하르샤드 수

수학에서, 주어진 숫자 베이스에 있는 하르샤드 숫자(또는 니븐 숫자)는 그 베이스에 쓰여질 때 그 숫자의 합으로 나눌 수 있는 정수다.베이스 $n$ 의 하르샤드 숫자는 n-하샤드(또는 n-니벤) 번호로도 알려져 있다.Harshad 숫자는 D에 의해 정의되었다. 인도 출신의 수학자 R. 카프레카르.^[1]하샤드(harshad)라는 단어는 산스크리트 하르샤(joy) + 다(jive)에서 따온 말로, 기쁨-기쁨-기쁨-기쁨-기쁨-기쁨-기쁨-을 의미한다.'니븐 넘버'라는 용어는 이반 M이 전달한 논문에서 비롯되었다. 니벤은 1977년 숫자 이론에 관한 회의에서 만났다.

정의

Stated mathematically, let $X$ be a positive integer with $m$ digits when written in base $n$ , and let the digits be $a_{i}$ ( $i=0,1,\ldots ,m-1$ ). (It follows that $a_{i}$ must be either zero or a positive integer up to $n-1$ $n-1$ .) $X$ 는 다음과 같이 표현할 수 있다.

X=\sum _{i=0}^{m-1a_{i}n^{i}.

$X$ 는 다음과 같은 경우 base $n$ 에서 harshadd 수이다.

X\equiv 0{\bmod {\sum _{i=0}^{m-1a_{i}}}.

모든 숫자 베이스에서 거친 숫자인 숫자를 올 하르샤드 숫자 또는 올-니븐 숫자라고 부른다.올하샤드 번호는 1, 2, 4, 6의 4개뿐입니다.숫자 12는 8진수를 제외한 모든 베이스에서 거친 숫자다.

예

숫자 18은 베이스 10의 하르샤드 숫자로, 1과 8의 합은 9(1 + 8 = 9)이고, 18은 9로 나누어지기 때문이다.
하디-라마누잔 수 (1729)는 베이스 10에서 하르샤드 수로서, 19로 나누어지므로, 그 자릿수의 합계 (1729 = 19 × 91)가 된다.
숫자 19는 기본 10에서 하르샤드 숫자가 아니며, 1과 9의 합은 10(1 + 9 = 10)이고, 19는 10으로 나누어지지 않기 때문이다.
베이스 10에서는 숫자 R이_n 한자리 1, n>0의 n개의 복사본으로 구성되어 있고, a는_n n의 10보다ⁿ 작은 양의 정수, n의 배수로 구성되어 있는 9Ra_n_n 형식의 모든 자연수는 하르샤드 숫자다. (R. D'Amico, 2019).9Ra₃₃ = 521478, 여기서 R₃ = 111, n = 3, a = 3₃×174 = 522는 가혹한 숫자다. 사실 우리는 521478/(5+2+1+4+7+8) = 521478/27 = 19314를 가지고 있다.^[2]
베이스 10의 하르샤드 숫자는 다음 순서를 형성한다.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200, ... (sequence A005349 in the OEIS).
0과 n $사이$ 의 모든 정수는 n-harshad 수이다.

특성.

9에 대한 불분명한 시험을 볼 때, 9로 나누어질 수 있는 모든 숫자 또한 가혹한 숫자라는 것을 일반화하려는 유혹을 받을 수도 있다.그러나 $n$ 의 가혹성을 결정하기 위해 $n$ 의 숫자는 한 번만 합산할 수 있고 $n$ 은 그 합으로 나누어져야 한다. 그렇지 않으면 가혹한 숫자가 아니다.예를 들어, 9 + 9 = 18이므로 99는 가혹한 숫자가 아니며, 99는 18로 나누어지지 않는다.

기본 번호(더 나아가 그 힘)는 "10"과 1 + 0 = 1로 표현되기 때문에 항상 그 자체 베이스에서 하르샤드 수가 될 것이다.

b자리 합계가 b-1을 나누는 모든 숫자는 b자리의 harshad 수이다.

