전체 필드

수학에서, 완전한 분야는 미터법을 갖추고 있고 그 미터법에 대해 완전하다.기본적인 예로는 실수, 복잡한 수, 완전한 가치 필드(p-adic 번호 등)가 있다.

시공

실제 및 복잡한 수

실제 숫자는 표준 유클리드 메트릭 $|x-y|$ - $|x-y|$ $displaystyle x-y}$ 이(가) 있는 필드 $|x-y|$ 이 메트릭에 $\mathbb {Q}$ Q ${\$ 의 완료로 구성되므로 완전한 필드다.대수적 닫힘으로 reals를 확장하면 $\mathbb {C}$ C $\mathbb {C}$ {\ $displaystyle \mathb {C}$ 이(가) 제공됨(절대 Galois $\mathbb {Z} /2$ 은 Z $\mathbb {Z} /2$ / 2 {\ $displaystyle \mathb$ { $Z}$ /2 $}).$ 이 경우 $\mathbb {C}$ ${\$ 도 완전한 분야지만 $\mathbb {C}$ 많은 경우 그렇지 않다.

p-adic

p-adic 절대값을 사용하여 $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$ ${\$ \mathb ${Q}$ 에서 p-adic 번호를 생성함

$v_{p}(a/b)=v_{p}(a)-v_{p}(b)$

$a,b\in \mathbb {Z} .$ 서 $a,b\in \mathbb {Z} .$ $a,b\in \mathbb {Z} .$ $a,b\in \mathbb {Z} .$ $a,b\in \mathbb {Z} .$ . $a,b\in \mathb {Z}$ 그러면 $a,b\in \mathbb {Z} .$ 요인화 $a=p^{n}c$ = $a=p^{n}c$ n $a=p^{n}c$ $a=p^{n}c$ 를 $a=p^{n}c$ 사용하여 $p$ $p$ 이(가) $c,$ ${\$ $displaystystyle c$ 를 나누지 않으며 $p$ $,$ 그 $c,$ 평가값은 $정수$ n $}$ 이다 $n$ $v_{p}$ $v_{p}$ ${\$ 에 $\mathbb {Q}$ 의한 $\mathbb {Q}$ ${\$ p}} 완료 필드 $\mathbb {Q} _{p}$ p ${\$ { $Q} _{p}}}$ 는 $v_p$ p-adic 번호로 $\mathbb {Q} _{p}$ 불린다.필드가^[1] 대수적으로 닫히지 않은 경우다.일반적으로 분리 가능한 폐쇄를 취한 후 다시 완료하는 과정이 있다.이 필드는 일반적으로 $\mathbb {C} _{p}.$ p $\mathbb {C} _{p}.$ . $\mathb {C} _{p$ 로 표시된다. $}$

원곡선의 함수 필드

For the function field $k(X)$ of a curve $X/k,$ every point $p\in X$ corresponds to an absolute value, or place, $v_{p}$ . Given an element $f\in k(X)$ expressed by a fraction ${\dis$ $Playstyle$ g $/h,}$ $v_{p}$ v ${\$ 는 $g/h,$ p ${\$ $displaystyle p}$ 에서 $g$ $p$ $h$ $g$ $h$ 의 소멸 순서를 $뺀$ 후 $v_{p}$ $p.$ , p ${\displaystystyle p}$ 에서 $k(X)$ $) {\displaystystystystytylease$ k( $k)$ 를 제공한다 $p$ .새로운 분야다For example, if $X=\mathbb {P} ^{1}$ at $p=[0:1],$ the origin in the affine chart $x_{1}\neq 0,$ then the completion of $k(X)$ at $p$ is isomorphic to the power-series ring $k((x)).$ ${\displaystyle k(x).$ $}$