서를 하다가 나선형을 발견했다.^[1] 이 손 계산은 "몇백 점"에 달했다. 얼마 후, Ulam은 Myron Stein, Mark Wells와 함께 로스 알라모스 과학 연구소의 MANIANIQ II를 사용하여 계산을 약 10만 점까지 연장했다. 이 단체는 또한 일부 소수계뿐만 아니라 일부 소수계층을 따라 최대 1,000만 개의 소수점 사이의 소수점 밀도를 계산했다. 최대 65,000 포인트까지 나선형의 영상이 '기계에 부착된 스코프'에 표시돼 촬영됐다.^[6] 울람 나선형은 1964년 3월 사이언티픽 아메리칸에 실린 마틴 가드너의 수학 게임 칼럼에 설명되어 있으며, 그 이슈의 앞 표지에 실렸다. 이 칼럼에는 스타인, 울람, 웰스의 사진 일부가 재현됐다.

가드너는 사이언티픽 아메리칸 칼럼 부록에서 클라우버의 초기 논문을 언급했다.^[7][8] 클라우버는 정수는 1을 정점에 두고 2~4를 포함하는 2행, 5행 9행 등 3각형 순서로 배열돼 있다. 프리임이 표시되면 특정 수직선과 대각선에는 농도가 있는 것으로 확인되며, 이 가운데 프리타임의 농도가 높은 이른바 오일러 시퀀스가 발견된다."^[4]

설명

숫자 완화곡선의 대각선, 수평선, 수직선은 형태의 다항식에 해당한다.

${\displaystyle f(n)=4n^{2}+bn+c}$

여기서 b와 c는 정수 상수다. b가 짝수일 때 선은 대각선이고, c의 값에 따라 모든 숫자가 홀수이거나 모두 짝수다. 그러므로 울람 나선형의 대각선 교대각선 안에 2번 이외의 모든 프리마임이 놓여 있다는 것은 놀랄 일이 아니다. Some polynomials, such as ${\displaystyle 4n^{2}+8n+3}$, while producing only odd values, factorize over the integers ${\displaystyle (4n^{2}+8n+3=(2n+1)(2n+3))}$ and are therefore never prime except possibly when one of the factors equals 1. 그러한 예는 소수 혹은 거의 그렇게 없는 대각선에 해당한다.

나머지 일부 홀수 대각선의 농도가 다른 대각선보다 높을 수 있는 이유에 대한 통찰력을 얻으려면 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle \mathrm{6n}}$+ 1 ${\displaystyle 4n^{2}$ + $6n+1}$및$$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle \mathrm{6n}}$+ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle 4n^{2}$ + $6n+5}$를 고려하십시오$.$ n이 연속된 값 0, 1, 2, ....을 취하기 때문에 3으로 나누면 남은 계산기 이러한 다항식의 첫 번째의 경우 잔존의 순서는 1, 2, 1, 2, 2, ...이고, 두 번째의 경우는 2, 0, 2, 0, 0, 0, 0, .... 이는 두 번째 다항식이 취한 값의 순서에서 세 개 중 두 개는 3으로 나누어지며, 따라서 확실히 소수점 이하인 반면 첫 번째 다항식이 취한 값의 순서는 3으로 나누어지지 않는다는 것을 의미한다. 따라서 첫 번째 다항식이 두 번째 다항식보다 높은 소수 밀도의 값을 산출할 가능성이 있어 보인다. 적어도 이러한 관찰은 해당 대각선이 소수점만큼 밀도가 높을 것이라고 믿을 만한 근거가 거의 없다. 물론 3이 아닌 다른 소수만큼의 차이를 고려해야 한다. Examining divisibility by 5 as well, remainders upon division by 15 repeat with pattern 1, 11, 14, 10, 14, 11, 1, 14, 5, 4, 11, 11, 4, 5, 14 for the first polynomial, and with pattern 5, 0, 3, 14, 3, 0, 5, 3, 9, 8, 0, 0, 8, 9, 3 for the second, implying that only three out of 15 values in the second sequence are potentially prime (being divisible 3도 5도), 1차 순서의 15개 값 중 12개가 잠재적으로 원시인 반면(단 3개만 5로 분할되고 3으로 분할되는 것은 없기 때문이다).

2차 순서에서 소수점에 대해 엄격하게 입증된 결과는 드물지만, 위와 같은 고려사항들은 그러한 순서에서 소수점 이하 밀도에 대해 그럴듯한 추측을 낳게 되는데, 이는 다음 절에서 설명된다.

