밀도 세트

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수학의 위상 및 관련 영역에서 위상학적 공간 X의 부분집합 A는 X의 모든 포인트가 A에 속하거나 또는 다른 포인트가 A의 멤버에 임의로 "가까이" 있는 경우 X에 밀도가 높다고 한다. 예를 들어, 모든 실수는 합리적인 숫자 또는 합리적인 숫자를 가지기 때문에, 실수의 밀도가 높은 부분집합이다. 임의로 그것에 가깝게(Diopantine 근사 참조). 형식적으로 $A{\displaystyle }${\$displaystyle A}$이(^[1]가) $포함$된 X$${\$displaystyle$X}의 가장 작은 닫힌 부분 $집합$이 X ${\$displaystyle X$}$ 그$$ 자체인 경우$$ $A{\displaystyle }${\$displaystyle A}$은(는)$$X {\$displaystystyle X$$}$에 밀도가 있다$$.

위상학적 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 밀도는 $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle X}$의 밀도 하위 집합에서 카디널리티가 가장 작다$$.

정의

위상학적 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 $부분{\displaystyle }$ 집합 A ${\displaystyle A}$은(는) 다음과 같은 동등한 조건 중 하나가 충족되면$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 밀집된 부분 집합이라고 한다$$.

1. $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$을(를) 포함하는$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 가장 작은 닫힌 부분 집합은 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$ 그 자체다$$$$.
2. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 A ${\displaystyle A}$이(가$$)${\displaystyle }닫히는{\displaystyle }$것은 X . ${\$${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ X$.$ 즉$$, ${\displaystyle {cl}_{}}$cl A${\displaystyle }$= ${\displaystyle X}$. ${\displaysty \operatorname {cl} _{X}A=X$.$}$
3. $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 보완재 내부가 비어$$ 있다. 즉, ${\displaystyle {int}_{}}$ X${\displaystyle {}_{}(X}$ ${\displaystyle \setminus }$ A${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \varnothing .}$ ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}(X\setminus$ A$)=\varnot.}$
4. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 모든 점은 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에 속하거나$$$$ $A{\displaystyle }$ .${\displaystyle A$의 한계점이다$.$$}$
5. ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ X${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ $x$$\$$in$ X$}$에 대해 모든 $이웃$ U ${\displaystyle$ $U$$}$이(가) $A{\displaystyle ;}$ ${\displaystyle$ A$;},$ 즉 $U$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U\cap$ A$\neq \varnothing$.}과(으$)$로 교차한다.
6. ${\displaystyle \mathrm{비어}}$ 있지 않은 $모든{\displaystyle }$ X${\displaystyle }$. ${\displaystyle X}$ 부분 집합과 교차하는$$ ${\displaystyle A}$

$그리고{\displaystyle }$ B ${\$이(가) X ${\displaystyle$ X$}$의 토폴로지에 대한 열린 집합의 기초인 경우 이$$ 목록을 확장하여 다음을 포함할 수 있다.

7. $모든{\displaystyle }$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ X${\displaystyle }$, ${\displaystyle x\in$ X$,}$ x ${\displaystyle x}$의 모든 기본 근린 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle B\mathcal{}}$ ${\$ B$\in {\mathcal {B}}$이($가{\displaystyle }$) A${\displaystyle }$. ${\displaystystyle A$와 교차한다$.$$}$
8. ${\displaystyle A}$은(는) 비어 있지 않은 $모든{\displaystyle }$ B ${\displaystyle \in }$ B${\displaystyle }$. ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}$과(와) 교차한다$$.$}$

미터법 공간 밀도

미터법 공간의 경우 밀도 집합에 대한 대체 정의는 다음과 같다. X ${\displaystyle X}$의 토폴로지가 메트릭에 의해 주어지는$$ 경우, $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 A ${\displaystyle$ $A$$}$의 닫힘 A${\displaystyle{A}$는 A ${\displaystysty A}$의 조합이며, $A$의 요소 시퀀스에 대한 모든 제한(점)$$ 집합이다.

