무한상품

수학에서, 복잡한₁ 숫자의 순서에 대해, a₂, a₃, a, ... 무한대의 산물.

\prod _{n=1}^{\infit }a_{n}=a_{1}a_{2}a_{3}\cdots }}

n이 제한 없이 증가함에 따라 부분 제품 aa₁₂...a의_n 한계로 정의된다.그 제품은 한계가 존재하고 0이 아닐 때 수렴한다고 한다.그렇지 않으면 제품이 갈라진다고 한다.0의 한계는 무한정 총액과 유사한 결과를 얻기 위해 특별히 취급된다.일부 출처는 한정된 수의 영점 요인만 있고 0이 아닌 인자의 산물이 영점일 경우 정합성을 0으로 허용하지만 단순성을 위해 여기서는 허용하지 않을 것이다.제품이 수렴할 경우, n이 구속 없이 증가함에 따라 시퀀스 a의_n 한계는 1이어야 하고, 반대로 일반적으로는 사실이 아니다.

무한 생산물의 가장 잘 알려진 예는 아마도 비에테(Viéte의 공식, 수학에서 최초로 출판된 무한 생산물)와 존 월리스(Wallis 제품)에 의해 각각 다음과 같은 두 가지 제품과 같은 π에 대한 공식의 일부일 것이다.

{\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \;\cdots

{\frac {\pi }{2}}=\left({\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\right)\cdot \left({\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\right)\cdot \left({\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\right)\cdot \left({\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\right)\cdot \;\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right).

수렴기준

양의 실수의 산물

\prod _{n=1}^{\\inflt }a_{n}}

합계가 0이 아닌 실제 숫자로 수렴되는 경우에만

\sum _{n=1}^{\ft }\log(a_{n})

수렴하다이를 통해 무한정 총액에 대한 수렴 기준을 무한정 상품에 대한 수렴 기준으로 변환할 수 있다.ln(1) = 0을 만족하는 로그의 고정된 분기로 로그가 이해되는 경우 임의 복합수(부정 실체 포함)의 생산물에도 동일한 기준을 적용하며, ln의 영역 밖으로 무한히 많은 수가_n 떨어지면 무한 생산물이 분산된다는 단서도 있다. 반면, 그러한 a는_n 합계에서 무시될 수 있다.

$a_{n}\geq 1$ n $a_{n}\geq 1$ 1 ${\displaystyle a_{n}\geq 1$ 이(가) $a_{n}=1+p_{n}$ = 1 $a_{n}=1+p_{n}$ + $a_{n}=1+p_{n}$ ${\$ 인 reals 제품의 경우, 여기서 $p_{n}\geq 0$ $p_{n}\geq 0$ $p_{n}\geq 0$ ${\displaystyle$ p_{ $n}\geq$ 0 $}, 한계$

1+\sum _{n}p_{n}}\leq \prod_{n1}^{n1}\{n={n}\leq \expleft(\sum _{n=1}^{n}\right)

p의_n 무한합이 수렴되면 무한생산이 수렴된다는 것을 보여준다.이것은 모노톤 융합 정리에 의존한다.만약 $p_{n}\to 0$ → $p_{n}\to 0$ $p_{n}\to 0$ 을(를) 관찰함으로써 그 반전을 보여줄 수 있다 $p_{n}\to 0$

\lim_{n\to\inflt }{\frac {\log(1+p_{n}}}}{p_{n}}}}\lim_{x\to 0}{\frac {\log(1+x)}{x}=1,

그리고 한계 비교 테스트에 의해 두 시리즈가

\sum \{n=1}^{\infit }\log(1+p_{n})\redit {\text{and}}\redit \sum _{n=1}^{\infit }}

둘 다 수렴하거나 갈라지는 등가 의미야

그 같은 증거 또한 0명의 ≤q n<1{\displaystyle 0\leq q_{n}< 1}을 n=1− qn{\displaystyle a_{n}=1-q_{n}}, 만일∑ nx1∞q n{\textstyle \sum고)}전진은 0이 아닌 번호로 n1∞(1− qn){\textstyle \prod_{n=1}(1-q_{n})∏_{n.을 보여 주=1}^{) $덩치$ 가 큰 $}q_{$ n}} 수렴 ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }q_{n}}$

