자리수

Repdigit

레크리에이션 수학에서, 재자리 또는 때때로 단수치[1] 위치수 체계에서 같은 숫자의 반복된 인스턴스(종종 암묵적으로 소수)로 구성된 자연수다. 그 단어는 반복과 숫자포만토다. 예로는 11, 666, 4444, 999999가 있다. 모든 리피지는 구문수이며 리피트의 배수량이다. 다른 잘 알려진 리피지에는 리피지 단위 프리타임과 특히 메르센 프리타임(이진수로 표현될 경우 리피지트)이 포함된다.

repdigits는 의 숫자 - 의 표현이며, < b는 반복 자릿수이고 1< 횟수다. 예를 들어, 베이스 10에서 77777의 자릿수는 5- 1 - 1 {\ 입니다

브라질 숫자라고 불리는 리피지트의 변형은 일부 베이스에서 리피지트로 쓸 수 있는 숫자로, 11번 리피지수를 허용하지 않고, 11번 리피지 숫자를 한자리 숫자로 허용하지 않는다(또는 모든 숫자는 브라질 숫자일부 베이스에서는 리피지트로 쓸 수 있는 숫자다. 예를 들어 27은 베이스 8에서 33의 자리수이기 때문에 브라질의 숫자인 반면 9는 11의 자리수만을 나타내기8 때문에 브라질의 숫자인 반면, 9는 브라질 숫자의 정의에서는 허용되지 않는다. 11형식의 표현은 사소한 것으로 간주되어 브라질 숫자의 정의에서 허용되지 않는데, 이는 2개 이상의 모든 자연수가 11을n − 1 나타내기 때문이다.[2] 브라질의 첫 20개 숫자는

7, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 31, 32, 33, ... (시퀀스 A125134 in OEIS).

역사

적어도 1974년부터 그 이름으로 리피지트의 개념이 연구되어 왔으며,[3] 일찍이 베일러(1966)는 이들을 "모노디지트 숫자"[1]라고 불렀다. 브라질의 숫자는 이후 1994년 브라질 포르탈레자에서 열린 제9회 이베로아메리카 수학 올림피아드에서 소개되었다. 멕시코가 제안한 이번 대회의 첫 번째 문제는 다음과 같다.[4]

n > 0은 1 < b < n 1을 나타내는 정수 b가 존재한다면 "브라질어"라고 불리며, 이 경우 base b에서 n의 표현이 모두 같은 숫자로 표기된다. 1994년이 브라질인이며 1993년이 브라질인이 아니라는 것을 증명하라.

프라임과 리퍼닛

한 자릿수가 프라임되려면 재단위(즉, 반복 자릿수는 1)여야 하며, 그 기저에는 소수 자릿수(사소한 한 자릿수 제외)가 있어야 한다. 예를 들어, 77777은 어떤 베이스에서든 7로 나누어지기 때문이다. 특히 브라질 리퍼니트는 자릿수가 정확히 2자리인 것을 허용하지 않기 때문에 브라질 프리마임은 홀수 소수 정수를 가져야 한다.[5] 예를 들어, 21 = 1114 = 3 × 7 및 111 = 11110 = 3 × 37이 프라임이 아니라는 것을 보장하기에 홀수 소수 자릿수를 갖는 것은 충분하지 않다. 주어진 베이스 b에서, 11b(프라임일 경우)를 제외하고, 그 베이스의 모든 재단위 프라임은 브라질 프라임이다. 브라질의 가장 작은 프라임은

7 = 1112, 13 = 1113, 31 = 111112 = 1115, 43 = 1116, 73 = 1118, 127 = 111112, 157 = 11112, ...(OEIS의 경우 시퀀스 A085104)

프라임 숫자의 왕복 합계가 다이버전트 시리즈인 반면, 브라질 프라임 숫자의 왕복 합계는 "브라질 프라임 상수"라고 불리는 값이 0.33(OEIS의 후속 A306759)보다 약간 큰 수렴 시리즈다.[6] 이러한 융합은 브라질 프리마임이 모든 프라임 수에서 사라질 정도로 작은 부분을 형성한다는 것을 암시한다. 예를 들어, 10 이하의12 3.7×1010 소수 중에서 브라질 사람은 8.8×10에4 불과하다.

