펠 수

수학에서 Pell 숫자는 2의 제곱근에 가장 근접한 합리적 근사치의 분모를 구성하는, 고대부터 알려진 정수의 무한 시퀀스다. 이 근사치 순서는 시작된다. 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29가 되기 때문에 펠 번호의 순서는 1, 2, 5, 12, 29로 시작한다. 같은 순서의 근사치의 분자는 동반자 Pell 번호 또는 Pell-Lucas 숫자의 절반이다. 이 숫자는 2, 6, 14, 34, 82로 시작하는 두 번째 무한 시퀀스를 형성한다.

Pell 번호와 동반 Pell 번호는 모두 Fibonacci 숫자와 유사한 재발 관계를 이용하여 계산할 수 있으며, 두 숫자의 순서는 은비 1 + √2의 힘에 비례하여 기하급수적으로 증가한다. Pell 번호는 2의 제곱근에 근사치를 하는 데 사용될 뿐만 아니라 사각 삼각형 숫자를 찾고, 오른쪽 등각 삼각형에 정수 근사치를 구성하며, 특정 결합기 열거 문제를 해결하는 데 사용될 수 있다.^[1]

펠의 방정식과 마찬가지로, 펠 숫자의 이름은 레온하르트 오일러가 방정식과 그로부터 파생된 숫자들을 존 펠에게 잘못 귀속시킨 데서 유래한다. Pell-Lucas 번호는 또한 Edouard Lucas의 이름을 따왔다. Edouard Lucas는 이러한 유형의 재발에 의해 정의된 시퀀스를 연구했다. Pell과 동반자 Pell 번호는 Lucas 시퀀스다.

펠 수

Pell 번호는 반복 관계에 의해 정의된다.

${\displaystyle P_{n}={\begin{case}0&{\mbox{{{n=0;\1&{\mbox{{{n=1&}}{{nbox{}}}{}n=1;\2}P_{n-1}+P_{n-2}&{\mbox{otherwise.}}}\end{case}}$

즉, Pell 번호의 순서는 0과 1로 시작하고, 그 다음 각 Pell 번호는 이전 Pell 번호와 그 이전의 Pell 번호의 두 배의 합이다. 그 수열의 처음 몇 항은

0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, (OEIS의 경우 시퀀스 A000129).

Pell 번호는 또한 닫힌 폼 공식으로 표현될 수 있다.

${\displaystyle P_{n}={\frac {\좌측(1+{\sqrt{2}}\우측)^{n}-\좌측(1-{\sqrt{2}}\우측)^{n}}{{{{\sqrt{2}}}.}$

n의 큰 값의 경우 (1 + √2) ⁿ항이 이 식을 지배하므로, Pell 수치는 은비 1 + √2의 힘에 근사적으로 비례하며, 황금비의 힘으로 피보나치 수치의 증가율과 유사하다.

세 번째 정의는 행렬 공식에서 가능하다.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}P_{n+1}&P_{n}\\P_{n}&P_{n-1}\end{pmatrix}={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}^{n}.}$

많은 정체성은 이러한 정의에서 파생되거나 증명될 수 있다. 예를 들어, 피보나치 숫자에 대한 카시니의 정체성과 유사한 정체성,

${\displaystyle P_{n+1}P_{n-1}-P_{n}^{2}=(-1)^{n}}}$

매트릭스 공식의 즉각적인 결과(매트릭스 공식의 왼쪽과 오른쪽에서 매트릭스의 결정 인자를 고려함으로써 발견됨).^[2]

2의 제곱근에 대한 근사치

펠 수치는 역사적으로 가장 두드러지게 notably2에 대한 합리적인 근사치에서 발생한다. 두 개의 큰 정수 x와 y가 Pell 방정식에 대한 솔루션을 형성하는 경우

${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=\pm 1,}$

그 다음, 그들의 비율 x/y는 √2에 가까운 근사치를 제공한다. 이 형식의 근사 순서는

${\displaystyle {\frac {1}{1},{\frac {3}{2}},{\frac {7}{5},{\frac {17}{12},{\frac {41}{29}},{\frac}{99}{70},\frac }}},\frac }}$

