소수 정리

수학에서 prime number organization(PNT)은 양의 정수들 사이에서 prime number의 점근 분포를 설명한다. 프리임이 커질수록 덜 흔해진다는 직관적인 생각을 이런 일이 발생하는 비율을 정밀하게 정량화함으로써 공식화한다. 이 정리는 1896년 베른하르트 리만(특히 리만 제타 함수)에 의해 소개된 사상을 이용하여 자크 하다마르와 샤를 장 드 라 바예 푸신(Charles Jean de la Vallé Pousin)에 의해 독자적으로 증명되었다.

첫 유통 발견된다 π(N)부터.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output .sf.N의 π(N)은 prime-counting 기능( 최고급 제품의 수보 또는 N이하)과 log(N)Rac.den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-onlyᆮN(N)은 자연 로그의 즉, 충분히 큰 N의 경우 N보다 크지 않은 랜덤 정수가 prime일 확률은 1 / log(N)에 매우 가깝다. 따라서 최대 2n자리의 무작위 정수(충분히 큰 n의 경우)는 최대 n자리의 무작위 정수보다 소수일 가능성이 약 절반이다. 예를 들어, 최대 1000자리의 양의 정수 중에서 2300년에 약 1자리는 prime (10¹⁰⁰⁰) ≈ 2302.6인 반면, 최대 2000자리의 양의 정수 중 4600년에 1자리는 prime (10²⁰⁰⁰) 460 4605.2이다. 즉, 첫 번째 N 정수의 연속된 소수 사이의 평균 차이는 대략 log(N)이다.^[1]

성명서

π(x)를 x보다 작거나 같은 소수(실수 x)로 정의한 프라임 카운팅 함수로 한다. 예를 들어, 10보다 작거나 같은 4개의 프라임 숫자(2, 3, 5, 7)가 있기 때문에 π(10) = 4이다. 그러면 소수 정리에서는 x/log x가 )(x)에 대한 좋은 근사치(여기서 로그는 자연 로그를 의미함)라고 명시하고, x/log x의 두 함수 π(x)와 x/log x의 x가 경계 없이 증가함에 따른 몫의 한계는 1:

${\displaystyle \lim_{x\to \inflt }{\frac {\;\pi(x)\\};}{\frac {x}{\log(x)}\오른쪽]\;}}=1,}$

소수 분포의 점근법칙으로 알려져 있다. 점근법 표기법을 사용하여 이 결과를 다음과 같이 재작성할 수 있다.

${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\log x}}.}$

이 표기법(및 정리법)은 x가 구속 없이 증가함에 따라 두 함수의 차이의 한계에 대해 아무 말도 하지 않는다. 대신 이 정리는 x/log x 근사치 bound(x)를 이 근사치의 상대적 오차는 x가 경계 없이 증가함에 따라 0에 근접한다는 의미에서 π(x)라고 기술하고 있다.

소수 정리는 n번째 소수 p가_n 만족한다는 문구와 동등하다.

${\displaystyle p_{n}\sim n\log(n),}$

이 근사치의 상대적 오차는 n이 경계 없이 증가함에 따라 0에 근접한다는 점증적 표기법 의미도 있다. 예를 들어 2×10번째¹⁷ 프라임 번호는 8512677386048191063이고,^[2] (2×10¹⁷)log(2×10¹⁷)는 7967418752291744388로 반올림하여 상대 오차는 약 6.4%이다.

반면에 다음과 같은 점증적 관계는 논리적으로 동등하다^[3].

${\displaystyle {\pi1}\lim_{x\오른쪽 화살표 \inflt }{\frac {\pi (x)\log x x}{x}=&1,\\lim_{x\frac {\pi (x)\log \pi}{x}}=&1.\end{정렬}}}$

아래에 약술한 바와 같이 프라임 수 정리도 이와 동등하다.

${\displaystyle \lim _{x\to \flac {\vartheta (x)}{x}=\lim_{x\to \flat }{\fract {\property (x)}{x}=1,}$

여기서 ϑ과 ψ은 각각 제1의 체비셰프 기능과 제2의 체비셰프 기능이다.

${\displaystyle \lim _{x\to \inflt }{\frac {M(x)}{x}=0,}$^[4]

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 $M{\displaystyle }$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{}}$ n${\displaystyle \underset{}{\mu }}$ x ${\displaystyle \mu }$( n${\displaystyle }$) ${\displaystyle M(x)=\sum _{n\leq$ x$}\mu (n)}$는 메르텐스 함수다.

소수점 무증법칙의 증거의 역사

Anton Felkel과 Jurij Vega의 표를 바탕으로, Adrien-Marie Legendre는 1797년 또는 1798년에 A와 B가 불특정 상수인 함수 a/(A log a + B)에 의해 π(a)가 근사하다고 추측했다. 그 후 그의 수 이론에 관한 책 제2판(1808)에서 그는 A = 1과 B = -1.08366으로 보다 정밀한 추측을 했다. 칼 프리드리히 가우스는 1849년 자신의 기억에 의하면 15세나 16세에 "1792년 또는 1793년"에 같은 질문을 고려했다.^[5] 1838년 피터 구스타프 르주네 디리클레는 자신의 근사함수인 로그 적분 리(x)를 고안해냈다. 비록 Dirichlet의 근사치가 인용문 대신 차이를 고려한다면 상당히 더 낫다는 것이 밝혀졌지만, Legendre와 Dirichlet의 공식은 위에 언급된 asy(x)와 x/log(x)의 동일한 점근성 추정을 암시한다.