소수 또한 가혹한 숫자가 되려면 기본 숫자보다 작거나 같아야 하며 그렇지 않으면 소수 자릿수가 1보다 크지만 소수보다 작은 숫자로 합산되어 분할되지 않는다.예를 들어, 숫자 "11"의 합은 1 + 1 = 2이고 11은 2로 분할되지 않기 때문에 베이스 10에서 11은 하르샤드가 아니다. 반면 베이스 12에서 숫자 11은 또한 ɛ인 " may"로 나타낼 수 있다.Ⅱ는 그 자체로 분리가 가능하기 때문에 베이스 12에서는 하르샤드다.

요인 순서는 베이스 10에서 하르샤드 숫자로 시작하지만, 모든 요인이 하르샤드 숫자인 것은 아니다. 432!가 첫 번째가 아니다. (432!는 베이스 10에서 자릿수 합 = 3897² = 3×433이므로 432를 나누지 않는다!)

$k\cdot n$ $k\cdot n$ $k\cdot n$ 이 $k\cdot n$ (가) 가혹한 숫자인 최소 $k는$

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 10, 1, 9, 3, 2, 3, 6, 1, 6, 1, 1, 5, 9, 1, 2, 6, 1, 3, 9, 1, 12, 6, 4, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 1, 10, 1, 12, 3, 1, 5, 9, 1, 8, 1, 2, 3, 18, 1, 2, 2, 2, 9, 9, 1, 12, 6, 1, 3, 3, 2, 3, 3, 3, 1, 18, 1, 7, 3, 2, 2, 4, 2, 9, 1, ... (sequence A144261 in the OEIS).

$k\cdot n$ $k\cdot n$ $k\cdot n$ 이 $k\cdot n$ (가) 거친 숫자가 아닌 최소 $k는$

11, 7, 5, 4, 3, 11, 2, 2, 11, 13, 1, 8, 1, 1, 1, 1, 1, 161, 1, 8, 5, 1, 1, 4, 1, 1, 7, 1, 1, 13, 1, 1, 1, 1, 1, 83, 1, 1, 1, 4, 1, 4, 1, 1, 11, 1, 1, 2, 1, 5, 1, 1, 1, 537, 1, 1, 1, 1, 1, 83, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 68, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, ... (sequence A144262 in the OEIS).

기타 베이스

베이스 12의 하르샤드 숫자는 다음과 같다.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ᘔ, Ɛ, 10, 1ᘔ, 20, 29, 30, 38, 40, 47, 50, 56, 60, 65, 70, 74, 80, 83, 90, 92, ᘔ0, ᘔ1, Ɛ0, 100, 10ᘔ, 110, 115, 119, 120, 122, 128, 130, 134, 137, 146, 150, 153, 155, 164, 172, 173, 182, 191, 1ᘔ0, 1Ɛ0, 1Ɛᘔ, 200, ...

여기서 ᘔ은 10을, ɛ은 11을 나타낸다.

$k\cdot n$ $k\cdot n$ $k\cdot n$ 이 $k\cdot n$ (가) base-12 harshad n과 같은 최소 k는 (base 10에 기록됨):

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 12, 6, 4, 3, 10, 2, 11, 3, 4, 1, 7, 1, 12, 6, 4, 3, 11, 2, 11, 3, 1, 5, 9, 1, 12, 11, 4, 3, 11, 2, 11, 1, 4, 4, 11, 1, 16, 6, 4, 3, 11, 2, 1, 3, 11, 11, 11, 1, 12, 11, 5, 7, 9, 1, 7, 3, 3, 9, 11, 1, ...

$k\cdot n$ $k\cdot n$ ${\displaystyle k\cdot$ n $}$ 이(가) base-12 harshad $n$ 이 아닌 $k\cdot n$ 최소 $k$ 는 다음과 같다(base 10).

13, 7, 5, 4, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 13, 16, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 157, 1, 8, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 13, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 157, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 1885, 1, 1, 1, 1, 1, 3, ...

