재단위

단위 프라임

No. 알려진.	11
용어의 추측	무한
제1항	11, 1111111111111111111, 11111111111111111111111
가장 큰 알려진 용어	(108177207−1)/9
OEIS 지수	A004022 형식의 소수(10^n - 1)/9

레크리에이션 수학에서, 재분위는 숫자 1만을 포함하는 11, 111 또는 1111과 같은 숫자인데, 이것은 더 구체적인 유형의 재분수다. 이 용어는 반복 단위를 의미하며 1966년 앨버트 빌러가 그의 저서 '숫자 이론의 재창조'에서 만들었다.^{[note 1]}

repunit prime은 또한 prime number이다. 베이스 2에서 리패닝되는 프리타임은 메르센 프리타임이다.

정의

base-b 재결합은 (이 b는 양수 또는 음수일 수 있음)으로 정의된다.

${\displaystyle R_{n}^{n}^{(b)}\equiv 1+b+b^{2}+\cdots +b^{n-1}={b^{n1}-1 \b-1 \b-1\b-1\b-1}{b-1}\qquad{\mbox{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}-1}{{}}-1}{{}-1}-1}}}}}}-1}{{{{{{}}}}}}}-1}-}-1}$

따라서 숫자 R은_n^(b) 숫자 1 in base-b 표현에서 n개의 숫자 복사본으로 구성된다. n = 1과 n = 2에 대한 처음 두 개의 기준-b를 다시 결합하는 것은

${\displaystyle R_{1}^{b}={b-1 \b-1 \cquad{\qquad{\text{and}}\qquad R_{2}^{b^{{b)}-1 \b-1}=b+1\qad{\cext}}\beq 2.}$

특히 흔히 단순하게 재귀속이라고 하는 십진법(base-10) 재귀속은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle R_{n}\equiv R_{n}^{{n}^{{10^{n}-1 \{10-1}:{10-1}-1 \over 9}\qquad{\mbox{}}}{}}}}}}{}n\geq 1.}$

따라서 숫자 R_n = R은_n⁽¹⁰⁾ 기준 10 표현에서 숫자 1의 n개의 복사본으로 구성된다. base-10의 리패니트 순서는

1, 11, 111, 1111, 11111, 11111, ...(OEIS에서 순서 A002275).

마찬가지로, 재분배 기준 2는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle R_{n}^{n}^{n}^{n}-1 \2-1}{2-1}={2^{n1}-1}\qquad{\mbox{}}{}}}$

따라서 숫자 R은_n⁽²⁾ 숫자 1의 복사본 n개로 구성된다. 사실 베이스-2는 메르센의 유명한 숫자_n M = 2ⁿ - 1로 시작하는데

1, 3, 7, 15, 31, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, 32767, 65535, ...(OEIS에서 순서 A000225).

특성.

• 숫자의 복합 수를 갖는 베이스의 모든 재분위는 반드시 복합적이다. 소수 자릿수가 가장 많은 리패닛(모든 베이스에서)만 프라이머리가 될 수 있다. 이것은 필요하지만 충분하지 않은 조건이다. 예를 들어,

  R₃₅^(b) = 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 = 11111 × 100001000000000000001 = 11111 × 1000000000000001,

35 = 7 × 5 = 5 × 7이기 때문에. 이러한 재분배 요소는 재분배가 표현되는 base-b에 의존하지 않는다.

• p가 홀수 소수인 경우, R을_p^(b) 나누는 모든 소수 q는 1 + 2p의 배수 또는 b - 1의 계수여야 한다. 예를 들어, R의₂₉ 주요 인수는 62003 = 1 + 2/29/1069이다. 이유는 p가 prime이기 때문에 prime p는 prime이기 때문에 q가 b^p - 1을 나누는 1보다 작은 지수이기 때문이다. 따라서 q가 b - 1을 나누지 않는 한 p는 q의 카마이클 함수를 q - 1과 균일하고 같은 q로 나눈다.
• 재분위 R의_n^(b) 임의의 양의 배수는 base-b에 0이 아닌 숫자를 최소한 0으로 포함한다.
• 임의의 숫자 x는 base x - 1의 두 자릿수 재분배 단위다.
• 둘 이상의 베이스에서 동시에 최소 3자리의 리패니트를 갖는 유일한 알려진 숫자는 31(베이스-5에서는 111, 베이스-2에서는 11111)과 8191(베이스-90에서는 111, 베이스-2에서는 111111111111111)이다. Goormaightgy의 추측에 따르면 이 두 가지 사례만 있다.
• 비둘기 구멍 원리를 사용하면 비교적 원시 자연수 n과 b의 경우 n의 배수인 base-b에 repunit가 존재한다는 것을 쉽게 알 수 있다. 이를 보기 위해₁^(b) R, ...,R_n^(b). repunits R을 고려해야 한다. n-1 n-zero 잔류물 modulo n은 repunits R과_i^(b) R이_j^(b) 2개 존재하며, 1 ≤ i < j n n은 R과_i^(b)_j^(b) R이 동일한 잔류물 modulo n을 가지고 있기 때문이다. R_j^(b) - R에_i^(b) 잔류물 0 modulo n이 있는 경우 즉, n으로 구분된다. R_j^(b) - R이_i^(b) j - i로 구성되고, i 0으로 구성되기 때문에, R_j^(b) - R_i^(b) = R_j−i^(b) × bⁱ. n은 이 방정식의 왼쪽을 분할하므로, 오른쪽도 분할하지만, n과 b는 비교적 원형이므로 n은 R을_j−i^(b) 분할해야 한다.
• 더 페이트-톰슨 추측은 R이_q^(p) 절대 R을_p^(q) 두 개의 뚜렷한 p와 q에 대해 나누지 않는다는 것이다.
• R₁^(b) = 1; R_n^(b) = R_n−1^(b) × b + 1의 재결합 정의를 위해 유클리드 알고리즘을 사용하면, 모든 연속적인 재결합_n−1^(b) R과 R은_n^(b) 어떤 n에 대해서도 base-b에서 상대적으로 prime이다.
• m과 n이 공통 구분자 d를 갖는 경우, R과_m^(b) R은_n^(b) 모든 m과 n에 대해 base-b에 공통 구분자 R을_d^(b) 가진다. 즉, 고정된 베이스의 리패닝이 강한 가차성 시퀀스를 형성한다. 그 결과 m과 n이 비교적 프라임이라면 R과_m^(b) R은_n^(b) 비교적 프라임이다. 유클리드 알고리즘은 m > n에 대해 gcd(m, n) = gcd(m - n, n) = gcd(m - n)를 기반으로 한다. 이와_m^(b) 유사하게 R_n^(b) - R × b = R을^m−n_m−n^(b) 사용하여 gcd(R_m^(b)_n^(b), R) = m > n에 대해 gcd(R_m−n^(b), R) = gcd(R, R_n^(b))를 쉽게 알 수 있다. 따라서 gcd(m, n)가 d이면 gcd(R_m^(b), R_n^(b)) = R_d^(b).

