연해주

수학에서, 특히 수론에서 "#"로 표시되는 1차 함수는 자연수에서 계승 함수와 유사한 자연수로의 함수이지만, 함수는 양의 정수를 연속적으로 곱하는 것이 아니라 소수만 곱합니다.

Harvey Dubner에 의해 만들어진 "primary"라는 이름은 "factorial"이라는 이름이 요인과 관련되는 방식과 유사한 소수에 비유됩니다.

소수에 대한 정의

n번째 소수 p에_n 대해 primary p#은_n 첫 n개 소수의 곱으로 정의됩니다.^[1][2]

${\displaystyle p_n}$#${\displaystyle {}_{}\underset{}{\overset{}{=}}{}_{}\underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{k}}}$ = ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle {pk}_{}}$ ${\displaystyle p_$\$pro$

여기서 p는_k k번째 소수입니다.예를 들어 p#은₅ 처음 5개 소수의 곱을 의미합니다.

${\displaystyle p_{5}\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.}$

처음 5개의 p# 기본값은_n 다음과 같습니다.

2, 6, 30, 210, 2310 (OEIS의 시퀀스 A002110).

시퀀스에는 빈 제품으로 p# = 1도 포함됩니다.점근적으로 p# 기본값은_n 다음에 따라 증가합니다.

${\displaystyle p_{n}\#=e^{(1+o(1))n\log n}}$

여기서 o()는 Little O 표기법입니다.^[2]

자연수에 대한 정의

일반적으로 양의 정수 n에 대하여, 그 1차 성질인 n#은 n보다 크지 않은 소수들의 곱입니다; 즉,^[1][3]

${\displaystyle n}$ $=$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{p}}$ ${\displaystyle \underset{}{\genfrac{}{}{0ex}{}{\le }{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{}}}$ p ${\displaystyle \underset{}{\genfrac{}{}{0ex}{}{\text{소}}{}}수}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{=}}}$ ${\displaystyle \prod }$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{i}}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle {\pi }_{}\underset{}{\overset{}{}}}$( n${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$)${\displaystyle {pi}_{}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}_{}}$ $π$( ${\displaystyle n_{}}$)${\displaystyle {}_{}}$# ${\displaystyle$n${\displaystyle \mathrm{\backslash \#=\backslash }}$prod $_{p\leq$atop $p{\text{prime$_${i=1}^{\pi(n)}p$}=$p_{\pi(n$

여기서 π(n)는 소수의 개수 ≤ n을 주는 소수 계수 함수(OEIS의 수열 A000720)입니다.이는 다음과 같습니다.

${\displaystyle n\#={\begin{case}1&{\text{if}}n=0,\1\\(n-1)\#\times n&{\text{if}}n{\text{if}}\(n-1)\#&{\text{if}}n{\text{if}}n{\text{ is composite}}.\end{case}}$

예를 들어, 12#은 다음과 같은 소수들의 곱을 나타냅니다.

${\displaystyle 12\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.}$

π(12) = 5이므로 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

${\displaystyle 12\#=p_{\pi(12)}\#=p_{5}\#=2310.}$

n#의 처음 12개 값을 고려합니다.

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.

우리는 모든 합성항 n#에 대해 정의에 주어진 것처럼 앞의 항 (n - 1)#을 단순히 복제한다는 것을 알 수 있습니다.위의 예제에서는 12가 합성수이므로 12# = p# = 11#이 됩니다.

기본값은 다음과 같이 첫 번째 체비셰프 함수, 필기 ϑ(n) 또는 θ(n)과 관련이 있습니다.

${\displaystyle \ln(n\#)=\vartheta(n)}$^[4]

ϑ(n)이 n의 큰 값에 대하여 점근적으로 n에 접근하므로, 원시성은 다음에 따라 증가합니다.

${\displaystyle n\#=e^{(1+o(1)n}}}$

알려진 모든 소수를 곱하는 아이디어는 소수의 무한성에 대한 일부 증명에서 발생하며, 여기서 다른 소수의 존재를 유도하기 위해 사용됩니다.

특성.