그런 다음 $A{\displaystyle }${\$displaystyle A}$이(가) X$${\$displaystyle X}$에 밀도(밀도) 있는$$ 경우

$\{{\displaystyle {Un}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$인 경우$U_{n}\right\}}$ is a sequence of dense open sets in a complete metric space, ${\displaystyle X,}$ then ${\textstyle \bigcap _{n=1}^{\infty }U_{n}}$ is also dense in ${\displaystyle X.}$ This fact is one of the equivalent forms of the Baire category theorem.

예

일반적인 위상의 실제 숫자는 계산 가능한 밀도 부분 집합으로서 합리적인 숫자를 가지고 있는데, 위상학적 공간의 밀집 부분 집합의 카디널리티가 공간 자체의 카디널리티보다 엄격히 작을 수 있다는 것을 보여준다. 비합리적인 숫자는 위상학적 공간에 여러 개의 분리된 밀도 하위 집합(특히, 두 개의 밀도 하위 집합이 서로 보완될 수 있음)이 있을 수 있다는 것을 보여주는 또 다른 밀도 하위 집합이며, 같은 카디널리티를 가질 필요도 없다. 어쩌면 더욱 놀랍게도 이성계와 비이성계 모두 빈 내부를 갖고 있어 촘촘한 세트들이 비어 있지 않은 오픈 세트를 포함할 필요가 없다는 것을 보여준다. 위상학적 공간의 두 개의 밀도 높은 오픈 서브셋의 교차점이 다시 밀도 있고 개방되어 있다.^{[proof 1]} 빈 세트는 그 자체의 밀도 높은 부분집합이다. 그러나 비어 있지 않은 공간의 모든 밀집된 부분 집합도 비어 있지 않아야 한다.

Weierstrass 근사치 정리를 통해, 닫힌 간격 [${\displaystyle }$a${\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [a,b]}$에 정의된 모든 주어진 복합 값 연속 함수는 다항 함수에 의해 원하는 만큼 균일하게 근사치를 계산할 수 있다$$. 즉, 다항식 함수는 최상규범을 ${\displaystyle \mathrm{갖춘}}{\displaystyle }$[${\displaystyle }$a${\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$],${\displaystyle$ $C[a$$,b]$의 구간에서 연속적인 복합값 함수의 공간$$ $C{\displaystyle }$$[,b$]에서 밀도가 높다.

모든 미터법 공간은 그 완성에 밀도가 높다.

특성.

모든 위상학적 공간은 그 자체의 밀도 높은 부분집합이다. 이산형 위상이 장착된 세트$$ X ${\displaystyle X}$의 경우 전체 공간이 유일한 고밀도 부분 집합이다. 사소한 위상이 장착된$$ 세트 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 모든 비어 있지 않은 부분 집합은 밀도가 높으며, 비어 있지 않은 부분 집합이 모두 밀도가 높은 모든 위상은 사소해야 한다.

Denseness is transitive: Given three subsets ${\displaystyle A,B}$ and ${\displaystyle C}$ of a topological space ${\displaystyle X}$ with ${\displaystyle A\subseteq B\subseteq C\subseteq X}$ such that ${\displaystyle A}$ is dense in ${\displaystyle B}$ and ${\displaystyle B}$ $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ C$}($각 하위 공간 토폴로지에서)에서 밀도가 높으면 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$도 $C{\displaystyle .}$ ${\displaystyle C$에서 조밀도가 높다$$$.$$}$

허탈한 연속함수 아래 촘촘한 부분 집합의 영상이 다시 촘촘하다. 위상학적 공간의 밀도(밀도 하위 집합의 추기경 중 가장 적은 것)는 위상학적 불변성이다.

밀도가 높은 부분집합이 연결된 위상학적 공간은 반드시 그 자체로 연결된다.