1848년과 1850년의 두 논문에서 러시아 수학자 파프누티 체비셰프는 소수 분포의 점증법칙을 증명하려고 시도했다. 그의 작품은 1737년경부터 레온하르트 오일러의 작품에서처럼 's'라는 주장의 실제 가치에 제타함수 ζ(s)를 사용한 것으로 유명하다. 체비셰프의 논문은 리만의 1859년의 유명한 회고록보다 앞서며, 그는 약간 약한 형태의 점증법, 즉 x로서의 한계가 ((x)/(x / log(x)의 무한대로 간다면 반드시 1과 동등하다는 것을 입증하는 데 성공했다.^[6] 그는 조건 없이 사랑은 이 비율과 아래에 두번의 명시적으로 주어진 상수로 1근처에 다스릴 수 있는 모든 충분히 큰 x.[7]의 체비 셰프의 신문은 총리 번호 정리 증명하지 않았고, π())에 대한 그의 추정에 충분히 그를 베르트랑의 소수 n과 2사이의 공리를 증명할 강한 것을 증명할 수 있었다.n 모든 정수 n ≥ 2에 대해.

프라임 수 분포에 관한 중요한 논문은 리만의 1859년 회고록 "주어진 크기보다 적은 프라임 수"로, 그가 이 주제에 대해 쓴 유일한 논문이다. 리만은 주로 소수점 분포가 복합 변수의 분석적으로 확장된 리만 제타 함수의 0과 밀접하게 연관되어 있다는 새로운 아이디어를 주제에 도입했다. 특히 본 논문에서 본 함수 π(x)의 연구에 복합적인 분석 방법을 적용하려는 발상이 발현된 것이다. 리만의 사상을 확장해 보면, 프라임 수 분포의 점증법칙에 대한 두 가지 증거가 자크 하다마드와 샤를 장 드 라 발레 푸신에게 독자적으로 발견되어 같은 해(1896년)에 나타났다. 두 증명 모두 복잡한 분석에서 방법을 사용했으며, 이는 형식 s = 1 + t > 0인 변수 s의 모든 복합 값에 대해 리만 제타 함수 ζ이 0이 아니라는 것을 입증하는 주요 단계로 확립했다.^[8]

20세기 동안 하다마드와 데 라 바예 푸신의 정리도 프라임 수 정리(Prime Number Organization)로 알려지게 되었다. 아틀 셀베르크와 폴 에르드제스(1949년)의 "초기" 증거를 포함하여 그것에 대한 여러 가지 다른 증거들이 발견되었다. Hadamard's와 de la Vallée Poussin의 원본 증명들은 길고 정교하다; 후에 증명들은 Tauberian의 이론들을 사용함으로써 다양한 단순화를 도입했지만 여전히 소화하기 어려웠다. 1980년 미국의 수학자 도널드 뉴먼에 의해 짧은 증거가 발견되었다.^[9][10] 뉴먼의 증거는 비록 그것이 복잡한 분석으로부터 카우치의 적분 정리를 사용한다는 점에서 비원소적인 것이지만, 거의 틀림없이 정리의 가장 단순하게 알려진 증거일 것이다.

교정 스케치

여기 테렌스 타오의 강의 중 하나에 언급된 증거의 스케치가 있다.^[11] PNT의 대부분의 증명처럼, 그것은 덜 직관적이지만 더 나은 행동, 프라임 카운팅 기능 측면에서 문제를 개혁하는 것으로 시작한다. 그 아이디어는 더 부드러운 점증적 행동이 있는 함수에 도달하기 위해 체중을 가진 소수(또는 주요 권력 집합과 같은 관련 집합)를 세는 것이다. 그러한 일반화된 카운팅 함수는 체비셰프 함수 ψ(x)로 정의되어 있다.

$\displaystyle \does=\!\!\!\sum _{\stackrel {p^{k}\leq x,}{p{\text{는 prime}}\!\!\!\log p\;.}$

이것은 때때로 다음과 같이 쓰여진다.

${\displaystyle \psi(x)=\sum _{n\leq x}\Lambda(n)\;,}$

여기서 λ(n)은 폰 망골트 함수, 즉

${\displaystyle \Lambda (n)={\begin{case}\log p&{\text{{}{}}{{n=p^{k}{\text{{}}일 경우 일부 prime }p{\p} 및 정수 }k\geq 1,\0&{\text{notherwise.}}}\end{case}}$

이제 PNT가 라는 주장과 동등하다는 것을 비교적 쉽게 확인할 수 있게 되었다.

${\displaystyle \lim _{x\to \inflt }{\frac {\frac(x)}{x}=1\;.}$

실제로 이것은 쉬운 추정치에서 나온 것이다.

${\displaystyle \cHB(x)=\sum _{p\leq x}\log p\left\loor \\frac {\log x}{\log p}\right\loor \leq \sum _{p\leq x}\log x=\pi(x)\log x}$

그리고 (큰 O 표기법 사용) 모든 > > 0,

$\displaystyle \cHB(x)\geq \!\!\!\sum _{x^{1-\varepsilon }\leq p\leq x}\!\!\\log p\geq \\\!\!\sum _{x^{1-\varepsilon }\leq p\leq x}\!\!\!(1-\barepsilon )\log x=(1-\barepsilon )\왼쪽(\pi(x)++O\left(x^{1-\varepsilon }\오른쪽)\log x\;}$

다음 단계는 ψ(x)에 대한 유용한 표현을 찾는 것이다. ζ을 리만 제타 함수가 되게 하라. ζ(s)는 폰 망골트 함수 n(n)과 관련되며, 따라서 ψ(x)와 관련됨을 관계를 통해 알 수 있다.

${\displaystyle -{\frac {\zeta 's}}{\zeta(s)}}}}}}}\sum _{n=1}^{n=1}^{n};}$

Mellin 변환과 Perron의 공식을 사용하여 이 방정식과 제타 함수의 관련 특성에 대한 섬세한 분석은 비정수자에 대한 방정식 x를 보여준다.