하디와 리틀우드의 추측 F

1923년 골드바흐 추측에 관한 논문에서 하디와 리틀우드는 일련의 추측을 언급했는데, 그 중 하나가 사실이라면 울람 나선형의 두드러진 특징 중 일부를 설명할 것이다. 하디와 리틀우드가 '컨jecture F'라고 부른 이 추측이 베이트맨-우드의 특별한 경우다.Horn 추측과 형태의 최고급 제품의 점근 공식을 주장하고 ax2+bx+C. 가오리 등장하는 중앙 지역의 울람 나선 제작 각도 45도의 수평과 수직 일치하기 위해 수의 형태 4x2+bx+c와 b는 안 된다거나, 심지어 수평과 수직을 일치하기 위해 수의 같은 형태에 b의.d 추측 F는 그러한 광선을 따라 프라임의 밀도를 추정하는데 사용될 수 있는 공식을 제공한다. 그것은 다른 광선을 따라 밀도에 상당한 변동이 있을 것임을 암시한다. 특히 밀도는 다항식 b² - 16c의 판별에 매우 민감하다.

추측 F는 a, b, c가 정수이고 a가 양수인 형태² 도끼 + bx + c의 다항식을 다룬다. 계수가 1보다 큰 공통 인자를 포함하거나 판별 Δ = b² - 4ac가 완전한 제곱인 경우 다항식 인자는 0, 1, 2 및 ...의 값을 취하므로 복합적인 숫자를 생성한다(하나의 인자가 1인 x 값일 경우는 제외). 더욱이, + b와 c가 둘 다 짝수인 경우, 다항식은 짝수 값만 생성하므로, 2 값을 제외하고 복합적이다. 하디와 리틀우드는 이러한 상황과는 별개로, x가 0, 1, 2, ...의 값을 취하기 때문에 도끼² + bx + c가 종종 프라임 값을 무한정 취한다고 주장한다. 이 진술은 분야코프스키에 대한 이전의 추측의 특별한 경우로서 여전히 열려 있다. Hardy와 Littlewood는 또한 점증적으로 형식 도끼² + bx + c의 소수점 P(n)가 n보다 작다고 주장한다.

${\displaystyle P(n)\sim A{{\frac {1}{\sqrt{a}{\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}}}}$

여기서 A는 a, b, c에 의존하지만 n에는 의존하지 않는다. 소수 정리에 의하면, A 집합이 1과 동일한 이 공식은 형태² 도끼 + bx + c의 숫자 집합과 동일한 밀도를 갖는 임의의 숫자 집합에서 기대치 n보다 적은 수의 점증적 수이다. 그러나 A가 1보다 크거나 작은 값을 취할 수 있기 때문에, 추측에 따르면, 일부 다항식들은 특히 p가 풍부할 것이다.라임, 그리고 다른 특히 가난한 사람들. 특이하게 풍부한 다항식은 4x² - 2x + 41이며 울암 나선형에서 가시선을 형성한다. 이 다항식의 상수 A는 대략 6.6으로 추측에 따르면, 다항식이 생성하는 숫자는 비교 가능한 크기의 무작위 숫자보다 거의 7배 더 프라임일 가능성이 높다는 것을 의미한다. 이 특정 다항식은 x를 2x로 대체하거나 동등하게 x를 짝수로 제한하여 오일러의 주요 생성 다항식 x² - x + 41과 관련이 있다. 상수 A는 모든 소수에서 실행되는 제품에 의해 주어진다.

${\displaystyle A}$= ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{}\frac{}{}}$ -${\displaystyle \frac{\Omega }{}}$( p${\displaystyle \frac{}{}}$) p${\displaystyle \frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ - 1 $displaystyle A=\prod \limits _{p}{p}{\frac$ {$p-\omega($p)}{$p-1$

여기서 $\Omega {\displaystyle (p}$) ${\displaystyle \omega(p)}$은 2차 다항식 모듈로 p의 0 수입니다. 따라서 값 0, 1 또는 2 중 하나를 취한다. Hardy와 Littlewood는 다음과 같이 세 가지 요소로 제품을 분해한다.

${\displaystyle A=\varepsilon \prod _{p}{\biggl (}{\frac {p}{p-1}}{\biggr )}\,\prod _{\varpi }{\biggl (}1-{\frac {1}{\varpi -1}}{\Bigl (}{\frac {\Delta }{\varpi }}{\Bigr )}{\biggr )}}$.