여기서 각 분수의 분모는 Pell 번호이고 분자는 Pell 번호와 그 이전 분수의 순서에 있는 Pell 번호의 합이다. 즉, 해결책은

${\displaystyle {\frac {P_{n-1}+P_{n}{P_{n}}.}$

근사치

${\displaystyle {\sqrt{2}}\약 {\frac {577}{408}}}$

이러한 유형의 것들은 기원전 3, 4세기에 인도의 수학자들에게 알려졌다.^[3] 기원전 5세기의 그리스 수학자들 역시 이 근사 배열의 순서를 알고 있었다:^[4] 플라톤은 숫자들을 이성적인 지름이라고 말한다.^[5] 2세기에 스미르나의 테온은 이 수열의 분모와 분자를 설명하기 위해 옆면과 지름의 숫자를 사용했다.^[6]

이러한 근사치는 $2{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$ ${\$:의 지속적인 부분 확장으로부터 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\sqrt{2}}={1}{2+{\properac {1}{2+{\properac {1}{1}{2+{\properac {1}{1}{2+}}{2+\ddots \}}}}}}}}}}}}}}}}{{1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{}$

이 확장을 임의의 수의 항으로 자르면 이 시퀀스에서 Pell-number 기반 근사치 중 하나가 생성된다. 예를 들어,

${\displaystyle {\frac{577}{408}=1+{\properac {1}{2+{\properac {1}{1}{2+{\properac {1}{1}{2+{}}}{{1}{{2+}}}}{\properac {1}:{1}2}}:}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.}$

Knuth(1994)가 기술한 바와 같이 Pell 숫자가 √2에 가깝다는 사실은 정점 좌표(±P_i, ±P_i+1)와 (±P_i+1, ±P_i)가 있는 일반 옥타곤에 대한 정확한 합리적 근사치를 위해 사용할 수 있게 한다. 모든 정점은 원점으로부터 똑같이 떨어져 있고, 원점 주위에 거의 균일한 각도를 형성한다. Alternatively, the points ${\displaystyle (\pm (P_{i}+P_{i-1}),0)}$, ${\displaystyle (0,\pm (P_{i}+P_{i-1}))}$, and ${\displaystyle (\pm P_{i},\pm P_{i})}$ form approximate octagons in which the vertices are nearly equally distant f기원을 뒹굴고 획일적인 각도를 형성한다.

프라임과 사각형

Pell prime은 prime인 Pell number이다. 처음 몇 Pell preimes는

2, 5, 5, 5, 29, 5741, 33461, 44560482149, 1746860020068409, 68480406462161287469, ...(OEIS의 경우 순서 A086383).

모든 Pell 번호의 순서에 포함되는 이러한 프리타임의 지수는 다음과 같다.

2, 3, 5, 11, 13, 29, 41, 53, 59, 89, 97, 101, 167, 181, 191, 523, 929, 1217, 1301, 1361, 2087, 2273, 2393, 8093, ... (OEIS의 경우 순차 A096650)

이 지수들은 모두 그 자체로 최상이다. 피보나치 숫자와 마찬가지로 Pell 번호 P는_n n자체가 prime일 때만 prime이 될 수 있는데, d가 n의 divisor라면 p는_d p의_n divisor이기 때문이다.

정사각형, 정육면체 또는 정수의 높은 힘인 Pell 번호는 0, 1, 169 = 13이다².^[7]

그러나, 정사각형이나 다른 힘이 거의 없음에도 불구하고, Pell 숫자는 정사각형 삼각형 숫자와 밀접한 관련이 있다.^[8] 구체적으로, 이러한 숫자는 Pell 번호의 다음과 같은 정체성에서 발생한다.

${\displaystyle {\bigl (}\left(P_{k-1}+P_{k}\right)\cdot P_{k}{\bigr )}^{2}={\frac {\left(P_{k-1}+P_{k}\right)^{2}\cdot \left(\left(P_{k-1}+P_{k}\right)^{2}-(-1)^{k}\right)}{2}}.}$

이 정체성의 왼쪽은 정사각형 숫자를, 오른쪽은 삼각형 숫자를 묘사하므로 결과는 정사각형 삼각형이 된다.

산타나와 디아즈-바레로(2006)는 펠의 숫자를 정사각형에 연관시키고 P까지의_4n+1 펠 숫자의 합이 항상 정사각형임을 보여주는 또 다른 정체성을 증명했다.