${\displaystyle \cHB(x)=x\;-\log(2\pi )\\-\sum \cHB_{\rho :\,\jeta(\rho )=0}{\x^{\rho }}}}}$

합계가 제타 함수의 모든 0(수치 및 비수치)을 초과하는 경우 holds. 이 두드러진 공식은 이른바 수 이론의 명시적 공식 중 하나이며, 이미 우리가 증명하고자 하는 결과를 암시하고 있는데, 그 이유는 x(ψ(x)의 정확한 점증적 질서라고 주장되는 용어)가 오른쪽에 나타나고 그 뒤에 (명확히) 점증적 항이 뒤따르기 때문이다.

증거의 다음 단계는 제타 함수의 0에 대한 연구를 포함한다. 사소한 0 -2, -4, -6, -8, ...은 별도로 처리할 수 있다.

${\displaystyle \sum \{n=1}^{\inflit }{1}{2n\,x^{2n}}=-{\frac {1}2}}\log \left(1-{{\frac {1}{x^{2}}}\오른쪽),}}$

큰 x를 위해 사라진다. 비경쟁적 0, 즉 임계 스트립 0 ≤ Re(s) 1 1에 있는 0은 잠재적으로 주요 용어 x에 필적할 수 있는 점증적 순서가 될 수 있으므로, 모든 0이 1보다 완전히 작은 실제 부분을 가지고 있다는 것을 보여줄 필요가 있다.

비배너싱(들) = 1

이를 위해 우리는 ζ(s)가 반평면 Re(s) > 0에서 meromorphic이고, s = 1에서 간단한 폴을 제외하고 거기에 분석하며, 제품 공식도 있다는 것을 당연하게 여긴다.

${\displaystyle \zeta(s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}}}}$

re(s) > 1. 이 제품 공식은 정수의 고유한 primary factorization의 존재로부터 따르며, ζ(s)가 이 지역에서 결코 0이 아니므로, 그 로그가 거기서 정의되고,

${\displaystyle \log \zeta(s)=-\sum _{p}\log \left(1-p^{-s}\오른쪽)=\sum _{p,n}{p^{ns}{ns}}\sum _{p,n}}.}$

쓰기 s = x + iy ; 그러면

${\displaystyle {\big }\zeta (x+iy){\big }=\ exp \left(\sum _{n,p}{\cos ny\log p}{np^{nx}}}\;}$

이제 정체성을 관찰하십시오.

${\displaystyle 3+4\cos \phi +\cos 2\phi =2(1+\cos \phi )^{2}\geq 0\;,}$

하도록

$왼쪽 \제타(x)^{3}\제타(x+iy)^{4}\제타(x+2iy)\right =\ex \left(\sum _{n,p}{\frac {3+4\cos(ny\log p)+\cos(2ny\log p)}{np^{nx}}\right)\geq 1}$

모두 x > 1에 대하여. 이제 ((1 + iy) = 0이라고 가정하자. ζ(s)는 s = 1에 간단한 극을 가지기 때문에 확실히 y는 0이 아니다. x > 1을 가정하고 x가 위에서부터 1을 하도록 하자. $\zeta {\displaystyle }$( ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle \zeta (s)}$은(는) s = 1에 간단한 폴을 가지고 있고 2(x + 2iy)은 분석적인 상태를 유지하므로 이전 불평등에서 왼손은 0인 경향이 있어 모순이다.

마지막으로, 우리는 PNT가 휴리스틱하게 사실이라고 결론 내릴 수 있다. 증거를 엄격하게 완성하기 위해서는 explicit(x)의 명시적 공식에서 제타 0에 대한 합계가 절대적으로 수렴되지 않고 조건부로만 수렴된다는 사실 때문에 극복해야 할 심각한 기술적 문제가 여전히 존재한다. 이 문제에는 여러 가지 방법이 있지만 그 중 많은 방법은 다소 정교한 복잡한 분석적 추정을 요구한다. 에드워즈의 책은^[12] 자세한 내용을 제공한다. 또 다른 방법은, 이 정리 그 자체는 상당히 입증하기 어렵지만, 이케하라의 타우베리안 정리를 이용하는 것이다.D.J. 뉴먼은 이케하라의 정리의 완전한 강도는 소수 정리에는 필요하지 않으며, 증명하기가 훨씬 쉬운 특수한 경우를 벗어날 수 있다고 보았다.

뉴먼의 소수 정리 증명

D. J. 뉴먼은 소수 정리(PNT)에 대한 빠른 증거를 제시한다. 그 증거는 복잡한 분석에 의존하는 덕택에 "비초과적"이지만, 과목의 첫 번째 과정부터 기초적인 기술만을 사용한다. Cauchy의 적분 공식, Cauchy의 적분 정리 및 복잡한 적분 추정치. 여기 이 증거의 간략한 스케치가 있다. 자세한 내용은 을 참조하십시오.

The proof uses the same preliminaries as in the previous section except instead of the function ${\textstyle \psi }$, the Chebyshev function${\textstyle \quad \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p}$ is used, which is obtained by dropping some of the terms from the series for ${\textstyle \psi }$. It is easy to show that the PNT is equivalent to ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\vartheta (x)/x=1}$. Likewise instead of ${\displaystyle -{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}}$ the function ${\displaystyle \Phi (s)=\sum _{p\leq$$x}\log p\,\,p^{-s}}$ is used, which is obtained by dropping some terms in the series for ${\displaystyle -{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}}$. The functions ${\displaystyle \Phi (s)}$ and ${\displaystyle -\zeta '(s)/\zeta (s)}$ differ by a function holomorphic on $$${\displaystyle \Re s=1}$. Since, as was shown in the previous section, ${\displaystyle \zeta (s)}$ has no zeroes on the line ${\displaystyle \Re s=1}$ , ${\displaystyle \Phi (s)-{\frac {1}{s-1}}}$ has no singularities on ${\displaystyle \Re s=1}$.