소수점 재결합 인자화

(빨간색인자는 "새로운 요인"을 의미한다. 즉, 주요 인자는 R을_n 분할하지만 모든 k < n)에 대해 R을_k 분할하지 않는다(OEIS에서 순차 A102380).^[2]

R1 = 1 R2 = 11 R3 = 3 · 37 R4 = 11 · 101 R5 = 41 · 271 R6 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 R7 = 239 · 4649 R8 = 11 · 73 · 101 · 137 R9 = 32 · 37 · 333667 R10 = 11 · 41 · 271 · 9091

R11 = 21649 · 513239 R12 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · 9901 R13 = 53 · 79 · 265371653 R14 = 11 · 239 · 4649 · 909091 R15 = 3 · 31 · 37 · 41 · 271 · 2906161 R16 = 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 5882353 R17 = 2071723 · 5363222357 R18 = 32 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 52579 · 333667 R19 = 1111111111111111111 R20 = 11 · 41 · 101 · 271 · 3541 · 9091 · 27961

R21 = 3 · 37 · 43 · 239 · 1933 · 4649 · 10838689 R22 = 112 · 23 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239 R23 = 11111111111111111111111 R24 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · 99990001 R25 = 41 · 271 · 21401 · 25601 · 182521213001 R26 = 11 · 53 · 79 · 859 · 265371653 · 1058313049 R27 = 33 · 37 · 757 · 333667 · 440334654777631 R28 = 11 · 29 · 101 · 239 · 281 · 4649 · 909091 · 121499449 R29 = 3191 · 16763 · 43037 · 62003 · 77843839397 R30 = 3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 2906161

n > 1에 대한 R의_n 최소 프라이머 인수는

11, 3, 11, 41, 3, 239, 11, 3, 11, 21649, 3, 53, 11, 3, 11, 2071723, 3, 1111111111111111111, 11, 3, 11, 11111111111111111111111, 3, 41, 11, 3, 11, 3191, 3, 2791, 11, 3, 11, 41, 3, 2028119, 11, 3, 11, 83, 3, 173, 11, 3, 11, 35121409, 3, 239, 11, ... (sequence A067063 in the OEIS)

단위 프라임

리퍼니트의 정의는 그러한 숫자의 주요 요소들을 찾는 오락적 수학자들에 의해 동기 부여되었다.

n을 a로 나누면 R_n^(b):로_a^(b) 나누면 R:로 나누어진다는 것을 쉽게 알 수 있다.

${\displaystyle R_{n}^{(b)}={\frac {1}{b-1}\prod_{dn}\Phi _{d}(b),}$

여기서 ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle d_{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \Phi _{d}(x)}$은(는) n의 구분자에 걸친 d $t{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{h}}^{}}$ ${\$ d$^{\mathrm{th}}}}}}}}}$ 사이클로토믹$$ 다항식 및 d 범위다. p 프라임은

${\displaystyle \Phi _{p(x)=\sum _{i=0}^{p-1}x^{i}}}$

x가 b로 대체될 때 기대되는 repunit 형식을 가지고 있다.

예를 들어, 9는 3으로 나누어지며, 따라서 R은₉ R로₃ 나누어진다. 사실, 1111111 = 111 · 1001001. The corresponding cyclotomic polynomials ${\displaystyle \Phi _{3}(x)}$ and ${\displaystyle \Phi _{9}(x)}$ are ${\displaystyle x^{2}+x+1}$ and ${\displaystyle x^{6}+x^{3}+1}$, respectively. 따라서 R이_n prime이 되려면 n이 prime이어야 하지만 n이 prime이 되기에 충분하지 않다. 예를 들어, R₃ = 111 = 3/37은 프라임이 아니다. 이 R의₃ 경우를 제외하고, p = 2kn + 1일 경우에만 p는 프라임 n의 R을_n 나눌 수 있다.

소수점 재단위 소수점

R은_n n = 2, 19, 23, 317, 1031, ... (시퀀스 A004023 in OEIS)의 프라임이다. R과₄₉₀₈₁ R은₈₆₄₅₃ 아마도 프라임일 것이다. 2007년 4월 3일, Harvey Dubner(R도₄₉₀₈₁ 발견)는 R이₁₀₉₂₉₇ 유력한 프라임이라고 발표했다.^[3] 2007년 7월 15일 Maksym Vozny는 R이₂₇₀₃₄₃ 아마도 프라임일 것이라고 발표했다.^[4] 세르게이 바탈로프와 라이언 프로퍼는 각각 2021년 4월 20일과 5월 8일에 R과_5794777 R이_8177207 가능성이 높다고 발견했다.^[5] 그들의 발견으로 인해 각각은 알려진 것 중 가장 큰 가능성이 있는 전성기였다.

무한히 많은 리프 단위 프리임이^[6] 있으며, 대략 프라임 수 정리가 예측하는 만큼 빈번하게 발생하는 것으로 추측되었다. N번째 리프 유닛 프라임의 지수는 일반적으로 (N-1)번째 지수의 고정 배수를 중심으로 한다.

프라임 리퍼니트는 순열 가능한 프리타임의 사소한 부분집합, 즉 자릿수 순열 후에도 프라임이 유지되는 프리타임이다.

특정 속성은

• R_n modulo 3의 나머지는 n modulo 3의 나머지와 같다. 임의의 a for^a 0에 대해 10 ≡ 1 (mod 3)을 사용한다.
  n ≡ 0 (mod 3) ⇔ R_n ≡ 0 (mod 3) ⇔ R_n ≡ 0 (mod R₃)
  n ≡ 1 (mod 3) R_n ≡ 1 (mod 3) R_n ⇔ R₁ ≡ 1 (mod R₃)
  n ≡ 2 (mod 3) R_n ≡ 2 (mod 3) R_n ⇔ R₂ ≡ 11 (mod R₃)
  따라서 3n ⇔ 3_n R ⇔ RR_3n.
• R_n modulo 9의 나머지는 n modulo 9의 나머지와 같다. 임의의 a for^a 0에 대해 10 1 1 (mod 9)을 사용한다.
  n_n ≡ r (mod_n 9) ⇔ R ≡ r (mod 9) ⇔ R ≡ R_r (mod R₉)
  0 ≤ r < 9에 대하여.
  따라서 9n ⇔ 9_n R ⇔ RR_9n.

기준 2단위 프리타임

염기 2 리피니트 프리타임은 메르센 프리타임이라고 불린다.

기준 3단위 프리타임

처음 몇 개의 베이스 3 리패임 단위는 다음과 같다.

13, 1093, 797161, 375473325748624019733597912873, 69575965298821529299259292518181814451547013(OEIS의 후속 A076481)

의 n ${\displaystyle n}$에 해당하는

3, 7, 13, 71, 103, 541, 1091, 1367, 1627, 4177, 9011, 9551, ...(OEIS의 경우 시퀀스 A028491).

기본 4 단위 프리타임

The only base-4 repunit prime is 5 (${\displaystyle 11_{4}}$). ${\displaystyle 4^{n}-1=\left(2^{n}+1\right)\left(2^{n}-1\right)}$, and 3 always divides ${\displaystyle 2^{n}+1}$ when n is odd and ${\displaystyle 2^{n}-1}$ when n is even. n이 2보다 큰 경우 ${\displaystyle \mathrm{2n}{}^{}}$+ 1 ${\displaystyle$ 2$^{n}+1}$및 ${\displaystyle \mathrm{2n<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; 2^\{n\}+1\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/e8e2d6ae605ac99baf648b70d204a3c9803a4d9b"\; style="vertical-align:\; -0.505ex;\; width:6.384ex;\; height:2.509ex;"\; papago-attr-id="125">}{}^{}}$- 1 ${\displaystyle$ 2$^{n}-1}$ 모두 3보다 크므로$$ 3의 인자를 제거하면 여전히 1보다 큰 2개의 인자가 남는다. 따라서 그 수는 소수일 수 없다.