소수점 재분석은 OEIS: A004023에 열거된 n의 값에 - 9이고이고 n은 3이다. 소수점 이하 단위가 무한히 많은 것으로 추측되어 왔다.[7] 2진법메르센수, 2진법은 메르센수다.

브라질 프리마임이 무한히 많은지는 알 수 없다. 만약 베이트맨이-뿔의 추측이 사실이라면, 모든 소수 자릿수에 대해 그 숫자의 숫자로 무한히 많은 단위 소수(그리고 그 결과 무한히 많은 브라질 소수)가 존재할 것이다. 또는 십진수 단위의 소수 또는 메르센의 소수만이 무한히 많다면 브라질 소수도 무한히 많다.[8] 소수만이 브라질인이기 때문에 브라질인이 아닌 소수만이 무한히 많아 순서가 형성된다.

2, 3, 5, 11, 17, 19, 23, 29, 37, 41, 47, 53, ... (OEIS에서 연속 A220627)

페르마트 번호 = + 1 가 프라임이면 브라질산은 아니지만 합성이면 브라질산이다.[9] 이전의 추측과는 대조적으로 레스타, 마커스, 그랜담, 그레이브스는 소피 제르메인 프라임의 예를 찾았는데,[10] 첫 번째는 28792661 = 11111이다73.[11]

비브라질 복합체 및 재생 단위 전력

브라질인이 아닌 정수가 될 수 있는 유일한 양의 정수는 1, 6, 소수, 제곱의 제곱으로, 다른 모든 숫자에 대해 1 < x < y - 1>의 두 요인 xy의 곱이며, base y - 1의 xx로 쓸 수 있다.[12] 프라임 p2 제곱이 브라질인 경우 prime p디오판틴 방정식을 만족해야 한다.

p2 = 1 + b + b2 + ... + bq-1 p, q ≥ 3 primes, b >= 2

노르웨이의 수학자 트라이그브 나겔p (p, b, q) = (11, 3, 5)에 해당하는 프라임일 때 이 방정식이 하나의 해법만을 가지고 있다는 것을 증명했다[13]. 따라서 브라질산인 유일한 제곱 프라임은 112 = 121 = 11111이다3. 또한 비경쟁 단위 사각형인 용액(p, b, q) = (20, 7, 4) 202 = 400 = 1111에7 해당하는 용액이 하나 더 있지만, 20 = 400 = 1111이 아니기 때문에 브라질 숫자 분류에 있어서는 예외적인 것은 아니다.

어떤 베이스 b에 3자리 이상의 리패뉴트인 퍼펙트 파워는 나겔과 Ljunggren[14] 디오판틴 방정식으로 설명된다.

nt = 1 + b + b + b2 + ...+ bq-1, n, t > 1 및 q > 2가 있는 b.

얀 부게오와 모리스 미그노테는 세 가지 완벽한 힘만이 브라질의 재유니트라고 추측한다. 그것들은 121, 343 및 400(OEIS에서 순서 A208242), 위에 나열된 두 개의 사각형 및 큐브 3433 = 7 = 111이다18.[15]