뉴먼의 입증에 필요한 한 가지 추가 정보, 그리고 ${\displaystyle 그}$의 간단한 방법에서 추정치의 열쇠가 되는 것은 $\vartheta {\displaystyle }$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$/ x ${\displaystyle \vartheta (x)/x}$이(가) 경계되어 있다. 이것은 체비셰프 때문에 기발하고 쉬운 방법을 사용하여 증명된다.

부품별 통합은 $\vartheta {\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \vartheta (x)}$과 φ${\displaystyle \mathrm{}}$(${\displaystyle s}$) ${\displaystyle \Phi (s)}$이(가) 어떻게 관련되어 있는지$$ 보여준다. > ${\displaystyle \Re>1}$의 경우

${\displaystyle \Phi (s)=\int _{1}^{\infty }x^{-s}d\vartheta (x)=s\int _{1}^{\infty }\vartheta (x)x^{-s-1}\,dx=s\int _{0}^{\infty }\vartheta (e^{t})e^{-st}\,dt.}$

뉴먼의 방법은 적분을 보여줌으로써 PNT를 증명한다.

${\displaystyle I=\int _{0}^{\inflt}\왼쪽({\fracta {\vartheta (e^{t})}{e^{t}}}-1\오른쪽)\,dt.}$

수렴하여 통합이 0으로 진행됨 → $t{\displaystyle }$ →$【\displaystyle t\\to \fty$ 즉 PNT. 일반적으로 부적절한 적분들의 수렴은 적분량이 무한대로 0으로 간다는 것을 의미하지는 않지만, $but{\displaystyle }$ ${\displaystyle \vartheta }$이(가) 증가하고 있기$$ 때문에 이 경우 쉽게 보여줄 수 있다.

$\{$$$z> 에 대한 I {\ $I}$의 수렴을 표시하려면\$displaystyle \Re>0}$을(를) 다음으로 표시하십시오.

${\displaystyle g_{T}(z)=\int _{0}^{T}f(t)e^{-zt}\,dt}$ and ${\displaystyle g(z)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-zt}\,dt}$ where ${\displaystyle f(t)={\frac {\vartheta (e^{t})$$}{e^{t}}}-1}$

그때

${\displaystyle \lim _{T\to \inflt }g_{T}(z)={\frac {\Phi(s)}{s:1}}-{s-1}{s-1}{s-1}}{s-1}}{s-1}{s-1}}}{s-1}\quad \quad{\where}\quad z=s-1}$

이는 ${\displaystyle z}$z = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle \Re$z=$0}$ 라인에 있는 홀로모픽 함수와 동일하다.$$

적분 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$및 따라서 PNT의 수렴은 ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ T${\displaystyle \underset{}{}}$→${\displaystyle \underset{}{\mathrm{}}}$∞ ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ ${\displaystyle T_{}}$( 0${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= g${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0}$) = ${\displaystyle g}$ ( ${\displaystyle 0}$ ) ${\displaysty \lim_{T\to \infty }g}(0)=g(0)}$을$($으)하여 증명된다. This involves change of order of limits since it can be written ${\textstyle \lim _{T\to \infty }\lim _{z\to 0}g_{T}(z)=\lim _{z\to 0}\lim _{T\to \infty }g_{T}(z)}$ and therefore classified as a Tauberian theorem.

차이 $g{\displaystyle }$( ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$- g ${\displaystyle T_{}}$( ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle$ g $(0)-g_{T}(0)}}$은(는) Cauchy의 적분식을 사용하여 표시한$$ 다음, 적분량을 추정하여 $T{\displaystyle }${\$displaystyle T}$크기에$$ 대해 작은 것으로 표시된다. Fix ${\displaystyle R>0}$ and ${\displaystyle \delta >0}$ such that ${\displaystyle g(z)}$ is holomorphic in the region where ${\displaystyle z \leq R{\text{ and }}\Re z\geq -\delta }$, and let ${\displaystyle C}$ be the boundary of this region. 0은 지역 내부에 있으므로, 카우치의 적분식은 다음과 같다.

${\displaystyle g(0)-g_{T}(0)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\left(g(z)-g_{T}(z)\right){\frac {dz}{z}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\left(g(z)-g_{T}(z)\right)F(z){\frac {dz}{z}}}$

where ${\displaystyle F(z)=e^{zT}\left(1+{\frac {z^{2}}{R^{2}}}\right)}$ is the factor introduced by Newman, which does not change the integral since ${\displaystyle F}$ is entire and ${\displaystyle F(0)=1}$.

To estimate the integral, break the contour ${\displaystyle C}$ into two parts, ${\displaystyle C=C_{+}+C_{-}}$ where ${\displaystyle C_{+}=C\cap \left\{z\,\vert \,\Re z>0\right\}}$ and ${\displaystyle C_{-}\cap \left\{\Re z\leq 0\right\}}$$$. Then ${\displaystyle g(0)-g_{T}(0)=\int _{C_{+}}\int _{T}^{\infty }H(t,z)dtdz-\int _{C_{-}}\int _{0}^{T}H(t,z)dtdz+\int _{C_{-}}g(z)F(z){\frac {dz}{2\pi iz}}}$where $$${\displaystyle H(t,z)=f(t)e^{-tz}F(z)/2\pi i}$. Since ${\displaystyle \vartheta (x)/x}$, and hence ${\displaystyle f(t)}$, is bounded, let ${\displaystyle B}$ be an upper bound for the absolute value of ${\displaystyle f(t)}$. This bound together with the estimate ${\displaystyle F \leq 2\exp(T\Re z) \Re z /R}$ for ${\displaystyle z =R}$ gives that the first integral in absolute value is ${\displaystyle \leq B/R}$. The integrand over ${\displaystyle C_{-}}$ in the 두 번째 적분은 전체적이므로 Cauchy의 적분 정리에 의해 $등고선{\displaystyle {}_{}}$C - ${\$는 적분을 변경하지 않고$$ 왼쪽 반면에 있는$$ $반경{\displaystyle }$R {\$displaystyle$R}의 반원형으로 수정할 수 있으며, 첫 번째 적분에서 두 번째 적분의 절대값을 주는 것과 같은 주장이 $\le {\displaystyle }$ B${\displaystyle }$/ ${\displaystyle R}$이다.$$마지막으로$$$T{\displaystyle }$→${\displaystyle \mathrm{<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; \backslash leq\; B/R\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/18f10d6f1c305c7a9ca1357c57be293162b00042"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:7.144ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="248">}}$$【\$$displaystyle T\$$to \ft】,$ $$e $T$$${\$displaystyle$e^{z 이후 세 번째 적분은 0이 된다.$T}$과(와) $따라서{\displaystyle }$ F ${\displaystyle F}$이(가) 윤곽선에서 0으로 된다$$. 두 추정치와 한계값을 결합하여 얻음