기준 5 단위 프리타임

처음 몇 개의 베이스-5 리패임 단위는

31, 19531, 12207031, 305175781, 177635683940025046467781066894531, 14693679385278593849609206715278070972733319459651094018859396328480215743184089660644531, 35032461608120426773093239582247903282006548546912894293926707097244777067146515037165954709053039550781, 815663058499815565838786763657068444462645532258620818469829556933715405574685778402862015856733520178352482690139770781(OEIS에서 시퀀스 A086122)

의 n ${\displaystyle n}$에 해당하는

3, 7, 11, 13, 47, 127, 149, 181, 619, 929, 3407, ...(OEIS에서 연속 A004061).

기준 6 단위 프리타임

처음 몇 개의 베이스-6 리패임(reprepimes이다.

7, 43, 55987, 7369130657357778596659, 3546245297457217493590449191748546458005595187661976371, 133733063818254349335501779590081460423013416258060407531857720755181857441961908284738707408499507 (sequence A165210 in the OEIS),

의 n ${\displaystyle n}$에 해당하는

2, 3, 7, 29, 71, 127, 271, 509, 1049, 6389, 6883, … (시퀀스 A004062 in OEIS)

베이스 7 단위 프리타임

처음 몇 개의 베이스-7 리패임(base-7 리패임들은

2801, 16148168401, 85053461164796801949539541639542805770666392330682673302530819774105141531698707146930307290253537320447270457,
138502212710103408700774381033135503926663324993317631729227790657325163310341833227775945426052637092067324133850503035623601

의 n ${\displaystyle n}$에 해당하는

5, 13, 131, 131, 149, 1699, ... (OEIS에서 연속 A004063).

기준 8단위 프리타임

The only base-8 repunit prime is 73 (${\displaystyle 111_{8}}$). ${\displaystyle 8^{n}-1=\left(4^{n}+2^{n}+1\right)\left(2^{n}-1\right)}$, and 7 divides ${\displaystyle 4^{n}+2^{n}+1}$ when n is not divisible by 3 and ${\displaystyle 2^n-1}$n이 3의 배수인 경우$$ ${\displaystyle$ 2$^{n}-1.$

베이스 9 리패니시

기본 9 리피니트는 없다. ${\displaystyle {}^{}\mathrm{9n}{}^{}}$- 1${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle \mathrm{3n}{}^{}}$+ 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$(${\displaystyle {3n}^{}}$- 1${\displaystyle }$) (3n - ${\displaystyle 1}$ ) (3n - 1 ) $(\$ 9$^{n}-1=\좌측(3^{n}+1\오른쪽))$및 ${\displaystyle \mathrm{3n<img\; alt="3^\{n\}+1"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/9973b80b9103afcbfdaf48c70ba7c7f68eb3fa14"\; style="vertical-align:\; -0.505ex;\; width:6.384ex;\; height:2.509ex;"\; papago-attr-id="173">}{}^{}}$+ 1 ($3$$^{n$$}-1\$$displaystystyle$ 3$^{n}-1},$ ${\displaystyle {3n}^{}}$ 모두 짝수 이상이다$.$

기준 11 재단위 프리타임

처음 몇 개의 베이스-11 리패임 단위는

50544702849929377, 6115909044841454629, 1051153199500053598403188407217590190707671147285551702341089650185945215953, 567000232521795739625828281267171344486805385881217575081149660163046217465544573355710592079769932651989153833612198334843467861091902034340949

의 n ${\displaystyle n}$에 해당하는

17, 19, 73, 139, 907, 1907, 2029, 4801, 5153, 10867, ...(OEIS에서 연속 A005808).

기준 12 재단위 프리타임

처음 몇 개의 base-12 리패드 프리타임은

13, 157, 22621, 29043636306420266077, 43570062353753446053455610056679740005056966111842089407838902783209959981593077811330507328327968191581, 388475052482842970801320278964160171426121951256610654799120070705613530182445862582590623785872890159937874339918941

의 n ${\displaystyle n}$에 해당하는

2, 3, 5, 19, 97, 109, 317, 353, 701, 9739, ... (OEIS에서 연속 A004064).

기준 20단위 프리타임

처음 몇 개의 베이스-20 리패임(reprime이다.

421, 10778947368421, 689852631578947368421

의 n ${\displaystyle n}$에 해당하는

3, 11, 17, 1487, ... (OEIS에서 순서 A127995).

Base_p b R(b)이 prime p의 prime인 경우.

$R{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$( b${\displaystyle }$) ${\displaystyle R_{p}(b)}$이(가) prime(여기서 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$이(가) $n{\displaystyle }${\$displaystyle n}$ prime)인 최소$$ $b{\displaystyle }$ ${\displaystystyle b}$이(가 prim)가 prime)인 경우

2, 2, 2, 2, 5, 2, 2, 2, 10, 6, 2, 61, 14, 15, 5, 24, 19, 2, 46, 3, 11, 22, 41, 2, 12, 22, 3, 2, 12, 86, 2, 7, 13, 11, 5, 29, 56, 30, 44, 60, 304, 5, 74, 118, 33, 156, 46, 183, 72, 606, 602, 223, 115, 37, 52, 104, 41, 6, 338, 217, 13, 136, 220, 162, 35, 10, 218, 19, 26, 39, 12, 22, 67, 120, 195, 48, 54, 463, 38, 41, 17, 808, 404, 46, 76, 793, 38, 28, 215, 37, 236, 59, 15, 514, 260, 498, 6, 2, 95, 3, ...(OEIS에서 순서 A066180)

$R{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$- ${\displaystyle b}$) ${\displaystyle R_{p}(-b)}$이(가) prime(여기서 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$이(가) $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ prime)인 최소$$ $b{\displaystyle }$ ${\displaystystyle b}$

3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 7, 2, 16, 61, 2, 6, 10, 6, 2, 5, 46, 18, 2, 49, 16, 70, 2, 5, 6, 12, 92, 2, 48, 89, 30, 16, 147, 19, 19, 2, 16, 11, 289, 2, 12, 52, 2, 66, 9, 22, 5, 489, 69, 137, 16, 36, 96, 76, 117, 26, 3, 159, 10, 16, 209, 2, 16, 23, 273, 2, 460, 22, 3, 36, 28, 329, 43, 69, 86, 271, 396, 28, 83, 302, 209, 11, 300, 159, 79, 31, 331, 52, 176, 3, 28, 217, 14, 410, 252, 718, 164, ... (OEIS에서 연속 A103795)