시리즈 ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\log(a_{n})}$ = ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\log(a_{n})}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\log(a_{n})}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\log(a_{n})}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\log(a_{n})}$ ( ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\log(a_{n})}$ ) ${\textstyle$ \sum \ $sum _{n=$ 1}^{\ $ft }\log(a_n})}$ 가 - $-\infty$ ${\displaystyle -\ft$ } $-\infty$ 로 전환되면 ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\log(a_{n})}$ 수렴의_n 부분 제품 순서가 0으로 전환된다.무한의 산물은 0으로 갈라진다고 한다.^[1]

For the case where the $p_{n}$ have arbitrary signs, the convergence of the sum ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n}}$ does not guarantee the convergence of the product ${\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+p_{n})}$ . For example, if $p_{n}={\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n}}}$ $p_{n}={\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n}}}$ , then ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n}}$ converges, but ${\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+p_{n})}$ diverges to zero.However, if ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty } p_{n} }$ is convergent, then the product ${\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+p_{n})}$ converges absolutely–that is, the factors may be rearranged in any order without altering either the convergence, or the limiting value, of 무한 ^[2]생산물또∑ nx1∞ p와 2{\textstyle \sum_{n=1}^{\infty}p_{n}^{2}}가∑ nx1∞ pn{\textstyle \sum_{n=1}^{\infty}p_{n}}과 제품 ∏ nx1∞(1+pn){\textstyle \prod_{n=1}(1+p_{n})}은 둘 다 융합, 또는 둘 다 발산 수렴 있다.[3]

함수의 제품 표현

무한 생산물에 관한 한 가지 중요한 결과는 모든 함수 f(z) (즉, 전체 복합 평면에 걸쳐 홀로모픽인 모든 함수)를 각각 최대 하나의 루트를 가진 전체 함수의 무한 생산물로 인수할 수 있다는 것이다.일반적으로 f가 원점에 m 순서의 근을 가지고 있고 u₁₂, u, u₃, u ...에 다른 복잡한 근을 가지고 있다면(그들의 주문과 동일한 승수를 가진 목록)

f(z)=z^{m}e^{\phi (z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{u_{n}}}\right)\exp \left\lbrace {\frac {z}{u_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{u_{n}}}\right)^{2}+\cdots +{\frac {1}{\lambda _{n}}}\left({\frac {z}{u_{n}}}\right)^{\lambda _{n}}\right\rbrace

여기서 λ은_n 제품이 수렴되도록 선택할 수 있는 음이 아닌 정수이며, $\phi (z)$ ( $\phi (z)$ ) $\phi (z)$ 는 일부 전체 함수(제품이 복잡한 평면에 뿌리를 두지 않을 것이라는 의미)이다 $\phi (z)$ .위의 인자화는 λ의_n 값 선택에 따라 달라지기 때문에 고유하지 않다.그러나 대부분의 기능에는 canon_n = p가 정관제품 표현이라고 불리는 수렴제품을 제공하는 것과 같은 최소 비 음의 정수 p가 있을 것이다.이 p를 정식 제품의 순위라고 한다.p = 0인 경우, 이것은 형식을 취한다.

f(z)=z^{m^{m}e^{\pi(z)}\prod _{n=1}^{n1}^{n1}\flt(1-{\frac {z}{n}}}\오른쪽).

이는 다항식의 경우 산물이 $\phi (z)$ 해지고 $\phi (z)$ ( $\phi (z)$ ) $\phi (z)$ {\ $displaystyle \pi (z)}$ 이(가) 일정하기 $\phi (z)$ 때문에 대수학의 기본 정리를 일반화한 것으로 볼 수 있다.

이러한 사례 외에도 다음과 같은 표현이 특히 주목할 만하다.