베이스 10과 유사하게, 베이스 12의 모든 요인이 하사드 숫자인 것은 아니다.7! (=5040 = 베이스 12의 2AX00, 베이스 12의 숫자 합은 13, 13은 7을 나누지 않는다!), 1276!은 다음이 아니다. (1276!는 베이스 12의 숫자 합 = 14201 = 11×1291을 가지므로 1276을 나누지 않는다!)

연속 하르샤드 수

연속 하르샤드 수의 최대 주행

쿠퍼와 케네디는 1993년에 21개의 연속 정수가 베이스 10에서 모두 거친 숫자가 아니라는 것을 증명했다.^[3]^[4]그들은 또한 무한히 많은 20개의 연속 정수를 만들었는데, 그 중 가장 작은 정수가 10을^44363342786 넘는다.

H. G. 그룬드먼(1994)은 쿠퍼와 케네디 결과를 확장하여 2b가 있지만 2b + 1 연속 b-harshad 수가 없다는 것을 보여주었다.^[4]^[5]이 결과는 b = 2 또는 3 b x T에 대해 2b 연속 b-harshad 수의 런이 무한히 많다는 것을 보여주기 위해 강화되었다. Cai(1996년)^[4]와 Brad Wilson의 임의 b.^[6]

따라서 2진수에서는 4회 연속 하르샤드 수의 런이 무한히 많고 3회 연속 6회 런이 무한히 많다.

일반적으로 이러한 최대 시퀀스는 N·b^k - b에서 N·b^k + (b - 1)까지 진행되는데, 여기서 b는 기반이고 k는 상대적으로 큰 힘이며, N은 상수다.이렇게 적절하게 선택된 한 시퀀스를 고려하여 다음과 같이 더 큰 시퀀스로 변환할 수 있다.

0을 N에 삽입해도 디지털 합계의 순서는 바뀌지 않는다 (21, 201, 2001이 모두 10하샤드 숫자인 것처럼).
첫 번째 자릿수인 α(αbⁱ 값) 뒤에 n 0을 삽입하면 N 값을 αbⁱ(bⁿ - 1)만큼 증가시킨다.
만약ⁿ 우리가 b - 1이 시퀀스의 모든 자릿수 합으로 분할될 수 있도록 보장할 수 있다면, 그 합에 의한 불분율은 유지된다.
만약 우리의 초기 시퀀스를 선택해서 숫자 합이 b와 일치하도록 한다면, 우리는ⁿ b = 1 modulo 그 모든 합을 해결할 수 있다.
그렇지 않지만, 각 자릿수의 합이 b와 일치하지 않는 부분이 αb를ⁱ 나누면, 여전히 불분명한 상태가 유지된다.
(검증되지 않음)초기 순서는 그렇게 선택되어 있다.

따라서 우리의 초기 순서는 무한대의 해결책들을 산출한다.

정확히 $n개$ 의 연속 10하샤드 숫자로 이루어진 첫 번째 런

The smallest naturals starting runs of exactly $n$ consecutive 10-harshad numbers (i.e., smallest $x$ such that $x,x+1,\cdots ,x+n-1$ are harshad numbers but $x-1$ and $x+n$ are not) are as follows (sequence A060159 in the OEIS):

$n$	1	2	3	4	5
$x$	12	20	110	510	131052
$n$	6	7	8	9	10
$x$	12751220	10000095	2162049150	124324220	1
$n$	11	12	13	14	15
$x$	920067411130599	43494229746440272890	121003242000074550107423034×10²⁰ − 10	420142032871116091607294×10⁴⁰ − 4	알 수 없는
$n$	16	17	18	19	20
$x$	50757686696033684694106416498959861492×10²⁸⁰ − 9	14107593985876801556467795907102490773681×10²⁸⁰ − 10	알 수 없는	알 수 없는	알 수 없는

이전 섹션에서는 $n>20$ > $n>20$ $n>20$ 에 대해 이러한 $x$ 가 존재하지 않는다 $n>20$

하르샤드 숫자의 밀도 추정

$N(x)$ ( $N(x)$ ) $N(x)$ 이(가) harshad 수 $\leq x$ x ${\displaystyle \leq x$ 을(를) 나타내도록 $N(x)$ 하면, 주어진 $\epsilon >0$ > $\epsilon >0$ $\epsilon >0$ 에 대해 $\epsilon >0$

x^{1-\barepsilon }\ll N(x)\ll {\frac {x\log \log x}{\log x}}}}

Jean-Marie De Koninck와 Nicolas Doyon이 보여주듯이,^[7] 더 나아가 De Koninck, Doyon 그리고 Katai는^[8] 그것을 증명했다.