$(\displaystyle p}$	${\displaystyle {base}_{}}$ $b{\displaystyle }$ $displaystyle R_{p}(b)}$이(가) prime(양수$$ 기준만 나열)인 b {\displaystyle $b$${\displaystyle \}}$	OEIS 시퀀스
2	2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 78, 82, 88, 96, 100, 102, 106, 108, 112, 126, 130, 136, 138, 148, 150, 156, 162, 166, 172, 178, 180, 190, 192, 196, 198, 210, 222, 226, 228, 232, 238, 240, 250, 256, 262, 268, 270, 276, 280, 282, 292, 306, 310, 312, 316, 330, 336, 346, 348, 352, 358, 366, 372, 378, 382, 388, 396, 400, 408, 418, 420, 430, 432, 438, 442, 448, 456, 460, 462, 466, 478, 486, 490, 498, 502, 508, 520, 522, 540, 546, 556, 562, 568, 570, 576, 586, 592, 598, 600, 606, 612, 616, 618, 630, 640, 642, 646, 652, 658, 660, 672, 676, 682, 690, 700, 708, 718, 726, 732, 738, 742, 750, 756, 760, 768, 772, 786, 796, 808, 810, 820, 822, 826, 828, 838, 852, 856, 858, 862, 876, 880, 882, 886, 906, 910, 918, 928, 936, 940, 946, 952, 966, 970, 976, 982, 990, 996, ...	A006093
3	2, 3, 5, 6, 8, 12, 14, 15, 17, 20, 21, 24, 27, 33, 38, 41, 50, 54, 57, 59, 62, 66, 69, 71, 75, 77, 78, 80, 89, 90, 99, 101, 105, 110, 111, 117, 119, 131, 138, 141, 143, 147, 150, 153, 155, 161, 162, 164, 167, 168, 173, 176, 188, 189, 192, 194, 203, 206, 209, 215, 218, 231, 236, 245, 246, 266, 272, 278, 279, 287, 288, 290, 293, 309, 314, 329, 332, 336, 342, 344, 348, 351, 357, 369, 378, 381, 383, 392, 395, 398, 402, 404, 405, 414, 416, 426, 434, 435, 447, 453, 455, 456, 476, 489, 495, 500, 512, 518, 525, 530, 531, 533, 537, 540, 551, 554, 560, 566, 567, 572, 579, 582, 584, 603, 605, 609, 612, 621, 624, 626, 635, 642, 644, 668, 671, 677, 686, 696, 701, 720, 726, 728, 735, 743, 747, 755, 761, 762, 768, 773, 782, 785, 792, 798, 801, 812, 818, 819, 825, 827, 836, 839, 846, 855, 857, 860, 864, 875, 878, 890, 894, 897, 899, 911, 915, 918, 920, 927, 950, 959, 960, 969, 974, 981, 987, 990, 992, 993, ...	A002384
5	2, 7, 12, 13, 17, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 40, 43, 44, 50, 62, 63, 68, 73, 74, 77, 79, 83, 85, 94, 99, 110, 117, 118, 120, 122, 127, 129, 134, 143, 145, 154, 162, 164, 165, 172, 175, 177, 193, 198, 204, 208, 222, 227, 239, 249, 254, 255, 260, 263, 265, 274, 275, 277, 285, 288, 292, 304, 308, 327, 337, 340, 352, 359, 369, 373, 393, 397, 408, 414, 417, 418, 437, 439, 448, 457, 459, 474, 479, 490, 492, 495, 503, 505, 514, 519, 528, 530, 538, 539, 540, 550, 557, 563, 567, 568, 572, 579, 594, 604, 617, 637, 645, 650, 662, 679, 694, 699, 714, 728, 745, 750, 765, 770, 772, 793, 804, 805, 824, 837, 854, 860, 864, 868, 880, 890, 919, 942, 954, 967, 968, 974, 979, ...	A049409
7	2, 3, 5, 6, 13, 14, 17, 26, 31, 38, 40, 46, 56, 60, 61, 66, 68, 72, 73, 80, 87, 89, 93, 95, 115, 122, 126, 128, 146, 149, 156, 158, 160, 163, 180, 186, 192, 203, 206, 208, 220, 221, 235, 237, 238, 251, 264, 266, 280, 282, 290, 294, 300, 303, 320, 341, 349, 350, 353, 363, 381, 395, 399, 404, 405, 417, 418, 436, 438, 447, 450, 461, 464, 466, 478, 523, 531, 539, 548, 560, 583, 584, 591, 599, 609, 611, 622, 646, 647, 655, 657, 660, 681, 698, 700, 710, 717, 734, 760, 765, 776, 798, 800, 802, 805, 822, 842, 856, 863, 870, 878, 899, 912, 913, 926, 927, 931, 940, 941, 942, 947, 959, 984, 998, ...	A100330
11	5, 17, 20, 21, 30, 53, 60, 86, 137, 172, 195, 212, 224, 229, 258, 268, 272, 319, 339, 355, 365, 366, 389, 390, 398, 414, 467, 480, 504, 534, 539, 543, 567, 592, 619, 626, 654, 709, 735, 756, 766, 770, 778, 787, 806, 812, 874, 943, 973, ...	A162862년
13	2, 3, 5, 7, 34, 37, 43, 59, 72, 94, 98, 110, 133, 149, 151, 159, 190, 207, 219, 221, 251, 260, 264, 267, 282, 286, 291, 319, 355, 363, 373, 382, 397, 398, 402, 406, 408, 412, 436, 442, 486, 489, 507, 542, 544, 552, 553, 582, 585, 592, 603, 610, 614, 634, 643, 645, 689, 708, 720, 730, 744, 769, 772, 806, 851, 853, 862, 882, 912, 928, 930, 952, 968, 993, ...	A21770
17	2, 11, 20, 21, 28, 31, 55, 57, 62, 84, 87, 97, 107, 109, 129, 147, 149, 157, 160, 170, 181, 189, 191, 207, 241, 247, 251, 274, 295, 297, 315, 327, 335, 349, 351, 355, 364, 365, 368, 379, 383, 410, 419, 423, 431, 436, 438, 466, 472, 506, 513, 527, 557, 571, 597, 599, 614, 637, 653, 656, 688, 708, 709, 720, 740, 762, 835, 836, 874, 974, 976, 980, 982, 986, ...	A217071
19	2, 10, 11, 12, 14, 19, 24, 40, 45, 46, 48, 65, 66, 67, 75, 85, 90, 103, 105, 117, 119, 137, 147, 164, 167, 179, 181, 205, 220, 235, 242, 253, 254, 263, 268, 277, 303, 315, 332, 337, 366, 369, 370, 389, 399, 404, 424, 431, 446, 449, 480, 481, 506, 509, 521, 523, 531, 547, 567, 573, 581, 622, 646, 651, 673, 736, 768, 787, 797, 807, 810, 811, 817, 840, 846, 857, 867, 869, 870, 888, 899, 902, 971, 988, 990, 992, ...	A217072
23	10, 40, 82, 113, 127, 141, 170, 257, 275, 287, 295, 315, 344, 373, 442, 468, 609, 634, 646, 663, 671, 710, 819, 834, 857, 884, 894, 904, 992, 997, ...	A217073
29	6, 40, 65, 70, 114, 151, 221, 229, 268, 283, 398, 451, 460, 519, 554, 587, 627, 628, 659, 687, 699, 859, 884, 915, 943, 974, 986, ...	A217074
31	2, 14, 19, 31, 44, 53, 71, 82, 117, 127, 131, 145, 177, 197, 203, 241, 258, 261, 276, 283, 293, 320, 325, 379, 387, 388, 406, 413, 461, 462, 470, 486, 491, 534, 549, 569, 582, 612, 618, 639, 696, 706, 723, 746, 765, 767, 774, 796, 802, 877, 878, 903, 923, 981, 991, 998, ...	A217075
37	61, 77, 94, 97, 99, 113, 126, 130, 134, 147, 161, 172, 187, 202, 208, 246, 261, 273, 285, 302, 320, 432, 444, 503, 523, 525, 563, 666, 680, 709, 740, 757, 787, 902, 962, 964, 969, ...	A217076
41	14, 53, 55, 58, 71, 76, 82, 211, 248, 271, 296, 316, 430, 433, 439, 472, 545, 553, 555, 596, 663, 677, 682, 746, 814, 832, 885, 926, 947, 959, ...	A217077
43	15, 21, 26, 86, 89, 114, 123, 163, 180, 310, 332, 377, 409, 438, 448, 457, 477, 526, 534, 556, 586, 612, 653, 665, 690, 692, 709, 760, 783, 803, 821, 848, 877, 899, 909, 942, 981, ...	A217078
47	5, 17, 19, 55, 62, 75, 89, 98, 99, 132, 172, 186, 197, 220, 268, 278, 279, 288, 439, 443, 496, 579, 583, 587, 742, 777, 825, 911, 966, ...	A217079
53	24, 45, 60, 165, 235, 272, 285, 298, 307, 381, 416, 429, 623, 799, 858, 924, 929, 936, ...	A217080
59	19, 70, 102, 116, 126, 188, 209, 257, 294, 359, 451, 461, 468, 470, 638, 653, 710, 762, 766, 781, 824, 901, 939, 964, 995, ...	A217081
61	2, 19, 69, 88, 138, 155, 205, 234, 336, 420, 425, 455, 470, 525, 555, 561, 608, 626, 667, 674, 766, 779, 846, 851, 937, 971, 998, ...	A217082
67	46, 122, 238, 304, 314, 315, 328, 332, 346, 372, 382, 426, 440, 491, 496, 510, 524, 528, 566, 638, 733, 826, ...	A217083
71	3, 6, 17, 24, 37, 89, 132, 374, 387, 402, 421, 435, 453, 464, 490, 516, 708, 736, 919, 947, 981, ...	A217084
73	11, 15, 75, 114, 195, 215, 295, 335, 378, 559, 566, 650, 660, 832, 871, 904, 966, ...	A217085
79	22, 112, 140, 158, 170, 254, 271, 330, 334, 354, 390, 483, 528, 560, 565, 714, 850, 888, 924, 929, 933, 935, 970, ...	A217086
83	41, 146, 386, 593, 667, 688, 906, 927, 930, ...	A217087
89	2, 114, 159, 190, 234, 251, 436, 616, 834, 878, ...	A217088
97	12, 90, 104, 234, 271, 339, 420, 421, 428, 429, 464, 805, 909, 934, ...	A217089
101	22, 78, 164, 302, 332, 359, 387, 428, 456, 564, 617, 697, 703, 704, 785, 831, 979, ...
103	3, 52, 345, 392, 421, 472, 584, 617, 633, 761, 767, 775, 785, 839, ...
107	2, 19, 61, 68, 112, 157, 219, 349, 677, 692, 700, 809, 823, 867, 999, ...
109	12, 57, 72, 79, 89, 129, 158, 165, 239, 240, 260, 277, 313, 342, 421, 445, 577, 945, ...
113	86, 233, 266, 299, 334, 492, 592, 641, 656, 719, 946, ...
127	2, 5, 6, 47, 50, 126, 151, 226, 250, 401, 427, 473, 477, 486, 497, 585, 624, 644, 678, 685, 687, 758, 896, 897, 936, ...
131	7, 493, 567, 591, 593, 613, 764, 883, 899, 919, 953, ...
137	13, 166, 213, 355, 586, 669, 707, 768, 833, ...
139	11, 50, 221, 415, 521, 577, 580, 668, 717, 720, 738, 902, ...
149	5, 7, 68, 79, 106, 260, 319, 502, 550, 779, 855, ...
151	29, 55, 57, 160, 176, 222, 255, 364, 427, 439, 642, 660, 697, 863, ...
157	56, 71, 76, 181, 190, 317, 338, 413, 426, 609, 694, 794, 797, 960, ...
163	30, 62, 118, 139, 147, 291, 456, 755, 834, 888, 902, 924, ...
167	44, 45, 127, 175, 182, 403, 449, 453, 476, 571, 582, 700, 749, 764, 929, 957, ...
173	60, 62, 139, 141, 303, 313, 368, 425, 542, 663, ...
179	304, 478, 586, 942, 952, 975, ...
181	5, 37, 171, 427, 509, 571, 618, 665, 671, 786, ...
191	74, 214, 416, 477, 595, 664, 699, 712, 743, 924, ...
193	118, 301, 486, 554, 637, 673, 736, ...
197	33, 236, 248, 262, 335, 363, 388, 593, 763, 813, ...
199	156, 362, 383, 401, 442, 630, 645, 689, 740, 921, 936, 944, 983, 988, ...
211	46, 57, 354, 478, 539, 581, 653, 829, 835, 977, ...
223	183, 186, 219, 221, 661, 749, 905, 914, ...
227	72, 136, 235, 240, 251, 322, 350, 500, 523, 556, 577, 671, 688, 743, 967, ...
229	606, 725, 754, 858, 950, ...
233	602, ...
239	223, 260, 367, 474, 564, 862, ...
241	115, 163, 223, 265, 270, 330, 689, 849, ...
251	37, 246, 267, 618, 933, ...
257	52, 78, 435, 459, 658, 709, ...
263	104, 131, 161, 476, 494, 563, 735, 842, 909, 987, ...
269	41, 48, 294, 493, 520, 812, 843, ...
271	6, 21, 186, 201, 222, 240, 586, 622, 624, ...
277	338, 473, 637, 940, 941, 978, ...
281	217, 446, 606, 618, 790, 864, ...
283	13, 197, 254, 288, 323, 374, 404, 943, ...
293	136, 388, 471, ...