k-브라질 수

  • 숫자 n이 브라질어인 방법의 수는 OEIS: A220136이다. 따라서 브라질인이 아닌 숫자와 브라질인이 아닌 다른 정수들이 존재한다. 이 마지막 정수들 중 일부는 한때 브라질인이었고, 다른 정수들은 2배 또는 3배 혹은 그 이상이다. 브라질 숫자의 k배는 k-브라질 숫자라고 불린다.
  • 비브라질 숫자 또는 0-브라질 숫자는 1과 6으로 구성되며, 일부 소수 및 일부 제곱과 함께 구성된다. 브라질 이외의 숫자의 순서는 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11, 17, 19, 23, 25, … (OEIS에서 순서 A220570)로 시작한다.
  • 1-브라질 숫자의 순서는 다른 프라임으로 구성되며, 브라질 소수, 121 및 복합 숫자 8 8은 n = a x b = aab–1, a 1 < b – 1. (OEIS에서 연속 A2887833)와 같은 두 가지 고유한 요인의 산물이다.
  • 2-브라질 숫자(OEIS에서 순서 A290015)는 합성물로 구성되며 31과 8191의 두 가지 소수만 있다. 실제로, Goormaightgy 추측에 따르면, 이 두 가지 프리임은 디오판틴 방정식의 유일한 알려진 해결책이다.
    = m- - 1= - 1 = - 1 1}{ {y^{n1 x, y > 1, n, m > 2 :
    • (p, x, y, m, n) = (31, 5, 2, 3, 5) 31 = 111112 = 111에5 해당하며,
    • (p, x, y, m, n) = (8191, 90, 2, 3, 13) 8191 = 11111111111112 = 111에90 해당하는 1111111111111은 13자리 1의 재단위다.
  • k-브라질 숫자의 각 시퀀스에 대해 가장 작은 항이 존재한다. 이렇게 가장 작은 k-브라질 숫자로 시작하는 순서는 1, 7, 15, 24, 40, 60, 144, 120, 180, 336, 420, 360으로 OEIS: A284758에 있다. 예를 들어, 40은 40 = 11113 = 557 = 449 = 22로19 가장 작은 4-브라질 수이다.
  • 디페르테르 드 뚜레르 드 뚜레 뮌헨에서 다니엘 리뇽은 정수가 어떤 작은 양의 정수가 가지고 있는 것보다 더 많은 브라질 표현을 가진 양의 정수라면 고도로 브라질산이라고 제안한다.[16] 이 정의는 1915년 스리니바사 라마누잔이 만든 고도로 복합적인 숫자의 정의에서 나온 것이다. 브라질의 첫 번째 숫자는 1, 7, 15, 24, 40, 60, 120, 180, 336, 360, 720이며 정확히 OEIS: A329383에 있다. 360에서 321253732800(아마도 그 이상)까지 80개의 연속적인 고합성 숫자가 있으며 이는 또한 브라질의 높은 수이다(OEIS: A279930 참조).

참조

  1. ^ a b Beiler, Albert (1966). Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains (2 ed.). New York: Dover Publications. p. 83. ISBN 978-0-486-21096-4.
  2. ^ Schott, Bernard (March 2010). "Les nombres brésiliens" (PDF). Quadrature (in French) (76): 30–38. doi:10.1051/quadrature/2010005.
  3. ^ Trigg, Charles W. (1974). "Infinite sequences of palindromic triangular numbers" (PDF). The Fibonacci Quarterly. 12: 209–212. MR 0354535.
  4. ^ Pierre Bornsztein (2001). Hypermath. Paris. Vuibert. p. 7, exercice a35.
  5. ^ 쇼트(2010), 정리2.
  6. ^ 쇼트(2010), 정리 4.
  7. ^ Chris Caldwell, The Prime Glogarary: Repunit(프리미엄 페이지)
  8. ^ 쇼트(2010), 섹션 V.1 및 V.2.
  9. ^ 쇼트(2010), 발의안 제3호.
  10. ^ 쇼트(2010), 추측 1.
  11. ^ Grantham, Jon; Graves, Hester (2019). "Brazilian primes which are also Sophie Germain primes". arXiv:1903.04577.
  12. ^ 쇼트(2010), 정리 1.
  13. ^ Nagell, Trygve (1921). "Sur l'équation indéterminée (xn-1)/(x-1) = y". Norsk Matematisk Forenings Skrifter. 3 (1): 17–18..
  14. ^ Ljunggren, Wilhelm (1943). "Noen setninger om ubestemte likninger av formen (xn-1)/(x-1) = yq". Norsk Matematisk Tidsskrift (in Norwegian). 25: 17–20..
  15. ^ Bugeaud, Yann; Mignotte, Maurice (2002). "L'équation de Nagell-Ljunggren (xn-1)/(x-1) = yq". L'Enseignement Mathématique. 48: 147–168..
  16. ^ Daniel Lignon (2012). Dictionnaire de (presque) tous les nombres entiers. Paris. Ellipses. p. 420.

외부 링크