제이콥스탈 수

수학에서 제이콥스탈 숫자는 독일의 수학자 에른스트 제이콥스탈의 이름을 딴 정수열이다.관련 피보나치 숫자와 마찬가지로 P = 1, Q = -2인$$^[1] 루카스 $수열{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {Un}_{}}$(${\displaystyle P}$ ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle Q}$) ${\displaystyle U_{n}(P,Q$)}(P,Q$)$의 특정 유형이며, 이와 유사한 재발관계로 수열이 정의된다. 간단히 말해서 수열은 0과 1로 시작하고, 그 이전의 숫자를 2배로 추가하면 각각 다음과 같은 숫자가 발견된다.그전에Jacobsthal의 첫 번째 숫자는 다음과 같다.

0, 1, 1, 3, 5, 11, 23, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10923, 21845, 43691, 87381, 174763, 349525, (OEIS의 경우 순차 A001045)

Jacobsthal 프라임은 또한 프라임인 Jacobsthal 수이다.첫 번째 제이콥스탈 프라임은 다음과 같다.

3, 5, 11, 43, 683, 2731, 43691, 174763, 2796203, 715827883, 2932031007403, 768614336404564651, 201487636602438195784363, 845100400152152934331135470251, 56713727820156410577229101238628035243, … (sequence A049883 in the OEIS)

제이콥스탈 수

Jacobsthal 숫자는 반복 관계에 의해 정의된다.

${\displaystyle J_{n}={\begin{case}0&{\mbox{if{n=0;\\1&{\mbox{{n=1;\n_\j_}+2J_{n-2}&{\mbox{n}}1}1}.\\end{case}}$

다음 제이콥스탈 숫자도 재귀 공식에 의해 주어진다.

${\displaystyle J_{n+1}=2J_{n}+(-1)^{n}\...}$

또는 다음을 통해:

${\displaystyle J_{n+1}=2^{n}-J_{n}\,}$

위의 첫 번째 재귀 공식도 2의 힘으로 만족한다.

시퀀스의 특정 지점에 있는 제이콥스탈 번호는 폐쇄형 방정식을 사용하여 직접 계산할 수 있다.^[2]

${\displaystyle J_{n}={\frac {2^{n}-(-1)^{n}}}{n}}.}$

Jacobsthal 숫자의 생성 함수는

${\displaystyle {\frac {x}{(1+x)(1-2x)}}.}$

제이콥스탈 숫자의 왕복 합계는 대략 2.7186으로 e보다 약간 크다.

Jacobsthal 수치는 반복 관계나 명시적 공식을 사용하여 음의 지수로 확장될 수 있으며, 다음과 같은 결과를 제공한다.

${\displaystyle {}_{}\mathrm{J}{}_{}}$- ${\displaystyle n_{}}$=${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- 1${\displaystyle {}^{}}$) n${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle J_{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$/ ${\displaystyle {2n}^{}}$ ${\$n}/{n}{n}}}}}}{n}}}}{n}}}}}{n}}{n}{n}}}}}}}}{n}}}}}}}}}}}}}}{$$n}}}

다음과 같은 정체성이 유지된다.

${\$$J_{n}^{2$}}$$(OEIS: A139818 참조)

제이콥스탈-루카스 수

Jacobsthal-Lucas 번호는 보완 Lucas $시퀀스{\displaystyle {}_{}}$ V ${\displaystyle n_{}}$(${\displaystyle 1,}$- 2${\displaystyle }$) ${\displaystyle V_{n}(1,-2)}$을(를$)$ 나타낸다.이들은 Jacobsthal 숫자와 동일한 반복 관계를 만족하지만 초기 값은 서로 다르다.

${\displaystyle j_{n}={\displaysty}{\mbox}2&{{\n=0;\\1&{\mbox{{n=1;\n_\n-1}+2j_{n-2}&{\mbox{n}1}1}.\\end{case}}$

다음의 제이콥스탈-루카스 수 또한 다음을 만족한다.^[2]

${\displaystyle j_{n+1}=2j_{n}-3(-1)^{n}\,}$

시퀀스의 특정 지점에서 Jacobsthal-Lucas 번호는 폐쇄형 방정식을 사용하여 직접 계산할 수 있다.^[2]

${\displaystyle j_{n}=2^{n}+(-1)^{n}\,}$

첫 번째 Jacobsthal-Lucas 번호는 다음과 같다.

2, 1, 5, 7, 17, 31, 65, 127, 257, 511, 1025, 2047, 4097, 8191, 16385, 32767, 65537, 131071, 262145, 524287, 1048577, (OEIS에서 연속 A014551).

제이콥스탈 오벌롱 수

첫 번째 Jacobsthal Oblong 번호는 0, 1, 3, 15, 55, 231, 903, 3655, 14535, 58311이며, (OEIS에서 순서 A084175)

${\displaystyle Jo_{n}=J_{n}J_{n+1}:{n+1}:{n2}}$

참조