${\displaystyle \sum \sum \sum_{i=0}^{n1}=\좌(\sum_{r=0}^{n2}^{r}{r}{2n+1 \선택)^{2}=\좌(P_{2n}+1}\우)^{2}.$

예를 들어 P까지의₅ Pell 숫자의 합, 0 + 1 + 2 + 5 + 12 + 29 = 49는 P₂ + P₃ = 2 + 5 = 7의 제곱이다. 이 합계의 제곱근을 이루는 숫자_2n P + P는_2n+1

1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321, (OEIS의 경우 시퀀스 A002315),

뉴먼으로 알려져 있다.샨크스-윌리엄스(NSW) 번호.

피타고라스 삼배

직각 삼각형이 정수의 측면 길이 a, b, c(필요하게 피타고라스 정리² a + b² = c²)를 갖는다면, (a,b,c)는 피타고라스 3중으로 알려져 있다. 마틴(1875)이 설명한 것처럼 펠 숫자는 a와 b가 한 단위 떨어져 있는 피타고라스 3중주를 형성하는데 사용될 수 있는데, 이는 거의 등골에 가까운 직삼각형에 해당한다. 그러한 세 쌍은 각각 형태를 가지고 있다.

${\displaystyle \left(2P_{n}P_{n+1},P_{n+1}^{2}-P_{n}^{n1}^{2}+P_{n1}^{n}^{2}=P_{2n+1}.}$

이렇게 형성된 피타고라스 삼쌍의 순서는 다음과 같다.

(4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985),…

펠-루카스 수

동반자 Pell 번호 또는 Pell-Lucas 번호는 재발 관계에 의해 정의된다.

${\displaystyle Q_{n}={\begin{case}2&{\mbox{{}}{}n=0;\2&{\mbox{{}}}{}n=1;\2Q_{n-1}+Q_{n-2}&\mbox{otherwise{nbox{notherwise.}}}\end{case}}$

즉, 수열의 처음 두 숫자는 둘 다 2이며, 각각의 연속적인 숫자는 그 이전의 Pell-Lucas 번호에 이전 Pell-Lucas 번호를 두 배 더 추가하거나, 또는 동등하게 이전 Pell-Lucas 번호에 다음 Pell 번호를 추가함으로써 형성된다. 따라서 82는 29의 동반자이고, 82 = 2 × 34 + 14 = 70 + 12이다. 시퀀스의 처음 몇 개 용어는 다음과 같다(OEIS에서 순서 A002203). 2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478.

피보나치 숫자와 루카스 숫자의 관계처럼

${\displaystyle Q_{n}={\frac {P_{2n}}{P_{n}}}}}}}$

모든 자연수 n에 대하여.

동반자 Pell 번호는 폐쇄형 공식으로 표현할 수 있다.

${\displaystyle Q_{n}=\좌측(1+{\sqrt{2}}\우측)^{n}+\좌측(1-{\sqrt{2}}\우측)^{n}}$

이 숫자들은 모두 짝수다. 이러한 각각의 숫자는 위에서 논의한$$ $합리적$인 근사치 2개$(\$에 해당하는 숫자의 2배이다.

루카스 수열과 마찬가지로 펠-루카스 번호 1/2Q가_n 프라임이라면 n은 프라임 또는 2의 파워가 되어야 한다. Pell-Lucas 프라임은

3, 7, 17, 41, 239, 577,…(OEIS의 순서 A086395).

이 n은

2, 3, 4, 5, 7, 8, 16, 19, 29, 47, 59, 163, 163, 257, 421, (시퀀스 A099088 in OEIS)

계산 및 연결

다음 표에는 은비 Δ_S = 1 + β2와 그 결합 Δ = 1 - β2의 처음 몇 개의 힘이 수록되어 있다.

n	(1 + √2)n	(1 − √2)n
0	1 + 0√2 = 1	1 − 0√2 = 1
1	1 + 1√2 = 2.41421…	1 − 1√2 = −0.41421…
2	3 + 2√2 = 5.82842…	3 − 2√2 = 0.17157…
3	7 + 5√2 = 14.07106…	7 − 5√2 = −0.07106…
4	17 + 12√2 = 33.97056…	17 − 12√2 = 0.02943…
5	41 + 29√2 = 82.01219…	41 − 29√2 = −0.01219…
6	99 + 70√2 = 197.9949…	99 − 70√2 = 0.0050…
7	239 + 169√2 = 478.00209…	239 − 169√2 = −0.00209…
8	577 + 408√2 = 1153.99913…	577 − 408√2 = 0.00086…
9	1393 + 985√2 = 2786.00035…	1393 − 985√2 = −0.00035…
10	3363 + 2378√2 = 6725.99985…	3363 − 2378√2 = 0.00014…
11	8119 + 5741√2 = 16238.00006…	8119 − 5741√2 = −0.00006…
12	19601 + 13860√2 = 39201.99997…	19601 − 13860√2 = 0.00002…

계수는 H² - 2P² = ±1에 대한 (부정) 용액인 반반주 Pell 번호 H와_n Pell 번호 P이다_n. 사각 삼각형 숫자는 숫자다.