여기서 소수점 2에 해당하는 인자 ε은 + b가 홀수일 경우 1이고, + b가 짝수일 경우 2이다. 첫 번째 제품 지수 p는 a와 b를 모두 나눈 미세하게 많은 홀수 소수 위에 걸쳐 있다. 이러한 primes $\Omega {\displaystyle (p}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \omega(p)=0}$의 경우 p는 c를 분할할 수 없기 때문이다$$. 두 번째 제품 지수 $\varpi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varpi }$은(는) a를 나누지 않는 무한히 많은 홀수 프라임 위에 걸쳐 있다$$. 이러한 primes $\Omega {\displaystyle (p}$) ${\displaystyle \omega(p)}$은 판별이 0인지, 0이 아닌 사각형이 아닌 모듈로 p인지에 따라 1, 2 또는 0과 같다$$. 이는 범례 기호$($ ${\displaystyle \frac{\varpi }{}}$ ) $displaystyle \left({\frac$ {\$Delta }{\varpi$ }}\$오른쪽)$를 사용하여$$설명된다$.$ prime p가 a를 나눌 때 b가 아닌 하나의 뿌리가 있다. 따라서 그러한 프리타임은 제품에 기여하지 않는다.

현재 알려진 가장 높은 값인 A ≈ 11.3의 2차 다항식이 제이콥슨과 윌리엄스에 의해 발견되었다.^[9][10]

변형

클라우버의 1932년 논문은 n열이 숫자(n ²- 1) + 1 ~ n을² 포함하는 삼각형을 설명한다. 울람 나선형에서와 같이 2차 다항식은 직선으로 놓여 있는 숫자를 생성한다. 수직선은 k² - k + M 형식의 숫자에 해당하며, 소수점 밀도가 높은 수직선과 대각선이 그림에 뚜렷이 나타나 있다.

로버트 색스는 1994년에 울람 나선형의 변형을 고안했다. 색스 나선형에서는 음이 아닌 정수를 울람이 사용하는 사각 나선형이 아닌 아르키메데스 나선형 위에 표시하고, 각 전체 회전마다 하나의 완벽한 사각형이 발생하도록 간격을 둔다. (울람 나선형에서는 각 회전마다 두 개의 정사각형이 발생한다.) 오일러의 주요 생성 다항식인² x - x + 41은 이제 x가 0, 1, 2, ... 값을 취함에 따라 단일 곡선으로 나타난다. 이 곡선은 무증상적으로 그림의 왼쪽 절반에 수평선에 접근한다.(울람 나선형에서 오일러의 다항식은 두 개의 대각선을 형성하는데, 하나는 그림의 위쪽 절반에, 하나는 순서의 x의 짝수 값에 해당하고 다른 하나는 순서의 x의 홀수 값에 해당하는 그림의 아래쪽 절반에 해당한다.)

Ulam Spiral(울람 나선형)에 합성수(복합수)가 포함되는 경우 추가 구조를 볼 수 있다. 숫자 1은 그 자체로 오직 하나의 요인만을 가지고 있다; 각각의 소수들은 그 자체와 1이라는 두 개의 요인을 가지고 있다; 복합적인 숫자는 최소한 세 개의 다른 요인에 의해 나누어진다. 인자의 수를 나타내기 위해 정수를 나타내는 점의 크기를 사용하고 소수인 빨간색과 복합인자를 파란색으로 색칠하면 표시된 그림이 만들어진다.

평면의 다른 기울기를 따르는 나선은 소수(예: 육각 나선형)가 풍부한 선을 생성하기도 한다.

• 

  오일러의 다항식 x² - x + 41에 의해 생성된 소수인 클라우버 삼각형이 강조 표시되었다.

• 

  자루 나선형

• 

  150×150 크기의 울람 나선형으로 소수 및 복합수를 모두 나타낸다.

• 

  6각형 숫자 완화곡선(녹색으로 소수점 표시)과 더 진한 파란색 색조로 더 높은 합성수 표시.

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  정규 삼각형에서 7503자리의 숫자 완화곡선.

참고 항목

• 패턴인식
• 프라임 k-투플

참조

참고 문헌 목록

외부 링크

위키미디어 커먼즈에는 울람 나선형 관련 미디어가 있다.