리피유닛 프라임 베이스 b

$R{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {}_{}b}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle R_{p}(b)}$이(가) prime인 최소 > 2 ${\displaystyle p>2}$은($b{\displaystyle }$ = 2 ${\displaystyle b=2$ 해당 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyp}$이 없는 $경우$ 0)이다${\displaystyle .}$

3, 3, 0, 3, 3, 5, 3, 0, 19, 17, 3, 5, 3, 3, 0, 3, 25667, 19, 3, 3, 5, 5, 3, 0, 7, 3, 5, 5, 5, 7, 0, 3, 13, 313, 0, 13, 3, 349, 5, 3, 1319, 5, 5, 19, 7, 127, 19, 0, 3, 4229, 103, 11, 3, 17, 7, 3, 41, 3, 7, 7, 3, 5, 0, 19, 3, 19, 5, 3, 29, 3, 7, 5, 5, 3, 41, 3, 3, 5, 3, 0, 23, 5, 17, 5, 11, 7, 61, 3, 3, 4421, 439, 7, 5, 7, 3343, 17, 13, 3, 0, ... (seOEIS에서 Quence A128164)

$R{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle b}$) ${\displaystyle R_{p}(-b)}$이(가) prime인 최소 > 2 ${\displaystyle r_${p}(-b$)$가 $prime$인 경우 시작($b{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}${\$displaysty b=2$ 0$$, 이러한 p${\dismark$ 현재 알 수 없는 경우 물음표)

