자기 번호

숫자 이론에서, 특정 숫자 $베이스$ b(\ $displaystyle$ b $)$ 의 $b$ 자기 번호 또는 Devlali 숫자는 다른 $n$ (\ $displaystyle$ n $n$ $)$ 의 합으로 쓸 수 없는 자연수이며 $,$ n(\ $displaystyle$ n)의 개별 자릿수입니다. 20은 이러한 조합을 찾을 수 없기 때문입니다(모두). $n<15$ < $n<15$ （ $displaystyle$ $n<15$ n< $15$ ）는 $n<15$ 20 미만, 그 $n$ 의 모든n은 $n$ 20보다 큰 결과를 나타냅니다.n = 15를 사용하여 15 + 1 + 5로 쓸 수 있기 때문에 21은 그렇지 않습니다.이 숫자들은 1949년 인도 수학자 D에 의해 처음 기술되었다. 카프레카

정의 및 속성

n $(\displaystyle$ n $)$ 을 $n$ 자연수로 $합니다$ . $b>1$ b $b>1$ > $b>1$ {\ $displaystyle$ b> $b>1$ $F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ {\ $displaystyle$ b $>$ $F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ ) $F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ F $F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ : $F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ N {\ $displaystyle$ F_ ${b}$ :\ $mathbb {N}$ \ $rightarrow \mathbb {N}$ 의 $F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ b $\$ self $b$ 함수를 다음과 같이 $정의$ 합니다.

F_{b}(n)=n+\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}.

$k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1$ 서 k $=$ $k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1$ $k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1$ b $k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1$ $k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1$ ⁡ n $k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1$ { $displaystyle$ k $k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1$ = \ $lfloor$ \ $log$ _ { b $k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1$ } { $b$ $n$ } \ $loor +$ 1 은 b의 $숫자$ 입니다 $k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1$ .

d_{i}=subscfrac {nbgmod {b^{i+1}}-nbgmod {b}^{i}}{b^{i}

는 숫자의 각 자릿수 값입니다. $F_{b}$ $n$ $({$ $displaystyle$ f_{b $n$ })은 F $F_{b}$ b({ $displaystyle$ F_ $F_{b}$ { $F_{b}$ })에 $대한$ n({displaystyle n $})$ 의 $b$ $n$ 프리이미지가 빈 집합일 $경우$ b $(\displaystyle$ b $)$ - self 번호입니다.

일반적으로 짝수의 경우, 이러한 홀수 이하의 모든 홀수는 1자리 숫자여야 하며, 그 숫자에 짝수를 더하면 짝수가 됩니다.홀수의 경우 홀수는 모두 자기 번호입니다.^[1]

특정 베이스 $(\displaystyle$ b $)$ 의 $b$ 셀프 번호 세트는 무한하며 양의 점근 밀도를 가집니다. 즉 $,$ b(\ $displaystyle$ b $b$ )가 홀수일 경우 이 밀도는 1/^[2]2입니다.

반복식

다음 반복 관계는 기본 10개의 셀프 번호를 생성합니다.

C_{k}=8\cdot 10^{k-1}+C_{k-1}+8

(C = 9일 경우₁)

이진수의 경우:

C_{k}=2^{j}+C_{k-1}+1,

(여기서 j는 자릿수를 나타냅니다)반복 관계를 일반화하면 임의의 베이스 b에서 셀프 번호를 생성할 수 있습니다.

({displaystyle C_{k}=(b-2)b^{k-1}+C_{k-1}+(b-2)})

여기서₁ C = 짝수 염기의 경우₁ b - 1, 홀수 염기의 경우 C = b - 2이다.

이러한 반복 관계의 존재는 어떤 기저에도 무한히 많은 자기 번호가 존재한다는 것을 보여준다.

셀프니스 테스트

저감 테스트

Luke Pebody는 (2006년 10월) 큰 숫자 n의 자기 속성과 그 숫자의 하위 부분 사이의 연계가 자리 합계에 대해 조정될 수 있음을 보여주었다.

일반적으로 n은 자기이다. ifm = R(n)+SOD(R(n)-SOD(n)는 자기이다.
장소:

R(n)은 9.d(n)보다 큰 n의 가장 작은 오른쪽 자리입니다.

d(n)는 n자리 숫자입니다.