${\displaystyle \limsup _{T\to \inflt }g(0)-g_{T}(0) \leq {\frac {2B}{R}}}}$

이는 모든 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$에 대해 유지되므로 ${\displaystyle \underset{}{lim}}$T → ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}}$ ${\displaystyle g_{}\underset{}{}{}_{}}$ (${\displaystyle 0}$) = ${\displaystyle g}$( ${\displaystyle 0}$ ) = g ${\displaystyle \lim _{T\$t\$to \infty }g_{T}(0)=g($0$)\}$에 대해 유지되며, PNT는 다음과 같다.

로그 적분 측면에서 원시 카운팅 함수

In a handwritten note on a reprint of his 1838 paper "Sur l'usage des séries infinies dans la théorie des nombres", which he mailed to Gauss, Dirichlet conjectured (under a slightly different form appealing to a series rather than an integral) that an even better approximation to π(x) is given by the offset logarithmic integral function Li(x), defi에 곁들여지다.

${\displaystyle \operatorname {Li}=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\log t}=\operatorname {li}(x)-\operatorname {li}(2)}$

실제로, 이 적분은 t 주변의 소수 "밀도"가 1 / log t여야 한다는 개념을 강하게 암시한다. 이 함수는 점근확장에 의한 로그와 관련이 있다.

${\displaystyle \operatorname {Li}(x)\sim {\frac {x}{\log x}\sum _{k=0}^{\frac {k!}{{(\log x)^{k}}={\frac {x}{\log x}}+{\frac {x}{{x}{(\log x)^{2}}+{\frac {2x}{(\log x)^{3}}}}+\cdots }}}}$

그래서 소수 정리도 π(x) ~ Li(x)로 쓸 수 있다. 사실, 1899년 다른 논문에서 Valée Pousin은 그 사실을 증명했다.

${\displaystyle \pi(x)=\operatorname {Li}(x)+O\왼쪽(xe^{-a{-a}-\sqrt {\log x}}\오른쪽)\쿼드 {\text{as }}x\to \fty }$

어떤 양의 상수 a에 대해서, 여기서 O(...)는 큰 O 표기법이다. 이것은 로 개선되었다.

${\$$O\lift(x\exp$\exp \$frac${A$(\log x)^{3}{5}{$5}{{5}}}{{$5}\log x)}{{5$}}}{{5}\$frac${1$}}\오른쪽)$ 여기서$$ $A{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0.2098}$ ${\displaystystylean$ A$=0.2098$^[13] .

2016년에 트루지야는 $\pi {\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \pi$(${\displaystyle x}$$)}$과 li ${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {li} (x)}$ 사이의 차이에 대한 명시적 상한을 입증했다$.$

${\displaystyle {\big }\pi(x)-\bigname {li}{{\big }\leq 0.2795{\frac {x}{3/4}}\explefrc{\sqrt{\log x}{6.455}\right}}}$

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 229}$ ${\displaystyle x\geq 229}$의 경우$.$^[14]

리만 제타 함수와 π(x)의 연관성은 리만 가설이 수 이론에서 상당한 중요성을 갖는 한 가지 이유인데, 이 가설은 성립될 경우 현재 이용 가능한 것보다 프라임 수 정리에 관련된 오차에 대해 훨씬 더 나은 추정을 산출할 수 있을 것이다. 보다 구체적으로, 헬게^[15] 폰 코흐는 1901년에 리만 가설이 사실일 경우, 상기 관계에서의 오차항을 다음과 같이 개선할 수 있다는 것을 보여주었다.

${\displaystyle \pi(x)=\operatorname {Li}(x)+O\왼쪽({\sqrt {x}\log x\오른쪽)}$

(이 마지막 추정치는 사실 리만 가설과 동일하다.) 큰 O 표기법에 관련된 상수는 1976년 로웰 쇤펠트에 의해 추정되었다:^[16] 리만 가설을 가정하면,

${\displaystyle {\big }\pi(x)-\bigname {li}{\big}<{\frac {{\sqrt{x}\log x}{8\pi}}}}}}}$

전 x x x x 2657에 대해. 그는 또한 체비셰프 프라임카운팅 함수 ψ에 대해서도 비슷한 바운드를 도출했다.

${\displaystyle {\big}\big(x)-x{\big}<{\frac {{\sqrt{x}(\log x)^{2}}{8\pi }}}}$

전 x x x x 73.2 이 후자의 경계는 평균 전력 법칙(정수에 대한 무작위 함수로 간주되는 경우)과 1/f-noise에 대한 분산을 나타내며 트위디 화합물 포아송 분포에도 해당한다는 것을 보여주었다. (트위디 분포는 중심 한계 정리의 일반화를 위한 수렴의 초점 역할을 하는 척도 불변 분포의 집단을 나타낸다.)^[17]

로그 적분 li(x)는 x의 "작은" 값에 대해 "(x)보다 크다. 프라임이 아니라 프라임 p의ⁿ 파워 p가 프라임의 1/n로 계산되는 (어떤 의미에서는) 프라임 p의 파워 p가 프라임의 1/n으로 계산되는 프라임 파워이기 때문이다. 이는 li(x)가 대략 li(x) / 2만큼 π(x)보다 커야 하며, 특히 항상 π(x)보다 커야 함을 시사한다. 그러나 1914년 J. E. 리틀우드는 ${\displaystyle \pi }$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle \mathrm{li}}$ ${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li}(x)}$의 기호가 무한히 자주 바뀐다는$$ 것을 증명했다. ^[18] π(x)가 li(x)를 초과하는 x의 첫 번째 값은 아마도 x = 10³¹⁶ 정도일 것이다. 자세한 내용은 Skewes의 숫자에 관한 기사를 참조하라.(반면 오프셋 로가리듬 적분 Li(x)는 이미 x = 2에 대해 x(x)보다 작다. 실제로 Li(2) = 0인 반면 π(2) = 1)은 1이다.

