피에르폰트 전성기

피에르폰트 전성기
이름을 따서 명명됨	제임스 피에르폰트
No. 알려진.	수천
용어의 추측	무한
부분적합성	피어폰트 수
제1항	2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257, 433, 487, 577, 769, 1153, 1297, 1459, 2593, 2917, 3457, 3889
가장 큰 알려진 용어	3×216,408,818 + 1
OEIS 지수	A005109

피에르폰트 프라임은 형태의 프라임 숫자다.

2^{u}\cdot 3^{v}+1\,

음이 아닌 정수와

v

를 위해.

즉

, p -

1

이 3-smooth인

소수점

p이다. 원뿔형 단면을 이용해 만들 수 있는 일반 다각형 연구에 이들을 도입한 수학자 제임스 피에르폰트의 이름을 따온 것으로 자, 나침반, 앵글 삼지창을 이용해 만들 수 있는 일반 다각형이기도 하고, 종이접기를 이용해 만들 수 있는 일반 다각형이기도 하다.

pierpont prime( $v$ = 0)는 형식 $2^{u}+1$ $2^{u}+1$ + $2^{u}+1$ 이고 $2^{u}+1$ $따라서$ Fermat prime( $u$ = $0$ 이 아닌 경우)이다. $v$ 가 양수인 경우 $u$ 도 양수여야 하며( $3^{v}+1$ $3^{v}+1$ + $3^{v}+1$ $3^{v}+1$ 가 $3^{v}+1$ 짝수 2보다 크므로 원시적이지 않기 때문에) 따라서 비 Fermat Piermont primes는 $모두$ k가 양의 정수일 때(2, $u = 0$ 일 경우 제외) $6k$ + 1 $형식$ 을 갖는다.

삐에폰트 프리타임의 처음 몇 가지는 다음과 같다.

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257, 433, 487, 577, 769, 1153, 1297, 1459, 2593, 2917, 3457, 3889, 10369, 12289, 17497, 18433, 39367, 52489, 65537, 139969, 147457, 209953, 331777, 472393, 629857, 746497, 786433, 839809, 995329, ... (sequence A005109 in the OEIS)

2022년^[update] 현재 가장 큰 것으로 알려진 피에르폰트 프라임은 3×2^16408818 + 1로, 소수점 493만 9,547자리 숫자다.^[1]

분배

수학의 미해결 문제:

피에르폰트 프라임이 무한히 많은가?

(수학에서 더 풀리지 않은 문제)

작은 Pierpont primes에 관한 연구

경험상 피에르폰트 프리타임은 특별히 희귀하거나 희박한 분포는 아닌 것 같다; 피에르폰 프리타임은 10보다⁶ 42개, 10보다⁹ 65개, 10보다²⁰ 157개, 10보다¹⁰⁰ 795개가 적다. 피에르폰트 프리타임에 대한 대수적 요인설정의 제약이 거의 없기 때문에 메르센의 프라임 조건과 같이 지수가 프라임이어야 한다는 요구사항은 없다. 따라서 올바른 $2^{u}\cdot 3^{v}+1$ 의 n자리 $2^{u}\cdot 3^{v}+1$ 2 $2^{u}\cdot 3^{v}+1$ u u $2^{u}\cdot 3^{v}+1$ 3 v + $2^{u}\cdot 3^{v}+1$ (\ $displaystyle$ 2 $^{u}\cdot 3$ $^{$ $v}+1}$ 중에서 소수인 부분은 1/ $n$ 에 비례하여 모든 n자리 숫자 중 소수인 프라임 숫자의 비율과 유사한 비율을 가져야 한다 $2^{u}\cdot 3^{v}+1$ 이 범위에는 $\Theta (n)$ $\Theta (n^{2})$ ( $\Theta (n^{2})$ $\Theta (n^{2})$ ) $\Teta (n^{2})$ 개의 $\Theta (n^{2})$ 올바른 형식이 있으므로, $\Theta (n)$ ( $\Theta (n)$ ) $\Theta (n)$ Pierpont $\Theta (n)$ primes가 있어야 한다.