SOD(x)는 위의₁₀ 함수 S(x)인 x의 자릿수의 합계입니다.
n $n=a\cdot 10^{b}+c,\ c<10^{b}$ $n=a\cdot 10^{b}+c,\ c<10^{b}$ $n=a\cdot 10^{b}+c,\ c<10^{b}$ b + $n=a\cdot 10^{b}+c,\ c<10^{b}$ , $n=a\cdot 10^{b}+c,\ c<10^{b}$ < $10$ b $n=a\cdot 10^{b}+c,\ c<10^{b}$ \ $cdot$ 10 ^ { $b$ } + c , \ $c$ < $10$ ^ { $b$ }인 $n=a\cdot 10^{b}+c,\ c<10^{b}$ , n은 둘₁ 다 음수 또는₂ 자기일 경우에만 자기입니다.
장소:

m₁ = c - SOD(a)

m₂ = SOD(a-1)+9·b-(c+1)
이전 모델에서 a=1 & c=0의 단순한 경우( $n=10^{b}$ , n $n=10^{b}$ $n=10^{b}$ b(\ $style$ n= $10^{b})$ 에 대해, n은 (9·b-1)가 자기일 경우에만 자기입니다.

유효 테스트

Kaprekar는 다음과 같이 증명했다.

\mathrm {SOD} (|n-\mathrm {DR} ^{*}(n)-9\cdot i|)\neq [\mathrm {DR} ^{*}(n)+9\cdot i]\quad \forall i\in 0\ldots d(n)

\mathrm {SOD} (|n-\mathrm {DR} ^{*}(n)-9\cdot i|)\neq [\mathrm {DR} ^{*}(n)+9\cdot i]\quad \forall i\in 0\ldots d(n)

D

\mathrm {SOD} (|n-\mathrm {DR} ^{*}(n)-9\cdot i|)\neq [\mathrm {DR} ^{*}(n)+9\cdot i]\quad \forall i\in 0\ldots d(n)

(

\mathrm {SOD} (|n-\mathrm {DR} ^{*}(n)-9\cdot i|)\neq [\mathrm {DR} ^{*}(n)+9\cdot i]\quad \forall i\in 0\ldots d(n)

n -

\mathrm {SOD} (|n-\mathrm {DR} ^{*}(n)-9\cdot i|)\neq [\mathrm {DR} ^{*}(n)+9\cdot i]\quad \forall i\in 0\ldots d(n)

\mathrm {SOD} (|n-\mathrm {DR} ^{*}(n)-9\cdot i|)\neq [\mathrm {DR} ^{*}(n)+9\cdot i]\quad \forall i\in 0\ldots d(n)

(

\mathrm {SOD} (|n-\mathrm {DR} ^{*}(n)-9\cdot i|)\neq [\mathrm {DR} ^{*}(n)+9\cdot i]\quad \forall i\in 0\ldots d(n)

) - 9

\mathrm {SOD} (|n-\mathrm {DR} ^{*}(n)-9\cdot i|)\neq [\mathrm {DR} ^{*}(n)+9\cdot i]\quad \forall i\in 0\ldots d(n)

i )

\mathrm {SOD} (|n-\mathrm {DR} ^{*}(n)-9\cdot i|)\neq [\mathrm {DR} ^{*}(n)+9\cdot i]\quad \forall i\in 0\ldots d(n)

[ [

\mathrm {SOD} (|n-\mathrm {DR} ^{*}(n)-9\cdot i|)\neq [\mathrm {DR} ^{*}(n)+9\cdot i]\quad \forall i\in 0\ldots d(n)

R

\mathrm {SOD} (|n-\mathrm {DR} ^{*}(n)-9\cdot i|)\neq [\mathrm {DR} ^{*}(n)+9\cdot i]\quad \forall i\in 0\ldots d(n)

(

\mathrm {SOD} (|n-\mathrm {DR} ^{*}(n)-9\cdot i|)\neq [\mathrm {DR} ^{*}(n)+9\cdot i]\quad \forall i\in 0\ldots d(n)

) +

\mathrm {SOD} (|n-\mathrm {DR} ^{*}(n)-9\cdot i|)\neq [\mathrm {DR} ^{*}(n)+9\cdot i]\quad \forall i\in 0\ldots d(n)

i

\mathrm {SOD} (|n-\mathrm {DR} ^{*}(n)-9\cdot i|)\neq [\mathrm {DR} ^{*}(n)+9\cdot i]\quad \forall i\in 0\ldots d(n)

]

\mathrm {SOD} (|n-\mathrm {DR} ^{*}(n)-9\cdot i|)\neq [\mathrm {DR} ^{*}(n)+9\cdot i]\quad \forall i\in 0\ldots d(n)

i

\mathrm {SOD} (|n-\mathrm {DR} ^{*}(n)-9\cdot i|)\neq [\mathrm {DR} ^{*}(n)+9\cdot i]\quad \forall i\in 0\ldots d(n)