N(x)=(c+o(1){\frac {x}{\log x},

여기서 $c=(14/27)\log 10\approx 1.1939$ = $c=(14/27)\log 10\approx 1.1939$ ( $c=(14/27)\log 10\approx 1.1939$ / $c=(14/27)\log 10\approx 1.1939$ ) $c=(14/27)\log 10\approx 1.1939$ $c=(14/27)\log 10\approx 1.1939$ $c=(14/27)\log 10\approx 1.1939$ 1 $c=(14/27)\log 10\approx 1.1939$ $c=(14/27)\log 10\ 약 1.1939$ 및 $c=(14/27)\log 10\approx 1.1939$ $o(1)$ $o(1)$ $o(1)$ ) $o(1)$ 용어는 $o(1)$ Big O 표기법을 사용한다.

하르샤드 수합

10억을 초과하지 않는 모든 자연수는 하르샤드 숫자 또는 두 하르샤드 숫자의 합이다.특정 데데킨드 제타 함수의 0에 대한 기술적 가설을 조건으로, 산나는 모든 자연수가 최대 $k$ ${\displaystyle$ k $}$ harshad $k$ 숫자의 합, 즉 하르샤드 숫자 집합은 가법적인 기초가 되는 양의 $k$ 정수 $k$ ${\displaystyle$ $k$ $}$ 이 존재한다는 것을 증명했다.^[9]

각각의 자연 숫자 1, 2, 3, ...을 두 개의 하르샤드 숫자의 합으로 쓸 수 있는 방법의 수는 다음과 같다.

0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 4, 4, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 4, 5, 4, 4, 4, 3, 2, 4, 3, 3, 4, 3, 3, 5, 3, 4, 5, 4, 4, 7, 4, 5, 6, 5, 3, 7, 4, 4, 6, 4, 2, 7, 3, 4, 5, 4, 3, 7, 3, 4, 5, 4, 3, 8, 3, 4, 6, 3, 3, 6, 2, 5, 6, 5, 3, 8, 4, 4, 6, ... (sequence A337853 in the OEIS).

정확히 1, 2, 3, ...의 방법으로 쓸 수 있는 가장 작은 숫자는 두 개의 하르샤드 숫자의 합이다.

2, 4, 6, 8, 10, 51, 48, 72, 108, 126, 90, 138, 144, 120, 198, 162, 210, 216, 315, 240, 234, 306, 252, 372, 270, 546, 360, 342, 444, 414, 468, 420, 642, 450, 522, 540, 924, 612, 600, 666, 630, 888, 930, 756, 840, 882, 936, 972, 1098, 1215, 1026, 1212, 1080, ... (sequence A337854 in the OEIS).

니벤모픽 수

주어진 숫자 베이스에 대한 니벤모픽 숫자 또는 가혹한 형태 숫자는 정수 $t$ 이며, 숫자 합이 $t$ 인 일부 하르샤드 숫자 $N$ 이 존재하고, 그 베이스에 $쓰여진$ t는 동일한 베이스에서 N을 $종료$ 한다.

예를 들어, 18은 기준 10에 대한 니벤모픽 수입니다.

16218은 숫자 18이 16218을 끝내기 때문에 18을 가진 16218이다.

산드로 보스카로는 베이스 10의 경우 11을 제외한 모든 양의 정수는 니벤모픽 숫자라고 결정했다.^[10]실제로 짝수 n > 1의 경우 n+1을 제외한 모든 양의 정수는 기본 n에 대한 니벤모픽 숫자이고, 홀수 정수 n > 1의 경우 모든 양의 정수는 기본 n에 대한 니벤모픽 숫자다. 예를 들어, 베이스 12의 니벤모픽 숫자는 OEIS: A01160 (13을 제외한 모든 양의 정수)이다.

