비정상수

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숫자 이론에서 비정상적인 숫자는 가장 큰 주요 요인이 $n{\displaystyle \sqrt{}}$ ${\$보다 엄격히 큰 자연수 n이다$.$

k-smooth 수는 모든 주요 요인이 k보다 작거나 같으므로 비정상적인 숫자는 $$이$$아닌 {\$displaystyle {\sqrt{n$} -smooth이다$$.

소수와의 관계

모든 소수들이 평범하지 않다.prime p의 경우, p²보다 작은 배수는 특이하다. 즉, p, ... (p-1)p이며, 간격의 밀도는 1/p이다(p,p²).

예

처음 몇 개의 특이한 숫자는

2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 26, 28, 29, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 46, 47, 51, 52, 53, 55, 57, 58, 59, 61, 62, 65, 66, 67.... (sequence A064052 in the OEIS)

처음 몇 개의 비우량 비우량 수치는

6, 10, 14, 15, 20, 21, 22, 26, 28, 33, 34, 35, 38, 39, 42, 44, 46, 51, 52, 55, 57, 58, 62, 65, 66, 68, 69, 74, 76, 77, 78, 82, 85, 86, 87, 88, 91, 92, 93, 94, 95, 99, 102....

분배

u(n)로 n보다 작거나 같은 비정상적인 숫자의 수를 나타내는 경우 u(n)는 다음과 같이 동작한다.

n	u(n)	u(n)/n
10	6	0.6
100	67	0.67
1000	715	0.72
10000	7319	0.73
100000	73322	0.73
1000000	731660	0.73
10000000	7280266	0.73
100000000	72467077	0.72
1000000000	721578596	0.72

리차드 슈뢰펠은 1972년에 무작위로 선택한 숫자가 비정상적일 수 있는 점증적 확률은 ln(2)이라고 말했다.즉, 다음과 같다.

${\displaystyle \lim_{n\rightarrow \inflt}{\frac {u(n)}{n}}{n}=\ln(2)=0.693147\cH00\cHB \, \, \, \, \, \, \,}}$

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Rough Number". MathWorld.