함수	무한 제품 표현	메모들
심플 폴	${\frac{c}{c-z}&=\prod _{n=1}^{n1}e^{\fract{1}{n1}\frac{n}\frac {z}\오른쪽)^{n}\{\frac {1}{1-z}&=\prod _{n=0}^{\inflit }\왼쪽(1+z^{2^}\오른쪽)\end{aigned}}}}$
동기 함수	${\frac {\sin \pi z}{\pi z}=\prod _{n=1}^{n=1}{n=1}^{n1}\flt(1-{z^{2}}}{n^{2}}\오른쪽)}}}$	이것은 오일러 때문이다.월리스의 π 공식은 이것의 특별한 경우다.
상호 감마함수	${\begin{aligned}{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}\\&=z\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+{\frac {z}{n}}}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}}\end{aligned}}$	슐뢰밀치
위어스트라스 시그마 함수	$\sigma(z)=z\prod _{\\\nomega _{}}\{\frac {z}{\omega }}}}{\frac{z^{2}}}+{\frac {z}{\opega }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$	여기서 ${\$ 는 $\Lambda _{{*}}$ 원점이 없는 격자다.
Q-포하머 기호	$(z;q)_{\infit }=\prod _{n=0}^{\infit }(1-zq^{n}}})$	Q-아날로그 이론에 널리 사용된다.오일러 함수는 특별한 경우다.
라마누잔 세타 함수	${\begin{aligned}f(a,b)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{\frac {n(n+1)}{2}}b^{\frac {n(n-1)}{2}}\\&=\prod _{n=0}^{\infty }(1+a^{n+1}b^{n})(1+a^{n}b^{n+1})(1-a^{n+1}b^{n+1})\end{aligned}}$	자코비 트리플 제품의 표현으로, 자코비 세타 함수의 표현에도 사용된다.
리만 제타 함수	$\z)=\prod _{n=1}^{\n=1}{\frac {1}{1-p_{n}^{-z}}}}}}}}$	여기서 p는_n n번째 소수점을 나타낸다.이것은 오일러 제품의 특수한 케이스다.

이 중 마지막은 ζ이 전부가 아니기 때문에 위에서 논의한 것과 같은 종류의 제품 표현은 아니다.오히려 위의 ζ(z)의 제품 표현은 Re(z) > 1에 대해 정밀하게 수렴되는데, 여기서 그것은 분석 기능이다.분석적 연속성의 기법에 의해, 이 기능은 단순한 극이 있는 z = 1 지점을 제외하고 전체 복잡한 평면에서 분석 기능(아직도 ζ(z)로 표시됨)으로 고유하게 확장될 수 있다.

참고 항목

참조

^ Jeffreys, Harold; Jeffreys, Bertha Swirles (1999). Methods of Mathematical Physics. Cambridge Mathematical Library (3rd revised ed.). Cambridge University Press. p. 52. ISBN 1107393671.
^ Trench, William F. (1999). "Conditional Convergence of Infinite Products" (PDF). American Mathematical Monthly. 106: 646–651. doi:10.1080/00029890.1999.12005098. Retrieved December 10, 2018.
^ Knopp, Konrad (1954). Theory and Application of Infinite Series. London: Blackie & Son Ltd.

Knopp, Konrad (1990). Theory and Application of Infinite Series. Dover Publications. ISBN 978-0-486-66165-0.
Rudin, Walter (1987). Real and Complex Analysis (3rd ed.). Boston: McGraw Hill. ISBN 0-07-054234-1.
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0.

외부 링크

[1] Jeffreys, Harold; Jeffreys, Bertha Swirles (1999). Methods of Mathematical Physics. Cambridge Mathematical Library (3rd revised ed.). Cambridge University Press. p. 52. ISBN 1107393671.

[Trench1999-2] Trench, William F. (1999). "Conditional Convergence of Infinite Products" (PDF). American Mathematical Monthly. 106: 646–651. doi:10.1080/00029890.1999.12005098. Retrieved December 10, 2018.

[Knopp-3] Knopp, Konrad (1954). Theory and Application of Infinite Series. London: Blackie & Son Ltd.

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