기초 교정쇄

20세기 전반기의 일부 수학자들(명칭 G. H. Hardy)은 어떤 종류의 숫자(정수, 현실, 복합)가 어떤 증거를 필요로 하는가에 따라 수학에 증명 방법의 계층이 존재한다고 믿었고, 소수 정리(PNT)는 복잡한 분석을 요하는 덕택에 '깊은' 정리라고 믿었다.^[19] 이러한 믿음은 비록 위너의 정리가 복잡한 가변법의 그것과 동등한 '깊이'를 갖는다고 여겨진다면 이것은 따로 정할 수 있지만, 위너의 타우버 정리에 기초한 PNT의 입증에 의해 다소 흔들렸다.

1948년 3월, Atle Selberg는 "초등"이라는 뜻으로 점근법 공식을 제정했다.

${\displaystyle \vartheta (x)\log(x)+\sum \limits _{p\leq x}{\log(p)}\vartheta \좌측({\frac {x}{p}\오른쪽)=2x\log(x)+O(x)}$

어디에

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum \do_{p\leq x}{\log(p)}}}}$

오후 1시 ^[20]1시간씩 그 해 7월까지 셀버그와 폴 에르드스는 각각 PNT의 기초적인 증거를 입수했는데, 둘 다 셀버그의 점증식 공식을 출발점으로 삼았다.^[19][21] 이러한 증거들은 그러한 의미에서 PNT가 "깊이" 있다는 개념을 효과적으로 잠재웠고, 기술적으로 "초등적" 방법들이 사실이라고 믿었던 것보다 더 강력하다는 것을 보여주었다. 에르드-셀베르크 우선권 분쟁을 포함한 PNT의 기초적인 증명 역사에 대해서는 도리안 골드펠트의 기사를 참조한다.^[19]

에르디스와 셀버그의 결과의 중요성에 대해 약간의 논쟁이 있다. 수 이론에서 기본적인 증거의 개념에 대한 엄격하고 널리 받아들여지는 정의는 없기 때문에, 그들의 증거가 정확히 어떤 의미에서 "초등적"인지 명확하지 않다. 복잡한 분석을 사용하지 않지만, 사실 PNT의 표준 증명보다 훨씬 기술적이다. "초등" 증명의 한 가지 가능한 정의는 "1차적인 페아노 산술로 수행할 수 있는 것"이다. 제2차 순서를 사용하여 증명할 수 있는 수론적 진술(예: 파리-해링턴 정리)이 있지만 제1차 순서를 사용하는 방법은 아니지만, 현재까지 그러한 이론은 드물다. 에르드와 셀베르그의 증거는 확실히 페아노 산술에서 공식화될 수 있으며, 1994년 샤랄람보스 코르나로스와 코스타스 디미트라코풀로스는 그들의 증거가 매우 약한 PA의 단편, 즉 Δ₀ + exp에서 공식화될 수 있다는 것을 증명했다.^[22] 그러나 이것은 PNT의 표준 증명이 PA에서 공식화될 수 있는지에 대한 문제는 다루지 않는다.

컴퓨터 검증

2005년에 아비가드 외 연구진은 PNT의 Erdds-Selberg 증명서의 컴퓨터 검증 변형을 고안하기 위해 이사벨 정리 프로베러를 채용했다.^[23] 이것이 PNT에 대한 최초의 기계 검증 증거였다. 아비가드는 당시 이사벨의 도서관이 한계, 파생, 초월 함수의 개념을 구현할 수 있었지만, 말할 수 있는 통합 이론이 거의 없었기 때문에 분석적인 것 보다는 에르드-셀버그 증거를 공식화하는 것을 선택했다.^{[23]: 19}

2009년에 존 해리슨은 복잡한 분석을 채택한 증거를 공식화하기 위해 HOL Light를 채용했다.^[24] 해리슨은 카우치 적분식을 포함한 필요한 분석 기계를 개발함으로써 "더 관여된 '원소' 에르드제스-셀버그 주장 대신 직접적이고 현대적이며 우아한 증거"를 공식화할 수 있었다.

산술 진행에 대한 소수 정리

π_d,a(x)는 산술 진행의 소수 a, a + d, a + 2d, a + 2d, a + 3d, ...보다 작은 소수. 디리클레트와 레전드르 추측, 그리고 de la Valée Poussin은 a와 d가 동일시라면, 그 다음이 증명되었다.

${\daystyle \pi _{d,a}(x)\sim {1}{\frac {1}{\varphi(d)}\operatorname {Li}(x),}$

여기서 φ은 오일러의 토털 함수다. 즉 프리임은 gcd(a, d) = 1. 이것은 디리클레트의 산술 진행에 대한 디리클레트의 정리(각 클래스마다 프리임의 무한성이 있다고만 명시)보다 강하며, 프라임 수 정리 증명에 대해 뉴먼이 사용하는 유사한 방법을 사용하여 증명할 수 있다.^[25]

시겔-왈피즈 정리는 잔여물 등급의 소수 분포에 대해 좋은 추정치를 제공한다.

