산술역학

Arithmetic dynamics

산술역학이란[1] 수학의 두 분야, 역동적인 체계와 숫자 이론을 융합한 분야다. 고전적으로 이산 역학이란 복잡한 평면이나 실제 선의 자기맵의 반복에 관한 연구를 말한다. 산술 역학은 다항식 또는 이성 함수의 반복적 적용에 따른 정수, 이성, p-adic 및/또는 대수 점의 수 이론적 특성에 대한 연구다. 근본적인 목표는 기초적인 기하학적 구조로 산술적 특성을 기술하는 것이다.

고전 디오판투스 기하학의 개별의 동적 시스템의 배경에서 유사체의 세계적인 산술 역학 연구하는 한편 지역 산수 역학거나, 또한nonarchimedeanp-adic 역학이라고 불리는 고전 역학의에서 하나를 복소수 Qp 또는 Cp와 연구들 혼란스러운 같은p-adic 분야로 C을 대체하는 아날로그다. 있다하비오, 파투, 줄리아 세트.

다음 표는 디오판틴 방정식, 특히 아벨리아 품종과 역동적 시스템 사이의 대략적인 대응관계를 설명한다.

디오판틴 방정식 다이너믹 시스템
다양성의 합리적 점 및 정수 점 궤도의 합리적 점 및 정수 점
아벨 품종에서 유한한 질서의 점 합리적인 함수의 주기 전 점

이산 역학의 정의 및 표기법

S를 집합으로 하고 F : S → S를 S에서 그 자체로 지도로 한다. F의 반복은 그 자체와 n번이다.

점 P ∈ S는 일부 n > 1에 대해 F(n)(P) = P이면 주기적이다.

F(k)(P)가 일부 k k 1에 대해 주기적인 경우 점은 사전주기적이다.

P의 (앞으로) 궤도는 설정이다.

따라서 P는 그것의 궤도F O(P)가 유한한 경우에만 전주기적이다.

기간 전 점의 수 이론적 특성

참고 항목: 비틀림 지점에 대한 균일한 경계 추측 및 합리적 지점에 대한 균일한 경계 추측

F(x)를 Q에 계수가 있는 최소 2도 정도의 합리적인 함수가 되도록 한다. Northcott의[2] 한 정리는 F가 Q-ritical periodic points를 매우 많이 가지고 있다고 말한다. 즉, F는1 P(Q)에 있는 periodic points만 가지고 있다. 모튼과 실버만의 주기 전 지점에[3] 대한 균일한 경계 추측에 따르면 P1(Q)에서 F의 주기 전 지점의 수는 F의 정도에만 의존하는 상수에 의해 경계된다고 한다.

보다 일반적으로 F : PN → P를N 숫자 필드 K에 대해 정의된 최소 2도 정도의 형태론이라고 한다. 노스콧의 정리는 F가N P(K)에서 미세하게 많은 periodic points를 가지고 있을 뿐이며, 일반적인 Uniform Boundedness Estimulation은 PN(K)에서 periodic points의 수는 N, F 정도, Q에 대한 K의 정도에 의해서만 경계가 될 수 있다고 말한다.

균일한 경계성 추정은 합리적인 숫자 Q에 대한 2차 다항식 Fc(x) = x2 + c에도 알려져 있지 않다. 이 경우 6주기 결과는 버치와 스윈너튼-다이어의 추측의 타당성에 따라 결정되지만 [6]Fc(x)는 4, [4]5, [5]6주기 중 주기적인 지점을 가질 수 없다는 것이 알려져 있다. Poonen은c F(x)가 엄격히 3보다 큰 기간 동안 합리적인 주기 포인트를 가질 수 없다고 추측했다.[7]

정수 점(궤도 단위)

합리적인 지도의 궤도는 무한히 많은 정수를 포함할 수 있다. 예를 들어 F(x)가 정수 계수를 가진 다항식이고 a가 정수인 경우 전체 궤도F O(a)가 정수로 구성되는 것이 분명하다. 마찬가지로 F(x)가 이성적인 지도이고 일부 반복(n) F(x)가 정수 계수가 있는 다항식이라면 궤도의 모든 n번째 입력은 정수다. 이러한 현상의 예로는 지도 F(x) = x가−d 있으며, 두 번째 반복은 다항식이다. 이것이 궤도가 무한히 많은 정수를 포함할 수 있는 유일한 방법임이 밝혀졌다.

정리.[8] F(x) ∈ Q(x)를 최소한 2도 정도의 합리적 함수가 되게 하고, F의 어떤 반복도[9] 다항식이라고 가정한다. ∈ Q. 그러면 궤도 OF(a)는 미세하게 많은 정수를 포함하고 있을 뿐이다.

하위 분리에 배치된 동적으로 정의된 포인트

무한히 많은 주기점을 포함하고 있거나 무한히 많은 지점에서 궤도를 교차하는 하위분리에 관한 쇼우 장[10] 등에 의한 일반적인 추측이 있다. 이것들은 각각 레이노드가 증명하는 마닌-옴포드 추측과 팔팅스가 증명하는 모르델-랑 추측의 역동적인 유사점이다. 다음의 추측들은 하위변수가 곡선이라는 경우의 일반적인 이론을 예증한다.