3, 3, 3, 5, 3, 3, 0, 3, 5, 5, 5, 3, 7, 3, 3, 7, 3, 17, 5, 3, 3, 11, 7, 3, 11, 0, 3, 7, 139, 109, 0, 5, 3, 11, 31, 5, 5, 3, 53, 17, 3, 5, 7, 103, 7, 5, 5, 7, 1153, 3, 7, 21943, 7, 3, 37, 53, 3, 17, 3, 7, 11, 3, 0, 19, 7, 3, 757, 11, 3, 5, 3, 7, 13, 5, 3, 37, 3, 3, 5, 3, 293, 19, 7, 167, 7, 7, 709, 13, 3, 3, 37, 89, 71, 43, 37, ?, 19, 7, 3, ... (sequOEIS에서 A084742에 포함)

$(\displaystyle b)$	$R{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$(${\displaystyle b}$) ${\displaystyle R_{n}(b)}$이(가) prime인 숫자 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}($일부 큰 용어는 primes에만 해당되며, 이러한 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$은 최대 100,000까지 검사됨$$)	OEIS 시퀀스
−50	1153, 26903, 56597, ...	A309413
−49	7, 19, 37, 83, 1481, 12527, 20149, ...	A237052
−48	2*, 5, 17, 131, 84589, ...	A236530
−47	5, 19, 23, 79, 1783, 7681, ...	A236167
−46	7, 23, 59, 71, 107, 223, 331, 2207, 6841, 94841, ...	A235683
−45	103, 157, 37159, ...	A309412
−44	2*, 7, 41233, ...	A309411
−43	5, 7, 19, 251, 277, 383, 503, 3019, 4517, 9967, 29573, ...	A231865
−42	2*, 3, 709, 1637, 17911, 127609, 172663, ...	A231604
−41	17, 691, 113749, ...	A309410
−40	53, 67, 1217, 5867, 6143, 11681, 29959, ...	A229663
−39	3, 13, 149, 15377, ...	A230036
−38	2*, 5, 167, 1063, 1597, 2749, 3373, 13691, 83891, 131591, ...	A229524
−37	5, 7, 2707, 163193, ...	A309409
−36	31, 191, 257, 367, 3061, 110503, ...	A229145
−35	11, 13, 79, 127, 503, 617, 709, 857, 1499, 3823, 135623, ...	A185240
−34	3, 294277, ...
−33	5, 67, 157, 12211, 313553, ...	A185230
−32	2* (다른 항목 없음)
−31	109, 461, 1061, 50777, ...	A126856
−30	2*, 139, 173, 547, 829, 2087, 2719, 3109, 10159, 56543, 80599, ...	A071382
−29	7, 112153, 151153, ...	A291906
−28	3, 19, 373, 419, 491, 1031, 83497, ...	A071381
−27	(iii)
−26	11, 109, 227, 277, 347, 857, 2297, 9043, ...	A071380
−25	3, 7, 23, 29, 59, 1249, 1709, 1823, 1931, 3433, 8863, 43201, 78707, ...	A057191
−24	2*, 7, 11, 19, 2207, 2477, 4951, ...	A057190
−23	11, 13, 67, 109, 331, 587, 24071, 29881, 44053, ...	A057189
−22	3, 5, 13, 43, 79, 101, 107, 227, 353, 7393, 50287, ...	A057188
−21	3, 5, 7, 13, 37, 347, 17597, 59183, 80761, 210599, 394579, ...	A057187
−20	2*, 5, 79, 89, 709, 797, 1163, 6971, 140053, 177967, 393257, ...	A057186
−19	17, 37, 157, 163, 631, 7351, 26183, 30713, 41201, 77951, 476929, ...	A057185
−18	2*, 3, 7, 23, 73, 733, 941, 1097, 1933, 4651, 481147, ...	A057184
−17	7, 17, 23, 47, 967, 6653, 8297, 41221, 113621, 233689, 348259, ...	A057183
−16	3, 5, 7, 23, 37, 89, 149, 173, 251, 307, 317, 30197, 1025393, ...	A057182
−15	3, 7, 29, 1091, 2423, 54449, 67489, 551927, ...	A057181
−14	2*, 7, 53, 503, 1229, 22637, 1091401, ...	A057180
−13	3, 11, 17, 19, 919, 1151, 2791, 9323, 56333, 1199467, ...	A057179
−12	2*, 5, 11, 109, 193, 1483, 11353, 21419, 21911, 24071, 106859, 139739, 495953, ...	A057178
−11	5, 7, 179, 229, 439, 557, 6113, 223999, 327001, ...	A057177
−10	5, 7, 19, 31, 53, 67, 293, 641, 2137, 3011, 268207, 1600787, ...	A001562년
−9	3, 59, 223, 547, 773, 1009, 1823, 3803, 49223, 193247, 703393, 860029, ...	A057175
−8	2* (다른 항목 없음)
−7	3, 17, 23, 29, 47, 61, 1619, 18251, 106187, 201653, 1178033, ...	A057173
−6	2*, 3, 11, 31, 43, 47, 59, 107, 811, 2819, 4817, 9601, 33581, 38447, 41341, 131891, 196337, 1313371, ...	A057172
−5	5, 67, 101, 103, 229, 347, 4013, 23297, 30133, 177337, 193939, 266863, 277183, 335429, 1856147, ...	A057171
−4	2*, 3 (다른 것은 없음)
−3	2*, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 281, 359, 487, 577, 1579, 1663, 1741, 3191, 9209, 11257, 12743, 13093, 17027, 26633, 104243, 134227, 152287, 700897, 1205459, 1896463, 2533963, ...	A007658
−2	3, 4*, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 79, 101, 127, 167, 191, 199, 313, 347, 701, 1709, 2617, 3539, 5807, 10501, 10691, 11279, 12391, 14479, 42737, 83339, 95369, 117239, 127031, 138937, 141079, 267017, 269987, 374321, 986191, 4031399, ..., 13347311, 13372531, ...	A000978
2	2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, ..., 57885161, ..., 74207281, ..., 77232917, ..., 82589933, ...	A000043
3	3, 7, 13, 71, 103, 541, 1091, 1367, 1627, 4177, 9011, 9551, 36913, 43063, 49681, 57917, 483611, 877843, 2215303, ...	A028491
4	2 (다른 항목 없음)
5	3, 7, 11, 13, 47, 127, 149, 181, 619, 929, 3407, 10949, 13241, 13873, 16519, 201359, 396413, 1888279, ...	A004061
6	2, 3, 7, 29, 71, 127, 271, 509, 1049, 6389, 6883, 10613, 19889, 79987, 608099, 1365019, ...	A004062
7	5, 13, 131, 149, 1699, 14221, 35201, 126037, 371669, 1264699, ...	A004063
8	3 (다른 것 없음)
9	(iii)
10	2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343, ..., 5794777, ...	A004023
11	17, 19, 73, 139, 907, 1907, 2029, 4801, 5153, 10867, 20161, 293831, ...	A005808
12	2, 3, 5, 19, 97, 109, 317, 353, 701, 9739, 14951, 37573, 46889, 769543, ...	A004064
13	5, 7, 137, 283, 883, 991, 1021, 1193, 3671, 18743, 31751, 101089, 1503503, ...	A016054
14	3, 7, 19, 31, 41, 2687, 19697, 59693, 67421, 441697, ...	A006032
15	3, 43, 73, 487, 2579, 8741, 37441, 89009, 505117, 639833, ...	A006033
16	2 (다른 항목 없음)
17	3, 5, 7, 11, 47, 71, 419, 4799, 35149, 54919, 74509, 1990523, ...	A006034
18	2, 25667, 28807, 142031, 157051, 180181, 414269, ...	A133857
19	19, 31, 47, 59, 61, 107, 337, 1061, 9511, 22051, 209359, ...	A006035
20	3, 11, 17, 1487, 31013, 48859, 61403, 472709, ...	A127995
21	3, 11, 17, 43, 271, 156217, 328129, ...	A127996
22	2, 5, 79, 101, 359, 857, 4463, 9029, 27823, ...	A127997
23	5, 3181, 61441, 91943, 121949, ...	A204940
24	3, 5, 19, 53, 71, 653, 661, 10343, 49307, 115597, 152783, ...	A127998
25	(iii)
26	7, 43, 347, 12421, 12473, 26717, ...	A127999
27	3 (다른 것 없음)
28	2, 5, 17, 457, 1423, 115877, ...	A128000
29	5, 151, 3719, 49211, 77237, ...	A181979년
30	2, 5, 11, 163, 569, 1789, 8447, 72871, 78857, 82883, ...	A098438
31	7, 17, 31, 5581, 9973, 101111, 535571, ...	A128002
32	(iii)
33	3, 197, 3581, 6871, 183661, ...	A209120
34	13, 1493, 5851, 6379, 125101, ...	A185073
35	313, 1297, ...
36	2 (다른 항목 없음)
37	13, 71, 181, 251, 463, 521, 7321, 36473, 48157, 87421, 168527, 249341, ...	A128003
38	3, 7, 401, 449, 109037, ...	A128004
39	349, 631, 4493, 16633, 36341, ...	A181987년
40	2, 5, 7, 19, 23, 29, 541, 751, 1277, ...	A128005
41	3, 83, 269, 409, 1759, 11731, ...	A239637
42	2, 1319, ...
43	5, 13, 6277, 26777, 27299, 40031, 44773, ...	A240765
44	5, 31, 167, 100511, ...	A294722
45	19, 53, 167, 3319, 11257, 34351, ...	A242797
46	2, 7, 19, 67, 211, 433, 2437, 2719, 19531, ...	A243279
47	127, 18013, 39623, ...	A267375
48	19, 269, 349, 383, 1303, 15031, ...	A245237
49	(iii)
50	3, 5, 127, 139, 347, 661, 2203, 6521, ...	A245442