${\displaystyle N={\frac {t(t+1)}{2}}}=s^{2},}$

세 번째 삼각형 번호와 네모난 숫자 둘 다야 피타고라스 삼중수소는 + b = c에²² 대한 정수 용액이다. 여기서 + 1² = b.

다음 표는 홀수 H를_n 거의 같은 반으로 나누면 짝수일 때는 사각 삼각형, 홀수일 때는 근 이소체 피타고라스 3배가 된다는 것을 보여준다. 모든 해결책은 이런 방식으로 일어난다.

n	Hn	Pn	t	t + 1	s	a	b	c
0	1	0	0	1	0
1	1	1				0	1	1
2	3	2	1	2	1
3	7	5				3	4	5
4	17	12	8	9	6
5	41	29				20	21	29
6	99	70	49	50	35
7	239	169				119	120	169
8	577	408	288	289	204
9	1393	985				696	697	985
10	3363	2378	1681	1682	1189
11	8119	5741				4059	4060	5741
12	19601	13860	9800	9801	6930

정의들

반반주 Pell 번호 H와_n Pell 번호 P는_n 여러 가지 쉽게 동등한 방법으로 도출할 수 있다.

파워로 키우기

${\displaystyle \left(1+{\sqrt{2}}\오른쪽)^{n}=H_{n}+P_{n}{\sqrt{2}}$

${\displaystyle \left(1-{\sqrt{2}}\오른쪽)^{n}=H_{n}-P_{n}{\sqrt {2}.}$

이로부터 폐쇄형식이 존재한다는 것은 다음과 같다.

${\displaystyle H_{n}={\frac {\좌측(1+{\sqrt{2}}\우측)^{n}+\좌측(1-{\sqrt{2}}\우측)^{n}}{2}}.}$

그리고

${\displaystyle P_{n}{\sqrt{2}}={\frac {\좌측(1+{\sqrt{2}}\우측)^{n}-\좌측(1-{\sqrt{2}}\우측)^{n}}{2}}.}$

쌍체 반복

${\displaystyle H_{n}={\begin{case}1&{\mbox{if{n=0;\\\\H_{n-1}+2P_{n-1}&{\mbox{otherwise.}}}\end{case}}$

${\displaystyle P_{n}={\begin{case}0&{\mbox{if{n=0;\\\\H_{n-1}+P_{n-1}&{\mbox{otherwise.}}}\end{case}}$

상호재발식

n은 적어도 2가 되도록 하라.

${\displaystyle H_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$=${\displaystyle }$( 3 ${\displaystyle \mathrm{P}}$ ${\displaystyle n_{}}$- ${\displaystyle P_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 2_{}}$)${\displaystyle }$/ 2${\displaystyle }$= ${\displaystyle 3\mathrm{}}$ ${\displaystyle P_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$+ ${\displaystyle {\mathrm{P}}_{}}$- ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ $;;$

${\displaystyle {Pn}_{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ H${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}}$ -${\displaystyle 2_{}}$) /${\displaystyle }$4${\displaystyle }$= (${\displaystyle 3\mathrm{}}$ ${\displaystyle H_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{n}{}_{}}$- 1${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle H_{}}$ -${\displaystyle 2_{}}$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle P_{n}=(3H_{n}-H_{n-2})/4=(3H_{n-1}+H_{n-2}/2$

행렬식

${\displaystyle {\pmatrix}H_{n}\\P_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}}H_{n-1}\\P_{n-1}\end{pmatrix}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}^{n}{\begin{pmatrix}1\0\end{pmatrix}}.}$

그렇게

${\displaystyle {\pmatrix}H_{n}&2P_{n}\\P_{n}&H_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}^{n}.}$

근사치

H와_n P_n√2의 차이는 다음과 같다.

${\displaystyle \left(1-{\sqrt{2}}\오른쪽)^{n}\reason (-0.41421)^{n}}$

0으로 빠르게 가는 거야 그렇게

${\displaystyle \left(1+{\sqrt{2}}\오른쪽)^{n}=H_{n}+P_{n}{\sqrt{2}}\,}$

2H에_n 매우 가깝다.

