건드릴 수 없는 숫자는 어떤 양의 정수(건드릴 수 없는 숫자 자체를 포함)의 모든 적절한 점수의 합으로 표현할 수 없는 양의 정수다.즉, 이 숫자는 고유함수의 이미지에 있지 않다.그들의 연구는 적어도 아부 만수르 알 바그다디(Abu Mansur al-Baghdadi, AD 1000년경)로 거슬러 올라간다.[1] 그들은 2와 5 둘 다 건드릴 수 없다고 관찰했다.
예를 들어, 숫자 4는 9: 1 + 3 = 4의 적절한 구분점 합계와 같기 때문에 건드릴 수 없다.숫자 5는 어떤 양의 정수의 적절한 구분자의 합이 아니기 때문에 건드릴 수 없다: 5 = 1 + 4는 1을 포함한 구별되는 양의 정수의 합으로 5를 쓸 수 있는 유일한 방법이지만, 만약 4가 숫자를 나눈다면 2도 마찬가지이므로, 1 + 4는 모든 수의 적절한 구분자의 합이 될 수 없다(요인의 리스트는 두 가지를 모두 포함해야 하기 때문에).4와 2).
숫자 5는 만질 수 없는 유일한 홀수라고 믿지만, 이것은 증명되지 않았다: 그것은 약간 더 강한 버전의 골드바흐 추측에서 따랐을 것이다, 왜냐하면 pq의 적절한 구분점들의 합은 1+p+q이기 때문이다.따라서 숫자 n을 두 개의 뚜렷한 소수점의 합으로 쓸 수 있다면 n+1은 건드릴 수 없는 숫자가 아니다.It is expected that every even number larger than 6 is a sum of two distinct primes, so probably no odd number larger than 7 is an untouchable number, and , , , so only 5 can be an odd un만질 수 있는 [2]수따라서 2와 5를 제외하고 만질 수 없는 모든 숫자는 복합적인 숫자인 것으로 보인다(2를 제외하고 모든 짝수 숫자는 복합적인 숫자임).적어도 자신의 고유 구분자의 합으로 표현될 수 있기 때문에, 완벽한 숫자는 건드릴 수 없다(이 상황은 28의 경우에 일어난다).마찬가지로, 우호적인 숫자나 사교적인 숫자 중 어느 것도 건드릴 수 없는 것은 아니다.또한n M=2-1은n 2의n 적절한 구분자의 합으로 표현될 수 있기 때문에 모든 메르센 수치는 만질 수 없는 것이 아니다.
p가 prime이면 p의2 적절한 divisor의 합이 p + 1이기 때문에 만질 수 없는 숫자는 소수보다 한 수 이상 많을 수 없다.또한 p가 홀수 프라임이라면 2p의 적절한 디비저의 합이 p + 3이기 때문에 5를 제외한 어떤 불가촉수도 프라임 숫자보다 3 이상 많지는 않다.
부정도
폴 에르드스에 의해 증명된 사실인, 만질 수 없는 숫자가 무한히 많다.[3]첸&자오에 따르면 이들의 자연 밀도는 최소 d > 0.06이다.[4]