^* 부정적인 기초와 심지어 n까지 있는 재결합은 부정적이다. 절대값이 prime이면 위에 포함되며 별표가 표시된다. 그것들은 해당 OEIS 시퀀스에 포함되지 않는다.

자세한 내용은 항목을 참조하십시오.^{[7][8][9][10]}

일반화된 단위수의 대수적 인자화

b가 완벽한 전력(mⁿ, m, n 정수, n > 1)이 1과 다른 경우, base-b에는 최대 한 개의 repunit가 있다. 만약 n은 주 전원(pr로, p, r정수, p, r을 총리와 함께;0 쓸 수 있습니다.), base-b의 모든 repunit을 제쳐 두고 Rp과 R2의 총리지 않다.Rp거나 합성 전 예, b)−216, −128, 4,8,16,27,36,100,128,256, 등은 후자의 예, b)−243, −125, −64, −32, −27, −8, 9,25,32,49,81,121,125,144,169,19황금기가 될 수 있다.6, 216, 225, 243, 289 등이며₂, R은 b가 음수일 경우에만 프라임(p가 2와 다를 때)이 될 수 있으며, 예를 들어 b = -8, -32, -128, -8192 등, -2의 검정력이 있을 경우에만 -2의 검정력이 될 수 있으며, 사실 R도₂ 복합적일 수 있다(예: b = -512, -2048, -32768 등). n이 주력이 아니라면 b = 64, 729(n = 6), b = 1024(n = 10), b = -1 또는 0(자연수 n)과 같은 b = 베이스 b 단위 주기가 존재하지 않는다. 또 다른 특수한 상황은 b = -4k이고⁴, k 양의 정수로, 예를 들어, b = -4(k = 1, R과₂ R은₃ priimes), b = -64, -324, -1024, -2500, -5184, ...(k = 2, 3, 4, 5, 6, ...), 이후 base-b primit이 존재하지 않는다. 또한 b가 완벽한 힘도 아니고 k의 양의 정수를 가진 -4k도⁴ 아닐 때, 무한히 많은 베이스 b 단위 리패임이 존재한다고 추측된다.

일반적인 추정치.

일반화 단위 프리타임과 관련된 추측:^[11][12] (예측에서는 다음 메르센 수상이 어디에 있는지 예측하고, 추측이 사실이라면, 모든 베이스 $b$에 무한히 많은 리플레이션 $프리몬드$가 존재한다$.$

조건을 충족하는 정수 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$의 경우$:$

1. > 1 $[\displaystyle$ b $>1$
2. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$은($b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$이(가) $완벽$한 r ${\displaystyle r}$ 전원일$$ 때 b ${\displaystyle \frac{n^{}}{}}$- ${\displaystyle \frac{}{}}$ -${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle$ {$b^{n}-1}}$이(가) 프라임이고 이$$ $n{\displaystyle }$ ${displaystystyle n}$ 값이$$$$ $하나임$을 나타낼 수 있다.lue는 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$ 자체 또는$$ r ${\displaystyle r$의 루트임
3. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$이$({\displaystyle }$가) - ${\displaystyle {4k\mathrm{}}^{}}$ 4$${\$displaystyle -4k^{4$그렇다면 숫자에는 오라이퓨유이언 인자화가 있음) 형식이 아님$$

그 형태에 대한 일반화된 단위 재생수를 가지고 있다.

${\displaystyle R_{p}(b)={\frac {b^{p}-1}{b-1}}$

prime $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$에 대해 prime 번호는 최적 핏 라인 근처에 분포한다$.$

${\displaystyle Y=G\cdot \log _{b}\left(\log _{b}\left(R_{b)}(n)\right)+C,}$

여기서 한계 $n{\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle$ n$\\rightarrow \infit$ $\},$ $G{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ e ${\displaystyle \frac{{\gamma }^{}}{}}$=${\displaystyle \mathrm{0.561459483566...}}$${\displaystyle G={\frac {1}{e^{\gamma}}}=0.561459483566...$$}$

그리고 거기에는 약

${\displaystyle \left(\log _{e}(N)+m\cdot \log _{e}(2)\cdot \log _{e}{\big (}\log _{e}(N){\big )}+{\frac {1}{\sqrt {N}}}-\delta \right)\cdot {\frac {e^{\gamma }}{\log _{e}( b )}}}$

기저-b 단위 프리타임 N보다 작다.

• ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e}$은(는) 자연 로그의 베이스다.
• ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma}$은(는) 오일러-마스케로니 상수다.
• ${\displaystyle {log}_{}}$ b${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle \log$ _${b}$는 base b $displaystyle b}$의 로그임
• ${\displaystyle R_{}}$( ${\displaystyle b_{}}$)${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle n}$) ${\$$displaystyle$ $R_{(b)}(n$)}(n$)$은 baseb(prime p 포함)로$$ 일반화된 repunit $prime이다.$
• ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$은(는) $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b$에 따라 달라지는 데이터 적합 상수입니다.
• ${\displaystyle \Delta }$= 1$$> ${\displaystyle b>0}$인 $경우$$\Delta {\displaystyle }$= $.$6 {\$displaystyle$ $\$$protect$ =$$$1$.$6}$ < $>$인 경우
• ${\displaystyle }$${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$은$({\displaystyle }$는$)$ - ${\displaystyle b^{}}$ ${\displaystyle {\{\backslash }^{}}$$displaystyle -b}$이(가) $2m{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ - ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$의 출력일 정도로 가장 큰 자연수다$$.

