메르텐스의 정리

수 이론에서, 메르텐스의 이론은 프란츠 메르텐스에 의해 증명된 소수들의 밀도와 관련된 3개의 1874년 결과들이다.^[1]"머텐스의 정리"는 분석에서 그의 정리를 언급할 수도 있다.

정리

다음에서 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le n}$ ${\displaystyle p\leq n}$이(가) n을 초과하지 않는 모든 prime을 의미하도록$$ 한다.

머텐스의 첫 번째 정리:

${\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {\lnp}{p}-\lnn}$

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n\geq 2}$에 대해 절대값으로 2를 초과하지 않음$.$ (A083343)

머텐스의 두 번째 정리:

${\displaystyle \lim _{n\to \flt }\flt(\sum _{p\leq n}{1}{p}-\ln \ln-M\right)=0,}$

여기서 M은 Meisel-Mertens 상수(A077761)이다.더 정확히 말하면, 메르텐스는^[1] 한계 아래의 표현이 절대값을 초과하지 않는다는 것을 증명한다.

${\displaystyle {\frac {4}{\ln(n+1)}+{\frac {2}{n\lnn}}}$

${\displaystyle \mathrm{모든}}$ n ${\displaystyle \ge }$ 2 ${\displaystyle n\geq 2}$에 대해$.$

머텐스의 세 번째 정리:

${\displaystyle \lim _{n\to \inflt }\lnn\prod _{p\leq n}\왼쪽(1-{{\frac {1}{p}\오른쪽)=e^{-\frages }}$

여기서 γ은 오일러-마스케로니 상수(A001620)이다.

기호의 변경

1983년 발표된 이분함수 함수의 증가율에 관한 논문에서 가이 로빈은 머텐스의 두 번째 정리에서 차이점을 증명했다.

${\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}-\ln \ln n-M}$

기호를 무한히 자주 바꾸며, 머텐스의 3차 정리에서는 그 차이가

${\displaystyle \ln\prod _{p\leq n}\왼쪽(1-{{\frac {1}{p}\오른쪽)-e^{-\prod }}}$

흔하게 바뀌다로빈의 결과는 π(x) - li(x)의 차이가 부호를 무한히 자주 바꾼다는 리틀우드의 유명한 정리와 유사하다.Mertens의 제2차, 제3차 이론의 경우 Skewes 번호(첫 번째 자연수 x에 대한 상한)의 아날로그가 없다.

메르텐스의 두 번째 정리 및 소수 정리

메르텐스가 자신의 논문에서 "전설의 두 가지 호기심 많은 공식"^[1]을 언급하는 것과 관련하여, 첫 번째 공식은 메르텐스의 두 번째 정리의 프로토타입이다(그리고 두 번째 공식은 머텐스의 세 번째 정리의 프로토타입: 논문의 첫 번째 줄을 보라).그는 레전드르의 「Theri des nombres」(1830; 사실 그것은 제2판 1808) 3판에 수록되어 있으며, 또한 1851년 체비셰프에 의해 보다 정교한 버전이 증명되었다고 회상한다.^[3]1737년 이미 오일러는 이 합계의 점증적 행동을 알고 있었다.

Mertens는 외교적으로 그의 증거를 더 정확하고 엄격하다고 묘사한다.사실, 이전의 어떤 증거도 현대 표준에 의해 받아들여지지 않는다.오일러의 계산은 무한대(그리고 무한대의 쌍곡 로그와 무한대의 로그!)를 포함한다.레전드레의 주장은 휴리스틱하다; 체비셰프의 증거는 완벽하게 맞지만, 레전드르-가우스 추측을 활용하는데, 이 추측은 1896년에 이르러서야 증명되어 소수 정리로 더 잘 알려지게 되었다.

메르텐스의 증거는 어떠한 입증되지 않은 가설 (1874년)에도 호소하지 않으며, 단지 기초적인 실제 분석에만 호소한다.대조적으로, 복합 변수의 함수로서 리만 제타 함수의 행동에 대한 신중한 분석에 의존하는 소수 정리의 첫 번째 증거가 나오기 22년 전이다.Mertens의 증거는 그 점에서 주목할 만하다.실제로, 현대식 표기법으로 그것은 생산된다.

${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}=\log \log x+M+O(1/\log x)}$

반면에 소수 정리(오류 추정 없이 가장 단순한 형태)는 다음과 동등한 것으로^[4] 나타날 수 있다.