이 마지막 관측에서 정수비 H_n/P가_n √2에 빠르게 접근하고, H_n/H와_n−1 P_n/P가_n−1 1 + √2에 빠르게 접근하는 것을 따른다.

H² − 2P² = ±1

√2는 비합리적이므로 H/P = √2를 가질 수 없다. 즉,

${\displaystyle {\frac {H^{2}}:{P^{2}}={\frac {2P^{2}}:{P^{2}}.}$

우리가 성취할 수 있는 최선은 둘 중 하나이다.

${\displaystyle {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}-1}{P^{2}}}\quad {\mbox{or}}\quad {\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}+1}{P^{2}}}.}$

H² - 2P² = 1에 대한 (비음) 용액은 짝수 n을 가진 쌍(H_n, P_n)이며, H² - 2P² = -1에 대한 용액은 홀수 n을 가진 쌍(H_n, P_n)이다. 이를 보려면 먼저 다음 사항을 기록해 두십시오.

${\displaystyle H_{n+1}^{2}-2P_{n+1}^{2}=\left(H_{n}+2P_{n}\right)^{2}-2\left(H_{n}+P_{n}\right)^{2}=-\left(H_{n}^{2}-2P_{n}^{2}\right),}$

H²
₀ - 2P²
₀ = 1로 시작하는 이러한 차이가 1과 -1이 번갈아 나타나도록 한다. 그리고 나서 모든 양의 용액은 이후 작은 정수를 가진 용액에서 이러한 방식으로 나온다는 점에 유의하십시오.

${\displaystyle(2P-H)^{2}-2(H-P)^{2}=-\좌(H^{2}-2P^{2}\우)}$

작은 용액도 양의 정수를 가지며, 단 한 가지 예외는 다음과 같다. H = P = 1이며 H₀₀ = 1 및 P = 0에서 나온다.

정사각 삼각형 수

필요한 방정식

${\displaystyle {\frac {t(t+1)}{2}}}}=s^{2}\,}$

등가: ${\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle \mathrm{t}}$+ ${\displaystyle 1}$= 8 ${\displaystyle {초\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$+ 1${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 4t^{2}+4t+1=8s^{2}+1,}$과²(와) 같으며, H = 2P² + 1이 되고 대체 H = 2t + 1과 P = 2s가 된다. 따라서 n번째 해결책은

${\displaystyle t_{n}={\frac {H_{2n}-1}{2}}:\quad {\mbox{and}}\quad s_{n}={\frac {P_{2n}}{2}}}}}}}.}$

t(t + 1)/2 = s가² 인접한 정수일 때 정확히 발생하도록 t(t + 1)/2 = 1 제곱 H², 다른 2 제곱 2P를 관찰한다². 우리가 그 방정식의 모든 해답을 알고 있기 때문에, 우리는 또한

${\displaystyle t_{n}={\display{case}2P_{n}^{2}&{\mbox{{{}n{\mbox{이른 경우};\\\H_{n}^{2}&{\mbox{{}}{{}n{\mbox{{}}{{}는 홀수다.}}}\end{case}}$

및 $s{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle P_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$. ${\displaystyle s_{n}=$$H_{n}P_{n}.$$}$

이 대체 표현은 다음 표에서 볼 수 있다.

n	Hn	Pn	t	t + 1	s	a	b	c
0	1	0
1	1	1	1	2	1	3	4	5
2	3	2	8	9	6	20	21	29
3	7	5	49	50	35	119	120	169
4	17	12	288	289	204	696	697	985
5	41	29	1681	1682	1189	4059	4060	5741
6	99	70	9800	9801	6930	23660	23661	33461

피타고라스 삼배

동등² c = a² + (a + 1) =² 2a² + 2a + 1은 2c² = 4a² + 2가 되고 2P² = H² + 1과 대체 H = 2a + 1이 될 때 정확히 발생한다. 따라서 n번째 솔루션은 a_n = H_2n+1 - 1/2과 c = P이다_n2n+1.

위의_n 표는 a와_n b_n = + 1이_n HH와_nn+1 2PP인_nn+1 반면 c = HP_n+1n + PH를_n+1n 나타낸다.

메모들

참조

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Pell Number". MathWorld.
• OEIS 시퀀스 A001333(sqrt(2)에 대한 지속적인 분수 수렴의 숫자)—동일한 근사 배열의 숫자