또한 다음과 같은 3가지 속성을 가지고 있다.

1. The number of prime numbers of the form ${\displaystyle {\frac {b^{n}-1}{b-1}}}$ (with prime ${\displaystyle p}$) less than or equal to ${\displaystyle n}$ is about ${\displaystyle e^{\gamma }\cdot \log _{ b }{\big (}\log _{ b }($$n){\big$ $)\}\}\}\}.$
2. $n$ ${\displaystylen}$과$($${\displaystyle 와}$) ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n}$ 사이에$$ $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ {$b^{n1}-1}{$$b-1$$}}$ 형식의 예상 소수점은 $e{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\gamma }^{}}$ ${\$ e$^\gamma }$에 대한 것이다$.$
3. $b{\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{n^{}}{}}$- ${\displaystyle \frac{}{}}$b - ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\$$}-$1$}{b-1$$\}$ 형식의 숫자가 prime일$$ 확률은 e${\displaystyle \frac{}{}}$prime $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$로그${\displaystyle \frac{{edisplay}_{}}{}}$ (b ){\$displaystyle$${e^{\gamma }{p\cdlog _{e(b$

역사

비록 그들이 그 당시에는 그 이름으로 알려져 있지 않았지만, 염기서열 10의 재조합은 반복적인 소수점들의 순환 패턴을 연구하고 예측하기 위한 노력의 일환으로 19세기 동안 많은 수학자들에 의해 연구되었다.^[13]

prime p가 5보다 크면 소수점 1/p의 확장 기간이 p로 나눌 수 있는 최소 단위 숫자의 길이와 같다는 것이 매우 일찍 밝혀졌다. 1860년까지 6만까지의 소수점 상호간의 표들이 출판되었고 모든 R과₁₆ 많은 더 큰 것들의 Ruschle과 같은 수학자들에 의해 요소화가 허용되었다. 1880년까지 R에서₁₇ R까지₃₆ 고려되었는데^[13], Edouard Lucas가 3백만 이하의 전성기가 19세기를 가진 것을 보여주지는 않았지만, 20세기 초까지 어떤 단위의 영장성을 시험하려는 시도가 없었다는 것은 의아한 일이다. 미국의 수학자 오스카 호페는 1916년에^[14] R이₁₉ 황금이라는 것을 증명했고, 레머와 크라이치크는 1929년에 R이₂₃ 황금이라는 것을 독자적으로 발견했다.

리패니트 연구의 추가적인 발전은 컴퓨터가 리패니트의 많은 새로운 요소들을 발견하도록 허용하고 초기 프라임 기간의 표의 차이를 교정한 1960년대에 이르러서야 일어났다. R은₃₁₇ 1966년 경에 가능한 프라임으로 밝혀졌고, 11년 후 프라임으로 판명되었는데, 이때 R은₁₀₃₁ 1만자리 미만의 유일한 프라임 유닛으로 밝혀졌다. 1986년에 전성기가 증명되었지만, 이후 10년 동안 더 많은 전성기를 찾는 것은 지속적으로 실패했다. 그러나, 일반화된 리패니트 분야에서 주요한 측면의 발전이 있었고, 이것은 많은 수의 새로운 프리마임과 개연성 있는 프리마임을 생산했다.

1999년 이후, 아마도 4개의 프라임 리퍼니트가 더 발견되었지만, 그 중 어느 것도 거대한 크기 때문에 예측 가능한 미래에 프라임이 증명될 것 같지는 않다.

커닝햄 프로젝트는 (기타 숫자 중) repunits의 정수 인자를 베이스 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12에 기록하려고 노력한다.

뎀로 수

D. R. 카프레카르는 뎀로 숫자를 왼쪽, 중간, 오른쪽 부분의 연결로 정의했는데, 여기서 왼쪽과 오른쪽 부분은 길이가 같아야 하고(왼쪽으로 0까지 이어질 수 있는 최대) 숫자까지 더해져야 하며, 중간 부분은 이 반복된 숫자의 어떤 추가 숫자도 포함할 수 있다.^[15] 이들은 카프레카르가 조사를 시작한 당시 G.I.P. 철도의 봄베이에서 30마일 떨어진 뎀로 철도역(현재의 돔비빌리)의 이름을 따서 이름 지어졌다. 그는 원더풀 뎀로(Wonderful Demlo)를 1,121, 12321, 1234321, ..., 12345678987654321 형식의 번호로 부른다. The fact that these are the squares of the repunits has led some authors to call Demlo numbers the infinite sequence of these,^[16] 1, 121, 12321, ..., 12345678987654321, 1234567900987654321, 123456790120987654321, ..., (sequence A002477 in the OEIS), although one can check these are not Demlo numbers for p = 10, 19, 28, ...

참고 항목

• 모두 하나의 다항식 - 다른 일반화
• 괴마이트의 추측
• 반복소수법
• 자리수
• Wagstaff prime - 음의 $b{\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle$ b$=-2}$을(를) 갖는 repunit primes로 생각할 수 있다.

각주

메모들

참조

참조

• Beiler, Albert H. (2013) [1964], Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains, Dover Recreational Math (2nd Revised ed.), New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-21096-4
• Dickson, Leonard Eugene; Cresse, G.H. (1999), History of the Theory of Numbers, Volume I: Divisibility and primality (2nd Reprinted ed.), Providence, RI: AMS Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-1934-0
• Francis, Richard L. (1988), "Mathematical Haystacks: Another Look at Repunit Numbers", The College Mathematics Journal, 19 (3): 240–246, doi:10.1080/07468342.1988.11973120
• Gunjikar, K. R.; Kaprekar, D. R. (1939), "Theory of Demlo numbers" (PDF), Journal of the University of Bombay, VIII (3): 3–9
• Kaprekar, D. R. (1938a), "On Wonderful Demlo numbers", The Mathematics Student, 6: 68
• Kaprekar, D. R. (1938b), "Demlo numbers", J. Phys. Sci. Univ. Bombay, VII (3)
• Kaprekar, D. R. (1948), Demlo numbers, Devlali, India: Khareswada
• Ribenboim, Paulo (1996-02-02), The New Book of Prime Number Records, Computers and Medicine (3rd ed.), New York: Springer, ISBN 978-0-387-94457-9
• Yates, Samuel (1982), Repunits and repetends, FL: Delray Beach, ISBN 978-0-9608652-0-8

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Repunit". MathWorld.
• 커닝햄 프로젝트의 주요 테이블.
• Chris Caldwell이 The Prime Pages에서 리유닛을 했다.
• 세계의 주요 요소들!숫자의.
• 앤디 스튜어드가 최소 1000자리의 소수 자릿수를 갖는 일반화된 기본 리패니트
• Repunit Primes Project Giovanni Di Maria의 Repunit primes 페이지.
• (b^p-1)/(b-1) 및 (b^p+1)/(b+1)와 같은 최소 홀수 p는 베이스 2<=b<=1024)의 프라임이다.
• 재단위수의 인자화
• 일반화된 단위 프라임(base -50 ~ 50)