추측하다. F : PN → P는N 형태론이고, C ⊂ P는N 돌이킬 수 없는 대수 곡선이다. C가 궤도 OF(P)에 무한히 많은 점을 포함하는 점 P ∈ P가N 있다고 가정한다. 그 다음 C를 자신에게 매핑하는 F의 일부 반복 F가(k) 있다는 점에서 C는 F에 대해 주기적이다.

p-adic 역학

p-adic (또는 비아카이도) 역학 분야는 비아카이도 절대값과 관련하여 완전한 K분야에 대한 고전적 역학문제의 연구다. 그러한 분야의 예로는 p-adic 합리화 Q의p 분야와 그것의 대수적 폐쇄 C의p 완성이 있다. K에 대한 측정 기준과 등비례의 표준 정의는 이성적 지도 F(x) ∈ K(x)의 파투와 줄리아 집합의 통상적인 정의로 이어진다. 복합론과 비고교적 이론 사이에는 많은 유사점이 있지만, 또한 많은 차이점이 있다. 눈에 띄는 차이점은 비아르바이트 환경에서 파투 세트는 항상 비어있지 않지만 줄리아 세트는 비어있을 수 있다는 것이다. 이것은 복잡한 숫자에 대한 사실의 정반대다. 비아르키메데스 역학이 베르코비치 공간까지 확장되었는데,[11] 베르코비치 공간은 완전히 단절된 비로크 컴팩트 필드 C를p 포함하고 있다.

일반화

Q와 Q를p 숫자 장과 p-adic 보완으로 대체하는 산술 역학의 자연적 일반화가 있다. 또1 다른 자연 일반화는 P나 P의N 자기맵을 다른 아핀이나 투사성 품종의 자기맵(모형) V → V로 대체하는 것이다.

숫자 이론과 역학이 상호 작용하는 기타 영역

동적 시스템의 설정에서 나타나는 수 이론적 본질에는 다음과 같은 많은 다른 문제들이 있다.

산술역학 참고목록은 광범위한 산술역학 주제를 다루는 광범위한 논문과 책을 제공한다.

참고 항목

참고 및 참조

  1. ^ Silverman, Joseph H. (2007). The Arithmetic of Dynamical Systems. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 241. New York: Springer. doi:10.1007/978-0-387-69904-2. ISBN 978-0-387-69903-5. MR 2316407.
  2. ^ Northcott, Douglas Geoffrey (1950). "Periodic points on an algebraic variety". Annals of Mathematics. 51 (1): 167–177. doi:10.2307/1969504. JSTOR 1969504. MR 0034607.
  3. ^ Morton, Patrick; Silverman, Joseph H. (1994). "Rational periodic points of rational functions". International Mathematics Research Notices. 1994 (2): 97–110. doi:10.1155/S1073792894000127. MR 1264933.
  4. ^ Morton, Patrick (1992). "Arithmetic properties of periodic points of quadratic maps". Acta Arithmetica. 62 (4): 343–372. doi:10.4064/aa-62-4-343-372. MR 1199627.
  5. ^ Flynn, Eugene V.; Poonen, Bjorn; Schaefer, Edward F. (1997). "Cycles of quadratic polynomials and rational points on a genus-2 curve". Duke Mathematical Journal. 90 (3): 435–463. arXiv:math/9508211. doi:10.1215/S0012-7094-97-09011-6. MR 1480542. S2CID 15169450.
  6. ^ Stoll, Michael (2008). "Rational 6-cycles under iteration of quadratic polynomials". LMS Journal of Computation and Mathematics. 11: 367–380. arXiv:0803.2836. Bibcode:2008arXiv0803.2836S. doi:10.1112/S1461157000000644. MR 2465796. S2CID 14082110.
  7. ^ Poonen, Bjorn (1998). "The classification of rational preperiodic points of quadratic polynomials over Q: a refined conjecture". Mathematische Zeitschrift. 228 (1): 11–29. doi:10.1007/PL00004405. MR 1617987. S2CID 118160396.
  8. ^ Silverman, Joseph H. (1993). "Integer points, Diophantine approximation, and iteration of rational maps". Duke Mathematical Journal. 71 (3): 793–829. doi:10.1215/S0012-7094-93-07129-3. MR 1240603.
  9. ^ 기본적인 정리는 F(x) ∈ C(x)와 F의 일부 반복이 다항식이라면 이미 두 번째 반복이 다항식이라고 말한다.
  10. ^ Zhang, Shou-Wu (2006). "Distributions in algebraic dynamics". In Yau, Shing Tung (ed.). Differential Geometry: A Tribute to Professor S.-S. Chern. Surveys in Differential Geometry. Vol. 10. Somerville, MA: International Press. pp. 381–430. doi:10.4310/SDG.2005.v10.n1.a9. ISBN 978-1-57146-116-2. MR 2408228.
  11. ^ Rumely, Robert; Baker, Matthew (2010). Potential theory and dynamics on the Berkovich projective line. Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 159. Providence, RI: American Mathematical Society. arXiv:math/0407433. doi:10.1090/surv/159. ISBN 978-0-8218-4924-8. MR 2599526.
  12. ^ Granville, Andrew; Rudnick, Zeév, eds. (2007). Equidistribution in number theory, an introduction. NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry. Vol. 237. Dordrecht: Springer Netherlands. doi:10.1007/978-1-4020-5404-4. ISBN 978-1-4020-5403-7. MR 2290490.
  13. ^ Sidorov, Nikita (2003). "Arithmetic dynamics". In Bezuglyi, Sergey; Kolyada, Sergiy (eds.). Topics in dynamics and ergodic theory. Survey papers and mini-courses presented at the international conference and US-Ukrainian workshop on dynamical systems and ergodic theory, Katsiveli, Ukraine, August 21–30, 2000. Lond. Math. Soc. Lect. Note Ser. Vol. 310. Cambridge: Cambridge University Press. pp. 145–189. doi:10.1017/CBO9780511546716.010. ISBN 0-521-53365-1. MR 2052279. S2CID 15482676. Zbl 1051.37007.

추가 읽기

외부 링크