유클리드-울러 정리

유클리드-오일러 정리는 메르센 프리메스와 완벽한 숫자를 연관시키는 숫자 이론의 정리다.짝수는^p 2 - 1이 프라임^p−1 숫자인 2^p(2 - 1)가 있어야 완벽하다고 명시돼 있다.정리는 수학자 유클리드, 레온하르트 오일러의 이름을 따온 것인데, 그는 각각 정리의 "if"와 "only if" 측면을 증명했다.

메르세네 프리마임이 무한히 많은 것으로 추측되어 왔다.비록 이 추측의 진실은 아직 알려지지 않았지만, 유클리드-에 의해 그것은 동등하다.오일러 정리, 무한히 많은 수의 완벽한 숫자들이 있다는 추측까지.그러나 홀수 퍼펙트 숫자가 단 한 개라도 존재하는지 여부도 알 수 없다.^[1]

문 및 예

완전수는 적절한 구획의 합과 같은 자연수로서, 그것보다 적고 고르게 나누는 수(잔여 0)이다.예를 들어, 6의 적절한 구분자는 1, 2, 3으로 합하면 6이 되기 때문에 6이 완벽하다.

메르센 소수란 M_p = 2^p - 1 형태의 소수로서, 2의 힘보다 1이 적다.이러한 형태가 다수 전성기가 되려면 p 그 자체도 프라임이 되어야 하지만, 모든 프라임이 메르센을 이런 식으로 발생시키는 것은 아니다.예를 들어 2³ - 1 = 7은 메르센 프라임이지만 2 - 1 = 2047 = 23 × 89는 아니다¹¹.

유클리드-오일러 정리에서는 M이_p 메르센의 전성기인 2M형태를^p−1_p 갖추어야 짝수 자연수가 완벽하다고 밝히고 있다.^[1]완벽한 숫자²⁻¹₂ 6은 2M = 2 × 3 = 6 이 방법으로 p = 2에서 나오고 메르센 프라임 7은 같은 방식으로 완벽한 숫자 28과 일치한다.

역사

유클리드는 2^p - 1이 프라임일 때마다 2^p−1(2^p - 1)가 짝수라는 것을 증명했다.이것은 유클리드 원소의 수 이론에 대한 최종 결과물이다; 대신 원소들의 후기 책들은 비합리적인 수, 견고한 기하학, 황금 비율에 관한 것이다.유클리드에서는 비율 2로 시작하는 유한 기하계열의 원시합 q를 갖는다면, 이 합에 시리즈의 마지막 용어 t를 곱한 것이 완벽하다고 말하면서 결과를 표현한다.이 용어로 표현하면 유한계열의 합계 q는 메르센 프라임 2^p - 1이며, 계열의 마지막 용어 t는 2 2의^p−1 힘이다.유클리드(Eucleid)는 q에서 시작하는 비율 2의 기하학적 시리즈가 q = 2t - 1에 비례한다는 것을 관찰함으로써 qt가 완벽하다는 것을 증명한다. 따라서, 원래의 시리즈는 q = 2t - 1에 합하기 때문에, 두 번째 시리즈는 q(2t - 1)에 합치고, 두 시리즈 모두 합쳐서 2qt - qt에 합하여 예상된 것으로 추측되는 완전한 숫자의 두 배가 된다.그러나, 이 두 시리즈는 서로 분리되어 있고 (q의 원시성에 의해) qt의 모든 divisor를 소진하기 때문에, qt는 2qt에 이르는 divisor를 가지고 있어 완벽함을 보여준다.^[2]

유클리드 이후 1천년이 넘는 기간 동안 알하젠 1000 CE는 모든 완전한 숫자가^p 2 - 1이 황금인 2^p−1(2^p - 1) 형태라고 추측했지만, 그는 이 결과를 증명할 수 없었다.^[3]유클리드 이후 2000년이 넘는 18세기가 되어서야 레온하르트 오일러는 공식 2^p−1(2^p - 1)가 모든 짝수 숫자를 산출할 것이라는 것을 증명했다.^[4][1][5]따라서, 완벽한 숫자와 메르센의 소수 사이에는 일대일 관계가 있다; 각각의 메르센 프라임은 심지어 하나의 완벽한 숫자를 생성하며, 그 반대의 경우도 마찬가지다.오일러의 유클리드 증거 이후-오일러 정리, 다른 수학자들은 빅터-아메데 르베그, 로버트 대니얼 카마이클, 레너드 유진 딕슨, 존 크놉파마커, 웨인 L. 맥대니얼 등 다른 증거들을 발표했다.특히 딕슨의 증거는 교과서에서 흔히 사용되어 왔다.^[6]

이 정리는 1999년부터 시작된 "수학적 이론 상위 100개"의 웹 목록에 포함되었고, 이후 프리크 위디크에 의해 다른 증명 보조자들의 힘을 시험하기 위한 벤치마크 세트로 사용되었다.2021년^[update] 현재 유클리드-오일러 정리는 비디크가 기록한 교정조교 10명 중 5명에 공식화되었다.^[7]

증명

오일러의 증거는 짧고^[1], divisors 함수 sum의 합이 곱다는 사실에 의존한다. 즉, a와 b가 두 개의 비교적 주요한 정수라면, σ(ab) = σ(a)((b)이다.이 공식이 유효하려면 숫자의 구분자 합계가 숫자 자체를 포함해야 하며, 적절한 구분자만 포함해서는 안 된다.숫자는 분할자의 합이 값의 2배인 경우에만 완벽하다.

자급률

정리(유클리드에게 이미 증명된 부분)의 한 방향은 바로 승수 속성에서 따온 것인데, 모든 메르센의 전성기는 짝수 만점을 낳는다.2^p - 1이 프라임일 때${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ (${\displaystyle 2{}^{}}$p -${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$( ${\displaystyle {}^{}{p}^{}}$ -${\displaystyle 1}$) = ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle 2^{}}$p -${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$ ) ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (2^{}}$p -${\displaystyle 1}$ )${\displaystyle }$. ${\displaystyle \sigma (2^{p-1}{p}-$1)$=\$$bma(2^{p-1})\bma(2^{p}-1)$$}}$ 2의^p−1 점괘는 1, 2, 4, 8, ..., 2^p−1. 이 점괘의 합은 2^p - 1인 기하계열이다. 다음으로 2^p - 1은 프라임이기 때문에 그 점괘는 1이고 그 자체이므로 그 점괘의 합은 2이다^p.

이것들을 합치면

따라서 2(2^p−1p - 1)는 완벽하다.^[8][9][10]

필요성

다른 방향에서는 짝수 완벽한 숫자가 주어졌다고 가정하고, 부분적으로 x가 홀수인 2x로^k 계산한다.2x가^k 완벽해지려면 디비저의 합이 그 값의 2배여야 한다.

${\displaystyle 2^{k+1}x=\imma(2^{k}x)=(2^{k+1}-1)\imma(x)}$

(∗)

(∗)의 우측에 있는 홀수 인자^k+1 2 - 1은 최소 3이고, 좌측에 있는 유일한 홀수 인자인 x를 분할해야 하므로 y = x^k+1/(2 - 1)는 x의 적절한 구분자임. ( both)의 양쪽을 공통^k+1 인자 2 - 1로 나누고 x의 알려진 구분자 x와 y를 참작하면 된다.

이 평등이 사실이라면 다른 점쟁이는 있을 수 없다.따라서 y는 1이어야 하며 x는 2^k+1 - 1 형식의 프라임이어야 한다.^[8][9][10]

참조