숫자의 기하학

숫자의 기하학은 대수적 숫자의 연구를 위해 기하학을 사용하는 숫자 이론의 부분이다. 일반적으로 대수 정수 링은 ${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle \mathb {R} ^{n}}$에서 격자로 간주되며 이러한$$ 격자의 연구는 대수 숫자에 대한 기본적인 정보를 제공한다.^[1] 숫자의 기하학은 헤르만 민코프스키(1910)에 의해 시작되었다.

숫자의 기하학은 수학의 다른 분야, 특히 기능분석과 디오판틴 근사치와 밀접한 관계를 가지고 있는데, 이것은 불합리한 수량에 근접한 합리적인 숫자들을 찾는 문제인 것이다.^[2]

민코프스키의 결과

$\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma}$이(가) $n{\displaystyle }$ ${\displaystylen}$ -차원$$ 유클리드 공간 R $n{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$ {$R} ^{n}}$ 및$$ K ${\displaystyk}$이($가$) 볼록 중심 대칭 본체라고 가정하자. Minkowski's theorem, sometimes called Minkowski's first theorem, states that if ${\displaystyle \operatorname {vol} (K)>2^{n}\operatorname {vol} (\mathbb {R} ^{n}/\Gamma )}$, then ${\displaystyle K}$ contains a nonzero vector in ${\displaystyle \Gamma }$.

연속 최소값 ${\displaystyle {minimumk}_{}}$ ${\$은(는) $\lambda {\displaystyle }$$$${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \lambda K}$이(가) $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$$${\$displaystyle k}$에 γ ${\displaystyle$ $\backslash$$Gamma }$의 선형 독립 벡터를 포함하도록$$$$ 정의되며,$$때로는 연속적인 미니마도 있다.주도 민코프스키의 제2차 정리는 그의 첫 번째 정리의 강화로서 다음과^[3] 같이 진술하고 있다.

${\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}\operatorname {vol}(K)\leq 2^{n}\operatorname {vol}(\mathb {R} ^{n}/\Gamma).}$

숫자의 기하학적 구조에 대한 후기 연구

1930년부터 1960년까지 숫자의 기하학에 대한 연구는 많은 숫자 이론가들에 의해 수행되었다(루이스 모델, 해롤드 데이븐포트, 칼 루트비히 시겔 포함). 최근 몇 년간 렌스트라, 브리온, 바르비노크는 일부 볼록한 신체의 격자점을 열거한 결합 이론을 발전시켰다.^[4]

W. M. 슈미트의 아공간 정리

숫자의 기하학에서 아공간 정리는 볼프강 M에 의해 얻어졌다. 1972년 ^[5]슈미트 n이 양의 정수이고, L₁, ..., L이_n 대수 계수를 가진 n 변수에서 선형적으로 독립된 선형 형태이고, >>0이 주어진 실제 숫자라면, 0이 아닌 정수 점수는 n과 좌표 x라고 명시되어 있다.

${\displaystyle L_{1}(x)\cdots L_{n}(x) < x ^{-\varepsilon }}}$

Q의ⁿ 한정된 수의 적절한 하위 영역에 있다.

기능 분석에 미치는 영향

민코프스키의 숫자 기하학은 기능 분석에 지대한 영향을 미쳤다. Minkowski는 대칭 볼록한 몸체가 유한차원 벡터 공간에서 규범을 유도한다는 것을 증명했다. 밍코프스키의 정리는 콜모고로프에 의해 위상학적 벡터 공간으로 일반화되었는데, 그의 정리에는 닫히고 경계된 대칭 볼록 집합이 바나흐 공간의 위상을 발생시킨다고 되어 있다.^[6]

연구자들은 항성모양 세트와 기타 비콘벡스 세트에 대한 일반화를 계속 연구한다.^[7]

참조

참고 문헌 목록

• 마티아스 벡, 시나이 로빈스. 연속성을 이산적으로 계산하는 방법: 다면체에서의 정수점 열거, 수학에서의 학부 텍스트, 스프링거, 2007.
• Enrico Bombieri; Vaaler, J. (Feb 1983). "On Siegel's lemma". Inventiones Mathematicae. 73 (1): 11–32. Bibcode:1983InMat..73...11B. doi:10.1007/BF01393823. S2CID 121274024.
• Enrico Bombieri & Walter Gubler (2006). Heights in Diophantine Geometry. Cambridge U. P.
• J. W. S. 캐슬. 숫자의 기하학에 대한 소개. Springer Classic in Mathical, Springer-Verlag 1997 (1959년 및 1971년 Springer-Verlag 에디션)
• 존 호튼 콘웨이와 N. J. A. 슬로운, 스피어 패킹, 래티스와 그룹, 스프링거-버락, 뉴욕, 1998년 3차 에디션.
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• P. M. 그루버, 콘벡스 및 이산 기하학, 스프링거-베를라크, 2007.
• P. M. Gruber, J. M. Wills(편집자), 볼록 기하학 핸드북. 1993년 암스테르담 노스홀랜드 A.B.
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• Hancock, Harris (1939). Development of the Minkowski Geometry of Numbers. Macmillan. (1964년 Dover에 의해 다시 게시됨)
• 에드먼드 흐로카, 요하네스 쇼이엔지에, 루돌프 태스너. 기하학적 및 분석적 숫자 이론. 유니버시티텍스트. 스프링거-베를라크, 1991.
• Kalton, Nigel J.; Peck, N. Tenney; Roberts, James W. (1984), An F-space sampler, London Mathematical Society Lecture Note Series, 89, Cambridge: Cambridge University Press, pp. xii+240, ISBN 0-521-27585-7, MR 0808777
• C. G. 레커커커러커. 숫자의 기하학. 월터스-노르트호프, 북 홀랜드, 1969년 와일리
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• Malyshev, A.V. (2001) [1994], "Geometry of numbers", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Minkowski, Hermann (1910), Geometrie der Zahlen, Leipzig and Berlin: R. G. Teubner, JFM 41.0239.03, MR 0249269, retrieved 2016-02-28
• 볼프강 M. 슈미트 디오판틴 근사. 수학 785 강의 노트 스프링어. (1980 [1996년 사소한 수정 사항])
• Schmidt, Wolfgang M. (1996). Diophantine approximations and Diophantine equations. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1467 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 3-540-54058-X. Zbl 0754.11020.
• Siegel, Carl Ludwig (1989). Lectures on the Geometry of Numbers. Springer-Verlag.
• Rolf Schneider, Concolfx bodies: Brunn-Minkowski 이론, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.
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• 헤르만 바일 산술적 동등성에 대한 감소 이론. Ⅱ. 트랜스. 아머. 수학. Soc. 51 (1942) 203–231. 도이:10.2307/1989946