기본 10자리 합 n을 가진 가장 작은 숫자와 기준 10에 쓰여진 끝 n은 다음과 같다: (그런 숫자가 없는 경우 0).

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 910, 0, 912, 11713, 6314, 915, 3616, 15317, 918, 17119, 9920, 18921, 9922, 82823, 19824, 9925, 46826, 18927, 18928, 78329, 99930, 585931, 388832, 1098933, 198934, 289835, 99936, 99937, 478838, 198939, 1999840, 2988941, 2979942, 2979943, 999944, 999945, 4698946, 4779947, 2998848, 2998849, 9999950, ... (sequence A187924 inOEIS)

여러 개의 하르샤드 수

Bloem(2005)은 다중 하르샤드 숫자를 하르샤드 숫자로 정의하는데, 이 숫자를 숫자의 합으로 나누면 또 다른 하르샤드 숫자를 생성한다.^[11]그는 6804가 "MH-4"라는 이유로 말한다.

{\regated}6804/18&=378\\378/18&=21/3&=7\7/7&=1/7&=1\end{aged}}}

( $1/1=1$ / 1 $1/1=1$ = $1/1=1$ ${\displaystyle 1/1=1$ 그러나 1은 "또 다른" 하르샤드 수가 아님)

그리고 2016502858579884466176이 NHN-12라는 것을 계속해서 보여주었다.숫자 100800000000 = 1008·10도¹⁰ 작지만 역시 NHN-12이다.일반적으로 1008·10은ⁿ NHN-(n+2)이다.

참조

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외부 링크

Weisstein, Eric W. "Harshad Number". MathWorld.

[1] D. R. 카프레카, 멀티디지탈 넘버, 스크립트마티카 21(1955), 27.

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[8] De Koninck, Jean-Marie; Doyon, Nicolas; Kátai, I. (2003), "On the counting function for the Niven numbers", Acta Arithmetica, 106: 265–275, doi:10.4064/aa106-3-5.

[9] Sanna, Carlo (March 2021), "Additive bases and Niven numbers", Bulletin of the Australian Mathematical Society, 104 (3): 373–380, doi:10.1017/S0004972721000186.

[10] Boscaro, Sandro (1996–1997), "Nivenmorphic integers", Journal of Recreational Mathematics, 28 (3): 201–205.

[11] Bloem, E. (2005), "Harshad numbers", Journal of Recreational Mathematics, 34 (2): 128.

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v t 구분성 기반 정수 집합
개요	정수 인자화 디비소르 유니터리 디비저 칸막이 함수 프라임인자 산술의 기본 정리
인자화 양식	프라임 합성 세미프라임 프로닉 스페닉 스퀘어 프리 파워풀하다 퍼펙트 파워 아킬레스 부드러움 정규 거칠다 특이한
제한된 구분자 합계	퍼펙트 거의 완벽하다 퀘이시퍼스펙트 곱하기완벽 헤미퍼펙트 초퍼펙트 슈퍼퍼펙트 유니터리 퍼펙트 세미퍼펙트 실용적인 에르데스-니콜라스
많은 디비저들과 함께	풍부하다 원시풍부한 매우 풍부함 과복량 엄청나게 풍부하다 고복합성 우수한 고복합성 이상한
앨리콧 시퀀스 관련	언터치블 우호적(트리플) 사교적인 베드로티드
기저 의존적	에퀴디지탈 사치스러운 검소한 하샤드 폴리분할제 스미스
기타 세트	산술 부족한 다정하다 독방 수블라임 하모니 디비저 데카르트 리팩터블 슈퍼퍼펙트

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목차

정의

예

특성.

기타 베이스

연속 하르샤드 수

연속 하르샤드 수의 최대 주행

정확히 $n개$ 의 연속 10하샤드 숫자로 이루어진 첫 번째 런

하르샤드 숫자의 밀도 추정

하르샤드 수합

니벤모픽 수

여러 개의 하르샤드 수

참조

외부 링크

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