베넷 외 연구진은 명시적 상수 A와 B(Theorem 1.${\displaystyle 3}$): d $\ge {\displaystyle }$ 3 ${\displaystyle \geq 3}$을 정수로 하고$$ a를 d와 동일시되는 정수로 하자. 그 다음에 양수 A와 B가 있다.

${\displaystyle \left \pi _{d,a}(x)-{\frac {\operatorname {Li} (x)}{\varphi (d)}}\right <A{\frac {x}{(\log x)^{2}}}}$ for all ${\displaystyle x\geq B}$,

어디에

${\displaystyle }$${\displaystyle {\mathrm{A}}^{}}$${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{840}{}}$ ${\$ $3{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle \mathrm{10}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$ ${\$인 $경우$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle A\frac{\mathrm{}}{}}$ = ${\displaystyle \frac{1}{}}$160 {\$displaystystyle A={\frac}{$160}}}, > ${4$

그리고

${\displaystyle B=8\cdot 10^{9}}$ if ${\displaystyle 3\leq d\leq 10^{5}}$ and ${\displaystyle B=\exp(0.03{\sqrt {d}}(\log {d})^{3})}$ if ${\displaystyle d>10^{5}}$.

프라임 수 레이스

비록 우리가 특별히 가지고 있지만

${\displaystyle \pi _{4,1}(x)\sim \pi _{4,3}(x),}$

경험적으로 3에 해당하는 소수들이 더 많고 이 "프라임 넘버 레이스"에서 거의 항상 앞서 있다; 첫 번째 반전은 x = 26861에서 일어난다.^{[27]: 1–2} 그러나 Littlewood는 1914년에^{[27]: 2} 그 기능에 무한히 많은 신호 변화가 있다는 것을 보여주었다.

${\displaystyle \pi _{4,1}(x)-\pi _{4,3}(x),}$

그래서 경주에서 선두가 무한히 왔다 갔다 한다. π_4,3(x)가 대부분 앞서가는 현상을 체비셰프의 편향이라고 한다. 프라임 넘버 레이스는 다른 모둘리에 일반화되며 많은 연구 대상이다; Pal Turan은 a와 b가 c.^[28] 그란빌과 마틴이 함께 있을 때 항상 ((x;a,c)과 ((x;b,c)^[27]이 자리를 바꾸는 것이 맞는지 물었다.

원시 카운팅 함수의 비아세트산 한계

소수 정리는 점증적 결과물이다. 한계 정의의 직접적인 결과로 π(x)에 비효과적인 경계를 부여한다: 모든 ε > 0에 대해, 모든 x > S에 대해 S가 있다.

${\displaystyle (1-\varepsilon ){\frac {x}{\log x}\;<\\;\pi (x)\;<\(1+\varepsilon ){\frac {x}{\log x}\;;;}$

그러나 π(x)에 대한 더 나은 경계는, 예를 들면 피에르 뒤사르트의 경계는 알려져 있다.

${\displaystyle {\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}\right)\;<\;\pi (x)\;<\;{\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}+{\frac {2.51}{(\log x)^{2}}}\right)\;.}$

첫 번째 불평등은 모두 599이고 두 번째 불평등은 355991이다.^[29]

x weaker 55에 대한 약하지만 때로는 유용한 바운드는^[30]

${\displaystyle {\frac {x}{\log x+2}}\;<\;\pi (x)\;<\\frac {x}{\log x-4}\;.}$

피에르 뒤사르트의 논문에서 이러한 형태의 불평등에는 더 큰 x에 유효한 더 강한 버전이 있다. 이후 2010년에 뒤사트는 다음과 같이 증명했다.^[31]

${\displaystyle {\frac {x}{\log x-1}\&gt;&gt;\pi(x)&{\text{}}{\x\geq 5393\;,{\text} 및 }\\\pi(x)\&gt;{\frac {x}\log x-1.1.}&{\text{{}x\geq 60184\;;의 경우.\end{정렬}}}$

드 라 발레 푸신의 증거는 다음을 내포하고 있다. 매 ε > 0에 대하여, 모든 x > S에 대하여 S가 있다.

${\displaystyle {\frac {x}{\log x-(1-\barepsilon )}\;<\;\\pi(x)\;<\\\frac {x}{\log x-(1+\barepsilon )}\;.}$

n번째 소수 근사치

소수 정리의 결과, p:로_n 표시된 n번째 소수에게 점증적 식을 얻게 된다.

${\displaystyle p_{n}\sim n\log n.}$

더 좋은 근사치는 다음과^[32] 같다.

${\displaystyle {\frac {p_{n}}{n}}=\log n+\log \log n-1+{\frac {\log \log n-2}{\log n}}-{\frac {(\log \log n)^{2}-6\log \log n+11}{2(\log n)^{2}}}+o\left({\frac {1}{(\log n)^{2}}}\right).}$

2×10번째¹⁷ 소수점 8512677386048191063을 고려하면 8512681315554715386의 추정치가 나온다. 첫 5자리 일치와 상대 오차는 약 0.00005%이다.

로서의 정리에는 다음과 같이 되어 있다.