${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}=\log \log x+M+o(1/\log x)}$

1909년 에드먼드 란도는 당시 자신의 처지에서 가장 좋은 버전의 소수 정리법을 사용함으로써 그 사실을 증명했다^[5].

${\displaystyle \sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}=\log \log x+M+O(e^{-(\log x)^{1/14})}$

holds, 특히 오차항은 고정 정수 k에 대해$$ $1{\displaystyle \mathrm{}}$/${\displaystyle }$( ${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle x{}^{}}$) ${\displaystyle k^{}}$ ${\$ x$)^{k}}$보다 작다.소수 정리라고 알려진 가장 강력한 형태를 이용하는 부품에 의한 간단한 합계는 이것을 다음과 같이 개선한다.

${\displaystyle \sum _{p\leq x}{p}{p}=\log \log x+M+O(e^{-c(\log x)^{3/5}(\log x)^{1/5}}}$

> 0 ${\displaystyle c>0}$의 경우

마찬가지로 부분 합계에서는${\displaystyle \underset{shows}{}}$ p ${\displaystyle \underset{}{\le }}$ ${\displaystyle \frac{x}{}}$ ${\displaystyle \frac{\log }{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$= ${\displaystyle \log \log }$ x${\displaystyle }$+ C${\displaystyle }$+ ${\displaystyle o}$ ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle \sum _{p\leq$ x$}{\frac {\log$ p$}{p}}=\log$ x$+C+o$(1)가$$PNT와 동등하다는 것을 보여준다.

메르텐스의 세 번째 정리 및 체 이론

요인${\displaystyle \mathrm{factorn}}$이$$없는 X {\$displaystyle$ X$}($${\displaystyle }$ $≫$${\displaystyle n}$ {\$displaystyle$ X$\$$gn})$의 확률 추정치는 다음과 같다$$$.$

${\displaystyle \prod_{p\leq n}\왼쪽(1-{\{\frac {1}{p}\오른쪽)}$

이는 메르텐스의 세 번째 정리(mertens)와 밀접하게 관련되어 있는데, 이 세 번째 정리에서는 무증상 근사치를 알 수 있다.

${\displaystyle P(p\nmid X\\\forall p\leq n)={\frac {1}{e^{\gamma }\ln}}}}}$

증명

주요 단계는

$[\displaystyle O(n)+n\log n=\log n!=\sum _{p^{k}\leq n}\lfloor n/p^{k}\rfloor \log p=\sum _{p^{k}\leq n}\left({\frac {n}{p^{k}}}+O(1)\right)\log p=n\sum _{p^{k}\leq n}{\frac {\log p}{p^{k}}}\ +O(n)}$

where the last equality needs ${\displaystyle \sum _{p^{k}\leq n}\log p=O(n)}$ which follows from ${\displaystyle \sum _{p\in (n,2n]}\log p\leq \log {2n \choose n}=O(n)}$.

그래서 우리는 그 사실을 증명했다.

${\displaystyle \sum _{}}$ ${\displaystyle \underset{}{p}}$ ${\displaystyle \underset{}{\le n}}$ ${\displaystyle \frac{\log }{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$p${\displaystyle }$= ${\displaystyle \log }$${\displaystyle n}$+ ${\displaystyle \mathrm{O}}$( 1 )${\displaystyle \sum _{p\leq$ n$}{\frac {\log$ p$}{p}}=\log$ n$+O(1)}$

부분 합계는 산출된다.

${\displaystyle \sum _{}}$ ${\displaystyle \underset{}{p}}$ ${\displaystyle \underset{}{\le n}}$ ${\displaystyle \underset{}{}\frac{\mathrm{}}{}}$ p ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{로그}}{}\mathrm{logn}}$+ ${\displaystyle M}$+ O (${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle n}$ )${\displaystyle \sum \{p\leq n}{\p}}{p}}=\log n+M+O(1/\log$ n$)}$.

참조

추가 읽기

• 야글롬과 야글롬 기초해법으로 도전적인 수학문제 제2, 문제 171, 173, 174

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Mertens Constant". MathWorld.
• Sondow, Jonathan & Weisstein, Eric W. "Mertens Theorem". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Mertens' Second Theorem". MathWorld.
• 바룬 라즈쿠마르, π(x) 및 에라토스테네스 체