앤드류 M. 글리슨은 이 추론을 노골화하여 피에르폰트 프리마임이 무한히 많다고 추측하고, 더 구체적으로 피에르폰트 프리마임이 최대 $10번$ 까지ⁿ 약 $9n개여야$ 한다고 추측했다.^[2] 글리슨의 추측에 따르면, 그 범위에 메르센 프리타임의 $O(\log \log N)$ 더 작은 추측 $O(\log \log N)$ O $O(\log \log N)$ ( N $){\$ $displaystyle \theta (\log$ N $)}$ 피에폰트 $\Theta (\log N)$ 프리타임은 N보다 작은 $\Theta (\log N)$ $(\displaystyle O$ (\ $log N)$ 이 있다.

프라이머리티 테스트

$2$ $2^{u}>3^{v}$ > $2^{u}>3^{v}$ $2^{u}>3^{v}$ > 3 $2^{u}\cdot 3^{v}+1$ > {\ $displaystyle$ 2 $2^{u}\cdot 3^{v}+1$ $u}}>$ $^{v}}}}}$ 의 원초성을 프로스의 정리를 통해 테스트할 수 있다 $.$ 한편, $M=2^{u}\cdot 3^{v}+1$ = $M=2^{u}\cdot 3^{v}+1$ $2^{u}<3^{v}$ < $2^{u}<3^{v}$ v < $2^{u}<3^{v}$ $M=2^{u}\cdot 3^{v}+1$ $u$ > 2 $2^{u}<3^{v}$ $M=2^{u}\cdot 3^{v}+1$ $v 3$ + $M=2^{u}\cdot 3^{v}+1$ ${\$ $2^{u}<3^{v}$ $displaystyle$ $M=2^{u}\cdot$ 3 $^{v}+$ $1}$ 에 $M-1$ 대한 $2^{u}<3^{v}$ 프라이머리티 테스트가 3을 작은 $M-1$ 로 $M-1$ 경우에도 가능하다 $M=2^{u}\cdot 3^{v}+1$ .^[3]

폴리곤 구조

종이접기의 수학에서 후지타 공리는 가능한 7종류의 접이식 중 6종을 정의한다. 이러한 접힘은 어떤 입방정식을 푸는 점의 구성을 가능케 하기에 충분하다는 것이 밝혀졌다.^[4] $따라서$ N $3$ 3과 23 $ρ$ 의^mⁿ $형태$ 인 N 면의 어떤 규칙적인 다각형도 형성할 수 있으며, 여기서 $ρ$ 은 뚜렷한 피에르폰트 프리임의 산물이다. 이것은 나침반, 직선, 각도-탐지기로 구성할 수 있는 것과 같은 등급의 일반 다각형이다.^[2] 나침반과 직선(구성 가능한 폴리곤)만으로 구성할 수 있는 일반 폴리곤은, $n$ = $0$ 과 $ρ$ 은 구별되는 페르마 프라임의 산물이며, 그 자체가 피에르폰트 프라임의 일부인 특수한 경우다.

1895년, 제임스 피에르폰트는 같은 종류의 일반 폴리곤을 공부했다. 그의 작품은 피에르폰트족에게 이름을 주는 것이다. 피어폰트는 이전에 구성된 지점에서 계수가 나온 원뿔 단면을 그리는 기능을 추가함으로써 나침반과 직선 가장자리 구조를 다른 방식으로 일반화했다. 그가 보여 준 것처럼 이러한 작전으로 시공할 수 있는 일반 N-gon은 $N$ 의 토텐트가 3-smooth인 것이다. 프라임의 토텐트는 그것에서 하나를 빼서 형성되기 때문에, 피에르폰트의 건설 공사가 진행되는 프리타임 $N$ 은 정확히 피에르폰트의 프리타임이다. 그러나 피어폰트는 3-smooth tote를 가진 합성수의 형태는 설명하지 않았다.^[5] 글레이슨이 나중에 보여주었듯이, 이 숫자들은 위에서 주어진 $23ρ m n$ 형식의 숫자들이다.^[2]