0 …

\mathrm {SOD} (|n-\mathrm {DR} ^{*}(n)-9\cdot i|)\neq [\mathrm {DR} ^{*}(n)+9\cdot i]\quad \forall i\in 0\ldots d(n)

d (

\mathrm {SOD} (|n-\mathrm {DR} ^{*}(n)-9\cdot i|)\neq [\mathrm {DR} ^{*}(n)+9\cdot i]\quad \forall i\in 0\ldots d(n)

) \

display style

\ mathrm {

SOD

} ( n - \

mathrm

{ DR } ^ { n （ n ) - 9 \

cd

n n \ cd n n n

ne

n ）

q

i 。

장소:

\mathrm {DR} ^{*}(n)=cases} {\frac {mathrm {DR} (n)} {\text {\text {\text {\mathrm {DR} (n) + 9} {\text} {text} } } {text

{signed}\mathrm {DR}(n)=mathrm {SOD}(n)\mod 9=0\\mathrm {SOD}(n)\mod 9,&{\text {signed}\end {case}\{case}\&{1+n

\mathrm {SOD} (n)

\mathrm {SOD} (n)

D

\mathrm {SOD} (n)

(

\mathrm {SOD} (n)

){ display

\

mathrm

{ SOD

}

(

n

)는

\mathrm {SOD} (n)

n 의

모든

자릿수의 합계입니다.

d(n)

(

d(n)

)

d(n)

{

displaystyle

d

(n)}

는

d(n)

n자리

숫자입니다.

특정 $b$ 의 셀프 번호b(\ $displaystyle$ b $)$

베이스 2 의 셀프 번호에 대해서는, OEIS: A010061 를 참조해 주세요.(베이스 10에 기재)

처음 몇 개의 기본 10개의 셀프 번호는 다음과 같습니다.

1, 3, 5, 7, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97, 108, 110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198, 209, 211, 222, 233, 244, 255, 266, 278, 288, 299, 310, 312, 323, 334, 345, 367, 378, 378

베이스 12에서 셀프 번호는 다음과 같습니다(각각 10과 11에 대해 반전된 2와 3을 사용).

1, 3, 5, 7, 9, ,, 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97, 8 8, 8 9, 102, 110, 121, 132, 132, 143, 154, 154, 165, 176, 187, 198, 1, 9, 201, 211, 222, 233, 267, 276, 255, 255, 165, 165, 176, 165, 176, 187, 198, 198, 191, ...

셀프 소수점

자기소수는 소수인 자기소수이다.

베이스 10의 처음 몇 개의 셀프 소수점은

3, 5, 7, 31, 53, 97, 211, 233, 277, 367, 389, 457, 479, 547, 569, 613, 659, 727, 839, 883, 929, 1021, 1087, 1109, 1223, 1223, 1447, 1559, 1627, 1783, 1873, 1873, 1873(시퀀스)은 A.

베이스 12의 첫 번째 몇 개의 셀프 소수는 다음과 같습니다(각각 10과 11에 대해 반전된 2와 3을 사용).

3, 5, 7, ɛ, 31, 75, 255, 277, 2AA, 3BA, 435, 457, 58B, 5B1, ...

2006년 10월, 루크 페보디는 베이스 10에서 알려진 가장 큰 메르센 소수가 동시에 셀프 번호인^24036583 2-1이라는 것을 증명했다.이것은 2006년 기준으로^[update] 베이스 10에서 알려진 가장 큰 셀프 프라임입니다.

음의 정수로 확장

각 정수를 나타내기 위해 부호 있는 자리 표현을 사용하여 셀프 번호를 음의 정수까지 나타낼 수 있습니다.

2007이 셀프인 경우의 베이스 표에서 발췌.

다음 표는 2007년에 계산한 것입니다.

