프리타임의 부정성에 대한 퍼스텐베르크의 증거

수학에서, 특히 수 이론에서, 프리임의 부정성에 대한 힐렐 퍼스텐버그의 증거는 정수들이 무한히 많은 프라임 숫자를 포함하고 있다는 위상학적 증거다. 자세히 조사했을 때, 그 증거는 산술 시퀀스의 특정 속성에 대한 진술보다 위상에 대한 진술이 더 적다.^[1] 유클리드의 고전적인 증거와 달리 후르스텐베르크의 증거는 모순에 의한 증거다. 이 증거는 퍼스텐버그가 예시바 대학의 학부생이었던 1955년 미국 수학 월간지에 발표되었다.

퍼스텐베르크의 증거

≠ 0에 대한 산술 시퀀스 S(a, b)의 조합이거나 비어 있는 경우(산술 시퀀스의 무효 조합(빈 조합)로 볼 수 있는 경우에만 부분 집합 U to Z를 오픈 집합으로 선언함으로써, 균등 간격 정수 위상이라 불리는 정수 Z에 토폴로지를 정의한다.

$\displaystyle S(a,b)=\{no+b\mid n\in \mathb {Z}\} \}=a\mathb {Z} +b.}$

마찬가지로 U는 U의 모든 x에 대해 S(a, x) ⊆ U와 같은 0이 아닌 정수가 있는 경우에만 개방된다. 위상에 대한 공리는 쉽게 검증된다.

• ∅은 정의에 의해 개방되며, Z는 단지 시퀀스 S(1, 0)일 뿐이며, 따라서도 개방된다.
• 오픈 세트의 조합은 개방되어 있다. 조합 U에 있는 오픈 세트 U와_i x의 집합에 대해, S_i(a_i, x) ⊆ U가_i 또한 S(a_i, x) ⊆ U를 나타낸다.
• U와₁ U를₂ 오픈 세트로 하고 x ∈ U₁ ∩ U₂ (숫자 a와₁ 멤버십을₂ 정함)로 하는 2개의 오픈 세트가 교차한다. a를 a와₁ a의₂ 최소공통 배수로 설정한다. 그 다음 S(a, x) S(a_i, x) U_i.

이 위상에는 두 가지 주목할 만한 특성이 있다.

1. 비어 있지 않은 오픈 세트는 무한 시퀀스를 포함하기 때문에 유한 세트를 열 수 없다. 다른 방법으로, 유한 세트의 보완은 닫힌 세트가 될 수 없다.
2. 기본 집합 S(a, b)는 모두 개방되어 있고 폐쇄되어 있다: 정의에 의해 개방되어 있으며, 우리는 다음과 같이 개방 집합의 보완으로서 S(a, b)를 작성할 수 있다.

${\displaystyle S(a,b)=\mathb {Z} \setminus \bigcup _{j=1}^{a-1}S(a,b+j)}$

소수 정수의 정수 배수가 아닌 유일한 정수는 -1과 +1이다.

$\displaystyle \mathb {Z} \setminus \{-1,+1\}=\bigcup _{p\mathrm {\,prime}}S(p,0)}$

첫 번째 재산으로 왼쪽 세트는 닫을 수 없다. 반면에, 두 번째 속성에 의해, 세트 S(p, 0)는 닫힌다. 따라서, 소수만이 미세하게 많다면, 오른쪽의 집합은 닫힌 집합의 유한 결합이 될 것이고, 따라서 닫힌 집합이 될 것이다. 이것은 모순이 될 것이기 때문에, 무한히 많은 소수들이 있을 것이다.

메모들

참조

• Aigner, Martin; Ziegler, Günter M. (1998). "Proofs from The Book". Berlin, New York: Springer-Verlag. {{cite journal}}: Cite 저널은 필요로 한다. journal= (도움말)
• Furstenberg, Harry (1955). "On the infinitude of primes". American Mathematical Monthly. 62 (5): 353. doi:10.2307/2307043. JSTOR 2307043. MR 0068566.
• Mercer, Idris D. (2009). "On Furstenberg's Proof of the Infinitude of Primes" (PDF). American Mathematical Monthly. 116 (4): 355–356. CiteSeerX 10.1.1.559.9528. doi:10.4169/193009709X470218.
• Lovas, R.; Mező, I. (2015). "Some observations on the Furstenberg topological space". Elemente der Mathematik. 70 (3): 103–116. doi:10.4171/EM/283.

외부 링크

• Everything2에 무한히 많은 소수들이 있다는 퍼스텐베르크의 증거
• Füestenberg가 PlanetMath에서의 초급성의 증거.