피에르폰트(혹은 페르마) 전성기가 아닌 가장 작은 프라임은 11이므로, 헨데카곤은 나침반, 직선 테두리, 각도 트리섹터(또는 종이접기, 원뿔 부분)로 구성할 수 없는 최초의 정규 폴리곤이다. $3˚ N$ ≤ $21$ 의 다른 모든 일반 N-gon은 나침반, 직선자 및 삼지각자로 구성될 수 있다.^[2]

일반화

제2종 피에르폰트 프라임은 23^u^v - 1 형식의 프라임 번호다. 이 숫자들은

2, 3, 5, 7, 11, 17, 23, 31, 47, 53, 71, 107, 127, 191, 383, 431, 647, 863, 971, 1151, 2591, 4373, 6143, 6911, 8191, 8747, 13121, 15551, 23327, 27647, 62207, 73727, 131071, 139967, 165887, 294911, 314927, 442367, 472391, 497663, 524287, 786431, 995327, ... (sequence A005105 in the OEIS)

이러한 유형의 가장 큰 것으로 알려진 소수점은 메르센 프리타임이며, 현재 가장 많이 알려진 $2^{82589933}-1$ 2 $2^{82589933}-1$ - $2^{82589933}-1$ ${\displaystyle$ 2 $^{82589933}-$ }(2486,048자리)이다. 메르센 프라임이 아닌 2종 피에르폰트 프라임은 $3\cdot 2^{18196595}-1$ 3★ 2 $3\cdot 2^{18196595}-1$ - $3\cdot 2^{18196595}-1$ ${\displaystyle 3\cdot$ 2 $^{18196595}-1}$ 이다 $3\cdot 2^{18196595}-1$ ^[6]

일반화된 피에폰트 프라임은 p $p_{1}^{n_{1}}\!\cdot p_{2}^{n_{2}}\!\cdot p_{3}^{n_{3}}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{n_{k}}+1$ $p_{1}^{n_{1}}\!\cdot p_{2}^{n_{2}}\!\cdot p_{3}^{n_{3}}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{n_{k}}+1$ $p_{1}^{n_{1}}\!\cdot p_{2}^{n_{2}}\!\cdot p_{3}^{n_{3}}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{n_{k}}+1$ $p_{1}^{n_{1}}\!\cdot p_{2}^{n_{2}}\!\cdot p_{3}^{n_{3}}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{n_{k}}+1$ p $p_{1}^{n_{1}}\!\cdot p_{2}^{n_{2}}\!\cdot p_{3}^{n_{3}}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{n_{k}}+1$ ⋅ $p_{1}^{n_{1}}\!\cdot p_{2}^{n_{2}}\!\cdot p_{3}^{n_{3}}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{n_{k}}+1$ $p_{1}^{n_{1}}\!\cdot p_{2}^{n_{2}}\!\cdot p_{3}^{n_{3}}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{n_{k}}+1$ $p_{1}^{n_{1}}\!\cdot p_{2}^{n_{2}}\!\cdot p_{3}^{n_{3}}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{n_{k}}+1$ p $p_{1}^{n_{1}}\!\cdot p_{2}^{n_{2}}\!\cdot p_{3}^{n_{3}}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{n_{k}}+1$ n $p_{1}^{n_{1}}\!\cdot p_{2}^{n_{2}}\!\cdot p_{3}^{n_{3}}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{n_{k}}+1$ … $p_{1}^{n_{1}}\!\cdot p_{2}^{n_{2}}\!\cdot p_{3}^{n_{3}}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{n_{k}}+1$ $p_{1}^{n_{1}}\!\cdot p_{2}^{n_{2}}\!\cdot p_{3}^{n_{3}}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{n_{k}}+1$ k $p_{1}^{n_{1}}\!\cdot p_{2}^{n_{2}}\!\cdot p_{3}^{n_{3}}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{n_{k}}+1$ + $p_{1}^{n_{1}}\!\cdot p_{2}^{n_{2}}\!\cdot p_{3}^{n_{3}}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{n_{k}}+1$ { p k + 1 ${\displaystyle p_{1}^{n_{1}}\!$ $\cdot p_{2}^{n_{2}}\!\cdot p_{3}^{n_{3}}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{n_{k}}+1}$ with k fixed primes p₁ < p₂ < p₃ < ... < p_k. A generalized Pierpont prime of the second kind is a prime of the form ${\displaystyle p_{1}^{n_{1}}\!$ $\cdot p_{2}^{n_{2}}\!\cdot p_{3}^{n_{3}\\cdots$ \ldots \cdots \ $cdot$ p_ ${k$ }^{k}^{k $p_{1}^{n_{1}}\!\cdot p_{2}^{n_{2}}\!\cdot p_{3}^{n_{3}}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{n_{k}}-1$ _k $}-1}$ k 고정 p < p₁ > 2보다₂₃ 큰 모든 프리타임은 홀수이므로 두 종류 모두₁ 2여야 한다. OEIS에서 그러한 프리타임의 순서는 다음과 같다.