기초	인증서.	자릿수의 합계
40	$1959=[1,8,39]_{40}$	48
41	—	—
42	$1967=[1,4,35]_{42)$	40
43	—	—
44	$1971=[1,0,35]_{44$	36
44	$1928=[43,36]_{44$	79
45	—	—
46	$1926=[41,40]_{464$	81
47	—	—
48	—	—
49	—	—
50	$1959=[39,9]_{50}$	48
51	—	—
52	$1947=[37,23]_{529$	60
53	—	—
54	${\displaystyle 1931=[35,41]_{54)$	76
55	—	—
56	$1966=[35,6]_{56)$	41
57	—	—
58	$1944=[33,30]_{58$	63
59	—	—
60	$1918=[31,58]_{60$	89

레퍼런스

^ Santor & Crstici (2004) 페이지 384
^ Santor & Crstici (2004) 페이지 385

카프레카, D.R.새로운 자기수의 수학 데바이알리(1963년): 19-20.
R. B. Patel (1991). "Some Tests for k-Self Numbers". Math. Student. 56: 206–210.
B. Recaman (1974). "Problem E2408". Amer. Math. Monthly. 81 (4): 407. doi:10.2307/2319017.
Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Handbook of number theory II. Dordrecht: Kluwer Academic. pp. 32–36. ISBN 1-4020-2546-7. Zbl 1079.11001.
Weisstein, Eric W. "Self Number". MathWorld.

[CS384-1] Santor & Crstici (2004) 페이지 384

[CS385-2] Santor & Crstici (2004) 페이지 385

[1]

[2]

v t 소수 클래스
공식에 의한	페르마 ( $2 2 n$ + $1$ ) 메르센 $(2 p$ - 1) $더블 2 p -1$ 메르센(2 - $1$ ) 와그스태프( $2 p +1)/3$ 프로스( $k \cdot2 n$ + $1$ ) 요인( $n!$ ± $1$ ) 초기( $p n #$ ± $1$ ) 유클리드( $p n #$ + $1$ ) 피타고라스어 ( $4n$ + $1$ ) 피어폰트( $2 m \cdot3 n +1$ ) 쿼탄( $x 4$ + $y 4$ ) 솔리나(2 ± $2 m$ ± $1 n$ ) Cullen ( $n \cdot2 n + 1$ ) 우돌( $n \cdot2 n$ - $1$ ) 쿠바어( $x 3$ - $y 3)/(x$ - $y$ ) 레이랜드 ( $x y$ + $y x$ ) Thabit ( $3\cdot2 n - 1$ ) 윌리엄스(( $b-1)\cdotb-1 n$ ) 밀스( $A 3 n)$
정수순서별	피보나치 루카스 펠 뉴먼 생크스 윌리엄스 페린 파티션 벨 모츠킨
속성별	비페리히(페어) 벽-태양-태양 볼스텐홀름 윌슨 럭키 행운의 라마누잔 필라이 규칙적인. 강한. 스턴 슈퍼싱귤러(엘리전트 곡선) 초대칭(문신 이론) 좋아요. 잘 하는 군요 힉스 고공역성
베이스 의존	회문 에미르프 유닛 $(10 n$ - $1)/9$ 치환 가능 원형 잘라낼 수 있다 최소의 연약한 원시 전체 파충류 독특한 행복해 자신 스마란다슈웰린 스트로보그라마틱 이면체 테트라디크
패턴	트윈 ( $p, p$ + $2$ ) 쌍방향 체인( $n \pm 1$ , $2n \pm 1$ , $4n \pm 1$ , $\dots)$ 삼중항( $p, p$ + 2 $또는$ p + $4,$ p + $6$ ) 4중항( $p, p$ + 2 $, p$ + $6,$ p + $8$ ) k태플 사촌 ( $p, p$ + $4$ ) 섹시 ( $p, p$ + $6$ ) 첸 Sophie Germain / Safe ( $p, 2p$ + $1$ ) 커닝햄( $p, 2p \pm 1$ , $4p \pm 3$ , $8p$ $\pm 7$ , $...)$ 산술 수열( $p$ + $a\cdotn,$ $n$ = $0, 1, 2, 3$ , $...)$ 밸런스( $연속$ p - $n,$ $p, p$ + $n$ )
크기별	메가(1,000,000자리 이상) 알려진 최대 크기
복소수	아이젠슈타인 소수 가우스 프라임
합성수	의사 시간 카탈로니아어 타원형 오일러 오일러-야코비 페르마 프로베니우스 루카스 소머-루카스 강한. 카마이클 수 거의 프라임 세미프라임 인터프라임 유해.
관련 토픽	개연소수 산업용 프라임 부정한 소수 소수 공식 프라임 갭
처음 60개의 소수점	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
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목차

정의 및 속성

반복식

셀프니스 테스트

저감 테스트

유효 테스트

특정 $b$ 의 셀프 번호b(\ $displaystyle$ b $)$

셀프 소수점

음의 정수로 확장

2007이 셀프인 경우의 베이스 표에서 발췌.

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