• p와 q를 두 개의 인접한 소수라고 하자.$임의$의 n ∈ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N}}$이(가) 주어졌을 때$,$ 여기서 n< ${\displaystyle p\leq n<q$

${\displaystyle n\#=p\#}$

• 프라이머리의 경우 다음과 같은 근사치가 알려져 있습니다.^[5]

${\displaystyle n}$ #${\displaystyle \mathrm{}\le }$ 4 ${\displaystyle n^{}}$ ${\$

주의:

1. 수학자 데니스 핸슨은 기본적인 방법을 사용하여 $n{\displaystyle }$ #${\displaystyle \mathrm{}\le }$ 3 ${\displaystyle n^{}}$ ${\$ n$\#\leq 3^{n}$을 보여주었습니다.
2. Rosser와 Schoenfeld는 더 발전된 방법을 사용하여 $n{\displaystyle \mathrm{\#}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle (2.763{}^{}}$ ${\$을 나타냈습니다.
3. $정리$ 4의 공식 3.14에서 Rosser와 Schoenfeld는 n${\displaystyle }$≥ ${\displaystyle 563}${\$displaystyle$ n$\geq 563$${\displaystyle \mathrm{}}n$ # ≥${\displaystyle }$(${\displaystyle 2.{22}^{}}$ n ${\displaystyle n\#\geq (2.22)^{n}$을(를) 나타냈습니다.

• 또한 다음과 같은 사항을 제공합니다.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty}}{\sqrt[{n}]{n\#}}=e}$

< 10 ${\$의 경우값이 1보다 작지만,^[8] n이 크면 함수의 값이 한계치를 초과하여 나중에 무한히 진동합니다.

• ${\displaystyle {pk}_{}}$ ${\$를 k번째 소수라고$$ 하고, $#{\displaystyle p_{k}\#}$에 정확히 ${\displaystyle {2k}^{}}$ ${\$ 2$^{k}$의 약수가 있습니다$$.예를 들어 $2{\displaystyle \mathrm{}\mathrm{}}$# ${\displaystyle$ 2$\#}$에는 2개의 분할자가 있고$$ 3${\displaystyle \mathrm{}}$# ${\displaystyle 3\#}$에는 4개의 분할자가 있고 5 #${\displaystyle \mathrm{}}$${\displaystyle 5\#}$에는 8개의 분할자가 있고 97 # ${\displaystyle 97\#}$에는 이미$$ ${\displaystyle {\mathrm{225개}}^{}}$의 ${\$개의$$ 분할자가 있습니다.
• 기본값의 역수 값의 합은 상수로 수렴합니다.

${\displaystyle \sum _{p\,\in \,\mathbb {P} {1 \over p\#} = {1 \over 2} + {1 \over 6} + {1 \over 30} +\ldots = 0{.}7052301717918\ldots }$

이 숫자의 엥겔 팽창은 소수들의 수열로 이어집니다 (OEIS의 수열 A064648) 참조)

• 유클리드 정리에 따르면, 소수의 무한성을 증명하기 위해 $p{\displaystyle }$ #${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ p$\#+1}$이 사용됩니다$$.

응용프로그램 및 속성

소수점은 가산 연산 진행에서 소수점을 찾는 역할을 합니다.예를 들어, 2236133941 + 23#은 소수가 되고, 23#을 반복해서 더함으로써 13개의 소수의 수열을 시작하고, 5136341251로 끝납니다. 23#은 또한 15와 16개의 소수의 산술 진행에서 공통적인 차이입니다.

모든 고도로 합성된 숫자는 기본값(예: 360 = 2 × 6 × 30)의 곱입니다.

소수는 모두 제곱이 없는 정수이며, 각각의 소수는 그보다 작은 어떤 수보다도 더 뚜렷한 소수를 가지고 있습니다.각 기본 n에 대해 분수 φ(n)/n은 정수보다 작으며, 여기서 φ는 오일러 토티언트 함수입니다.

완전 곱셈 함수는 소수점에서의 값으로 정의되므로 인접한 값의 분할로 복구할 수 있습니다.

기본값에 해당하는 기본 시스템(기본값 30과 같이 기본값 수 체계와 혼동하지 않음)은 더 작은 기본보다 반복 분수의 비율이 낮습니다.