{p₁, p₂, p₃, ..., p_k}	+ 1	− 1
{2}	OEIS: A092506	OEIS: A000668
{2, 3}	OEIS: A005109	OEIS: A005105
{2, 5}	OEIS: A077497	OEIS: A077313
{2, 3, 5}	OEIS: A002200	OEIS: A293194
{2, 7}	OEIS: A077498	OEIS: A077314
{2, 3, 5, 7}	OEIS: A174144	OEIS: A347977
{2, 11}	OEIS: A077499	OEIS: A077315
{2, 13}	OEIS: A173236	OEIS: A173062

참고 항목

$N=k\cdot 2^{n}+1$ prime, $N=k\cdot 2^{n}+1$ N $N=k\cdot 2^{n}+1$ = k $N=k\cdot 2^{n}+1$ $N=k\cdot 2^{n}+1$ + $N=k\cdot 2^{n}+1$ ${\displaystyle N=k\cdot$ 2 $^{n}+1},$ 여기서 $N=k\cdot 2^{n}+1$ k와 n은 양의 $k$ 인 k ${\displaystyle$ k $}$ 은(는) 홀수이고 $k$ $2^{n}>k.$ > $2^{n}>k.$ ${\displaystystyle$ 2 $^{n}k이다.$ $}$

참조

^ Caldwell, Chris, "The largest known primes", The Prime Pages, retrieved 8 January 2021; "The Prime Database: 3*2^16408818+1", The Prime Pages, retrieved 8 January 2021
^ ^a ^b ^c ^d Gleason, Andrew M. (1988), "Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon", American Mathematical Monthly, 95 (3): 185–194, doi:10.2307/2323624, MR 0935432. 각주 8, 페이지 191.
^ Kirfel, Christoph; Rødseth, Øystein J. (2001), "On the primality of $2h\cdot 3^{n}+1$ ", Discrete Mathematics, 241 (1–3): 395–406, doi:10.1016/S0012-365X(01)00125-X, MR 1861431.
^ Hull, Thomas C. (2011), "Solving cubics with creases: the work of Beloch and Lill", American Mathematical Monthly, 118 (4): 307–315, doi:10.4169/amer.math.monthly.118.04.307, MR 2800341.
^ Pierpont, James (1895), "On an undemonstrated theorem of the Disquisitiones Arithmeticæ", Bulletin of the American Mathematical Society, 2 (3): 77–83, doi:10.1090/S0002-9904-1895-00317-1, MR 1557414.
^ "PrimePage Primes: 3 · 2^18196595 - 1". primes.utm.edu. Retrieved 21 January 2022.

[1] Caldwell, Chris, "The largest known primes", The Prime Pages, retrieved 8 January 2021; "The Prime Database: 3*2^16408818+1", The Prime Pages, retrieved 8 January 2021

[g98-2] Gleason, Andrew M. (1988), "Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon", American Mathematical Monthly, 95 (3): 185–194, doi:10.2307/2323624, MR 0935432. 각주 8, 페이지 191.