Hausdorff 공간에 대한 연속 함수는 밀집 하위 집합에 대한 값에 의해 결정된다. 두 연속함수 $f{\displaystyle }$${\displaystyle }$, g :${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle f,g:X\to Y$$}$이(가) $Hausdorff{\displaystyle }$$$공간 Y {\$displaystyle X}$의 밀도 하위 집합에 대해$$ 일치하면${\displaystyle }모든{\displaystyle }$ X . ${\displaystyle$ X}에 대해 합의한다$.$

For metric spaces there are universal spaces, into which all spaces of given density can be embedded: a metric space of density ${\displaystyle \alpha }$ is isometric to a subspace of ${\displaystyle C\left([0,1]^{\alpha },\mathbb {R} \right),}$ the space of real continuous functions on the product of ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$개의 단위 간격 복사본$$. ^[2]

관련 개념

위상학적 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 부분 집합 $A$의$점{\displaystyle }$ x {\$displaystyle$ $x$$}$은(는) $x{\displaystyle }${\$displaystyle x}$의 모든 인접 $영역$이 x {\displaystyle x$}$이($가)$ 아닌$A{\displaystyle }$ {\$displaystystyle A}$의 점을 포함할 경우$A$의 한계점이라고 한다$$$.$$스타일 x}$ 자체$$ 및 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 격리된 지점. 고립된 지점이 없는 부분집합은 그 자체로 밀도가 높다고 한다.

위상학적 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 부분 집합 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$은(는) $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 조밀한 X ${\displaystyle$ X$}$에 인접하지 않으면 nothere density($X{\displaystyle }$ ${\displaystystyle X$라고 한다. 마찬가지로 위상학적 공간의 부분 집합은 닫힘 내부가 비어 있는 경우에만 밀도가 높은 곳이 없다. 어디에도 없는 촘촘한 세트의 보어들의 내부는 항상 촘촘하다. 밀도가 높은 밀도 세트가 촘촘한 오픈 세트가 돋보인다. 위상학적 $공간{\displaystyle }$ X${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ X$}$을(를) 지정하면 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 어느 곳에서도 찾을 수 없는 밀도 하위 집합의 조합으로 표현될 수 있는$$$$ $부분{\displaystyle }$ 집합 A의$${\$displaystyle A}$을(를) 미그레라고 부른다$$. 이성적인 숫자들은, 실제 숫자들이 밀집되어 있는 반면, 현실의 부분집합으로서 미약하다.

계산 가능한 밀도 하위 집합이 있는 위상학적 공간을 분리 가능 공간이라고 한다. 위상학적 공간은 셀 수 없이 많은 밀도가 높은 오픈 세트의 교차점이 항상 밀도가 높은 경우에만 Baire 공간이다. 위상학적 공간은 두 개의 분리밀도 하위 집합의 결합일 경우 분해할 수 있다고 불린다. 보다 일반적으로 위상학적 공간은 κ 쌍으로 된 분리밀도 집합이 포함되어 있는 경우 κ-복원 가능한 공간이라고 한다.

위상학적 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$을(를) 콤팩트 공간의 조밀한 부분 집합으로$$ 포함하는 것을 $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ X$}$의 압축이라고 한다.

위상 벡터 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$과 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$ 사이의 선형 연산자는 해당 $도메인$이 X ${\displaystyle$X}의 조밀한 부분 집합이고 $범위$가${\displaystyle }$Y .$${\$displaystyle Y}$ 내에 포함된 경우, 연속 선형 확장도 참조한다$$$$.

위상학적 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$은(는) 모든 비어 있지 않은 열린 세트가 $X$에 밀도가 있는 경우에만 초연결된다$$${\displaystyle .}${\$displaystyle$X} 위상학적 공간은$$ 모든 밀도가 높은 서브셋이 열려 있는 경우에만 최소값이다.

$({\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$) ${\$가 메트릭 공간인 경우 비어 있지 않은 부분 집합 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$은(는) $\epsilon {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ -dense라고$$ 한다$$.

$D{\displaystyle }$ ${\$ 스타일 D$}$이$(가$) $({\displaystyle X_{}}$, d ${\displaystyle {}_{}}$) ${\$ 스타일 $\left(X,d_{X}\right)$에 밀도가 있다는$$ 것을 알 수 있다 ({X}\$displaystyle \varepsilon >0$마다 ε-dense인 경우에만$$ 알 수 있다$.$$}$

참고 항목

• 블럼버그 정리 – R의 모든 실제 함수는 R의 밀집된 부분집합에 대한 지속적인 제한을 허용한다.
• 밀도순서
• 밀도(격자 이론)

참조

교정쇄

일반참조