$[\displaystyle p_{n}]n\log n.}$

이 값은 다음과 같은 한 쌍으로 개선할 수 있다.^[30]

${\displaystyle \log n+\log \log n-1<{\frac {p_{n}}{n}}}<\log n+\log \log n\ready{}n\geq 6.}$

π(x), x / log x 및 li(x) 표

표는 π(x)의 정확한 값을 두 개의 근사치 x / log x 및 li(x)와 비교한다. 마지막 열인 x / π(x)는 x보다 작은 평균 prime 갭이다.

x	π(x)	π(x) − x/log x	π(x)/x / 로그 x	li(x) − π(x)	x/π(x)
10	4	−0.3	0.921	2.2	2.500
102	25	3.3	1.151	5.1	4.000
103	168	23.0	1.161	10.0	5.952
104	1229	143.0	1.132	17.0	8.137
105	9592	906.0	1.104	38.0	10.425
106	78498	6116.0	1.084	130.0	12.740
107	664579	44158.0	1.071	339.0	15.047
108	5761455	332774.0	1.061	754.0	17.357
109	50847534	2592592.0	1.054	1701.0	19.667
1010	455052511	20758029.0	1.048	3104.0	21.975
1011	4118054813	169923159.0	1.043	11588.0	24.283
1012	37607912018	1416705193.0	1.039	38263.0	26.590
1013	346065536839	11992858452.0	1.034	108971.0	28.896
1014	3204941750802	102838308636.0	1.033	314890.0	31.202
1015	29844570422669	891604962452.0	1.031	1052619.0	33.507
1016	279238341033925	7804289844393.0	1.029	3214632.0	35.812
1017	2623557157654233	68883734693281.0	1.027	7956589.0	38.116
1018	24739954287740860	612483070893536.0	1.025	21949555.0	40.420
1019	234057667276344607	5481624169369960.0	1.024	99877775.0	42.725
1020	2220819602560918840	49347193044659701.0	1.023	222744644.0	45.028
1021	21127269486018731928	446579871578168707.0	1.022	597394254.0	47.332
1022	201467286689315906290	4060704006019620994.0	1.021	1932355208.0	49.636
1023	1925320391606803968923	37083513766578631309.0	1.020	7250186216.0	51.939
1024	18435599767349200867866	339996354713708049069.0	1.019	17146907278.0	54.243
1025	176846309399143769411680	3128516637843038351228.0	1.018	55160980939.0	56.546
OEIS	A006880	A057835		A057752

π(10²⁴)의 값은 원래 리만 가설을 가정하여 계산한 것으로,^[34] 그 이후 무조건적으로 검증되었다.^[35]

유한영역에 걸친 보강 불가능한 다항식의 아날로그

유한한 분야에 걸쳐서 불가역 다항식의 "분포"를 기술하는 소수 정리의 아날로그가 있다; 그것이 취하는 형태는 고전적인 소수 정리의 경우와 현저하게 유사하다.

정확하게 기술하려면 F = GF(q)를 q 원소가 있는 유한장이 되도록 하고, 일부 고정 q에 대해 N을_n f에 대한 단일 불분명한 다항식 개수로 한다. 즉, F에서 선택한 계수를 갖는 다항식들을 보고 있는데, 이 다항식의 산물로는 더 작은 정도의 다항식이라고 쓸 수 없다. 이 설정에서, 이러한 다항식은 다른 모든 다항식들은 그들의 생산물로 만들어지기 때문에 소수점 역할을 한다. 그러면 을 증명할 수 있다.

${\displaystyle N_{n}\sim {\frac {q^{n}}{n}}.}$

대체 x = q를ⁿ 만들면 오른손은 그냥

${\displaystyle {\frac {x}{\log _{q}x},}$

유추를 더 명확하게 하는군 정확하게 qⁿ 단항 n(축소 가능한 다항식 포함)이 있기 때문에, 다음과 같이 재인쇄할 수 있다: q의 단항 다항식을 임의로 선택한 경우, q가 불가항력일 확률은 약 1/n이다.

리만 가설의 아날로그 즉, 라는 것을 증명할 수도 있다.

${\displaystyle N_{n}={\frac{q^{n}}{n}}}{\frac}{q^{n}}{n}}\오른쪽.}$

이러한 진술의 증거는 고전적인 경우보다 훨씬 간단하다. 그것은 다음과 같이 요약된 ^[36]짧은 결합 논증을 포함한다: F의 학위 n 확장의 모든 요소는 n을 나누는 어떤 수정 불가능한 다항식의 뿌리; 이러한 뿌리를 두 가지 다른 방법으로 세는 것.

${\displaystyle q^{n}=\sum _{d\mid n}dN_{d}}}$

그 합계가 n. Möbius 역전의 모든 divisor d에 걸쳐 있는 경우, 산출한다.

${\displaystyle N_{n}={\frac {1}{n}\sum _{d\mid n}\mu \left({\frac {n}{d}\오른쪽)q^{d}}}}}$

여기서 μ(k)는 뫼비우스 함수다. (이 공식은 가우스에게 알려졌다.) 주항은 d = n에 대해 발생하며, 나머지 항을 묶는 것은 어렵지 않다. "리만 가설" 문장은 n의 가장 큰 고유 구분자는 n/2보다 클 수 없다는 사실에 따라 달라진다.

참고 항목

• 정리의 일반화에 대한 정보에 대한 추상 분석 수 이론.
• 란다우 프라임 이상적 정리 대수적 수 분야에서의 프라임 이상에 대한 일반화를 위한 이상적인 정리.
• 리만 가설

참조

원천

• Hardy, G.H.; Littlewood, J.E. (1916). "Contributions to the theory of the Riemann zeta-function and the theory of the distribution of primes". Acta Mathematica. 41: 119–196. doi:10.1007/BF02422942. S2CID 53405990.

• Granville, Andrew (1995). "Harald Cramér and the distribution of prime numbers" (PDF). Scandinavian Actuarial Journal. 1: 12–28. CiteSeerX 10.1.1.129.6847. doi:10.1080/03461238.1995.10413946.

외부 링크

• "Distribution of prime numbers", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 안톤 펠켈의 프라임즈 표.
• 프라임 넘버 정리를 시각화하는 짧은 영상.
• MathWorld의 Prime 공식과 Prime number 정리.
• 마틴에 있는 테네시 대학의 크리스 콜드웰의 프라임스와 프라임 사이의 간격은 얼마나 될까?
• Tomas Oliveira e Silva의 프라임 카운팅 함수 표
• 에벌, 마누엘, 폴슨, L. C. Prime Number Organization (Isabelle/HOL에서의 형식적 증명 개발, 형식 증명 보관)