[3] Kirfel, Christoph; Rødseth, Øystein J. (2001), "On the primality of $2h\cdot 3^{n}+1$ ", Discrete Mathematics, 241 (1–3): 395–406, doi:10.1016/S0012-365X(01)00125-X, MR 1861431.

[4] Hull, Thomas C. (2011), "Solving cubics with creases: the work of Beloch and Lill", American Mathematical Monthly, 118 (4): 307–315, doi:10.4169/amer.math.monthly.118.04.307, MR 2800341.

[5] Pierpont, James (1895), "On an undemonstrated theorem of the Disquisitiones Arithmeticæ", Bulletin of the American Mathematical Society, 2 (3): 77–83, doi:10.1090/S0002-9904-1895-00317-1, MR 1557414.

[6] "PrimePage Primes: 3 · 2^18196595 - 1". primes.utm.edu. Retrieved 21 January 2022.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

v t 프라임 번호 클래스
수식별	페르마( $2 2 n$ + $1$ ) 메르센( $2 p$ - $1$ ) 더블 메르센( $2 2 p -1$ - $1$ ) 와그스태프( $2 p +1)/3$ 프로트( $k /2 n$ + $1$ ) 요인( $n!$ ± $1$ ) 원시적( $p n #$ ± $1$ ) 유클리드( $p n #$ + $1$ ) 피타고라스 ( $4n$ + 1) 삐에폰트(2 $/3 m n$ + $1$ ) 쿼탄( $x 4 4$ + y) 솔리나스( $2 m$ ± 2 ± $1 n$ ) 컬렌 ( $n \cdot2 n$ + $1$ ) 우달( $n /2 n$ - $1$ ) 쿠바어( $x 3 3$ - y $)/(x$ - $y$ ) 레이랜드( $x y x$ + y) 타비트( $3/2 n$ - $1$ ) 윌리엄스 ( $b-1)\cdot b n$ - $1$ ) 밀스(⌊ $A 3 n ⌋)$
정수순별	피보나치 루카스 펠 뉴먼-상크스-윌리엄스 페린 파티션 벨 모츠킨
재산별	위페리히 (페어) 월선 월스텐홀름 윌슨 럭키 행운의 라마누잔 필라이 정규 강하다 선미 초점수(엘리프틱 곡선) 슈퍼싱글러 (달빛설) 좋아 잘 하는 군요 힉스 매우 편협한
기저 의존적	팔린드로믹 에미르프 재단위 $(10 n$ - 1 $)/9$ 퍼머블 원형 잘릴 수 있음 미니멀 섬세한 프라임벌 풀 파충류 유니크 행복하다 셀프 스마란다체-웰린 스트로보그램법 디헤드랄 테트라디어
패턴	트윈( $p,$ p + $2$ ) 바이-트윈 체인( $n$ - 1 $, n$ + 1 $, 2n$ - 1 $, 2n$ + 1, $\dots)$ 트리플릿( $p,$ $p$ + 2 $또는$ $p$ + 4 $, p$ + $6$ ) 쿼드러플릿( $p,$ $p$ + 2 $,$ $p$ + 6 $, p$ + $8$ ) k-투플 사촌( $p,$ p + $4$ ) 섹시( $p,$ p + $6$ ) 첸 소피 제르맹/세이프( $p, 2p$ + $1$ ) 커닝햄( $p, 2p$ ± 1, $4p$ ± 3, $8p$ ± 7, $...)$ 산술수열( $p$ + $a\cdotn,$ $n$ = $0,$ 1, 2 $, 3$ , $...)$ 균형( $연속$ $p$ - $n,$ $p,$ p + $n$ )
크기별	메가(100,000자리 이상) 알려진 것 중 가장 큰 것
콤플렉스	아이젠슈타인 전성기 가우스 프라임
합성수	가성비 카탈루냐 주 타원체 오일러 오일러자코비 페르마 프로베니우스 루카스 소머루카스 강하다 카마이클 수 거의 전성기 세미프라임 인터프라임 치명적
관련 항목	개연성 프라임 산업용 프라임 불법 프라임 소수점 수식 프라임 갭
처음 60회	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
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