모든 프라이머리는 희소하게 소수에서 소수까지입니다.^[10]

합성수 n의 n-성분은 n을 포함하는 모든 합성수의 곱입니다.^[11]n-구성요소는 n-요인을 1차 n#으로 나눈 것과 같습니다.작곡은.

1, 4, 24, 192, 1728, 17280, 207360, 2903040, 43545600, 696729600, ...^[12]

외모

1보다 큰 양의 정수에서 리만 제타 함수는 일차 함수와 요르단의 토티엔트 함수 J_k(n)을 사용하여 나타낼^[13] 수 있습니다.

${\displaystyle \zeta(k)={\frac {2^{k}}{2^{k}-1}}+\sum _{r=2}^{\infty}}{\frac {(p_{r-1}\#)^{k}}:{J_{k}(p_{r}\#)}},\quad k=2,3,\dots }$

원초적

n	n#	pn	pn#	프라이머리 프라이머리?
				pn# + 1[14]	pn# − 1[15]
0	1	—	1	네.	아니요.
1	1	2	2	네.	아니요.
2	2	3	6	네.	네.
3	6	5	30	네.	네.
4	6	7	210	네.	아니요.
5	30	11	2310	네.	네.
6	30	13	30030	아니요.	네.
7	210	17	510510	아니요.	아니요.
8	210	19	9699690	아니요.	아니요.
9	210	23	223092870	아니요.	아니요.
10	210	29	6469693230	아니요.	아니요.
11	2310	31	200560490130	네.	아니요.
12	2310	37	7420738134810	아니요.	아니요.
13	30030	41	304250263527210	아니요.	네.
14	30030	43	13082761331670030	아니요.	아니요.
15	30030	47	614889782588491410	아니요.	아니요.
16	30030	53	32589158477190044730	아니요.	아니요.
17	510510	59	1922760350154212639070	아니요.	아니요.
18	510510	61	117288381359406970983270	아니요.	아니요.
19	9699690	67	7858321551080267055879090	아니요.	아니요.
20	9699690	71	557940830126698960967415390	아니요.	아니요.
21	9699690	73	40729680599249024150621323470	아니요.	아니요.
22	9699690	79	3217644767340672907899084554130	아니요.	아니요.
23	223092870	83	267064515689275851355624017992790	아니요.	아니요.
24	223092870	89	23768741896345550770650537601358310	아니요.	네.
25	223092870	97	2305567963945518424753102147331756070	아니요.	아니요.
26	223092870	101	232862364358497360900063316880507363070	아니요.	아니요.
27	223092870	103	23984823528925228172706521638692258396210	아니요.	아니요.
28	223092870	107	2566376117594999414479597815340071648394470	아니요.	아니요.
29	6469693230	109	279734996817854936178276161872067809674997230	아니요.	아니요.
30	6469693230	113	31610054640417607788145206291543662493274686990	아니요.	아니요.
31	200560490130	127	4014476939333036189094441199026045136645885247730	아니요.	아니요.
32	200560490130	131	525896479052627740771371797072411912900610967452630	아니요.	아니요.
33	200560490130	137	72047817630210000485677936198920432067383702541010310	아니요.	아니요.
34	200560490130	139	10014646650599190067509233131649940057366334653200433090	아니요.	아니요.
35	200560490130	149	1492182350939279320058875736615841068547583863326864530410	아니요.	아니요.
36	200560490130	151	225319534991831177328890236228992001350685163362356544091910	아니요.	아니요.
37	7420738134810	157	35375166993717494840635767087951744212057570647889977422429870	아니요.	아니요.
38	7420738134810	163	5766152219975951659023630035336134306565384015606066319856068810	아니요.	아니요.
39	7420738134810	167	962947420735983927056946215901134429196419130606213075415963491270	아니요.	아니요.
40	7420738134810	173	166589903787325219380851695350896256250980509594874862046961683989710	아니요.	아니요.

참고 항목

• 본즈 부등식
• 체비셰프 함수
• 소수계
• 프라이머리 프라이머리

메모들

참고문헌

• Dubner, Harvey (1987). "Factorial and primorial primes". J. Recr. Math. 19: 197–203.
• 스펜서, 아담 "톱 100" 59번 4부