불가해성 다항식

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수학에서 불가해한 다항식은 대략적으로 말하면 두 개의 비정수 다항식의 산물에 반영될 수 없는 다항식이다. 불가역성의 속성은 가능한 인자에 대해 수용되는 계수, 즉 다항식 계수와 그 가능한 인자가 속해야 하는 분야 특성에 따라 달라진다. 예를 들어, 다항식² x - 2는 정수 계수를 갖는 다항식이지만, 모든 정수 역시 실수인 만큼, 실제 계수를 갖는 다항식이기도 하다. 정수 계수를 가진 다항식(${\displaystyle x}$- ${\displaystyle 2}$)${\displaystyle }$(${\displaystyle x\sqrt{\mathrm{}}}$+ 2$){\$2}}\right$)$로 간주할 경우에는 rereducable이 되지만$,{\displaystyle }$ 실제 계수를 가진 다항식(x+{\sqrt{$2}}\rig$)로 간주할 경우에는$$ 인자로 한다. 어떤 사람은 다항식 x² - 2는 정수에 대해서는 해석할 수 없지만 실수에 대해서는 해석할 수 없다고 말한다.

적분영역에 계수가 있는 다항식에는 다항식 불가해성을 고려할 수 있으며, 두 가지 공통의 정의가 있다. 대부분의 경우, 적분 영역 R에 대한 다항식은 계수가 R에 있고 R에 단위가 아닌 두 다항식의 산물이 아니면 다시 해석할 수 없다고 한다. 동등하게, 이 정의에서, 수정 불가능한 다항식은 R에 대한 다항식의 링에서 수정 불가능한 요소다. R이 필드인 경우, 재확정성의 두 정의는 동등하다. 두 번째 정의의 경우, 다항식은 양수도가 모두 있는 동일한 영역에 계수가 있는 다항식으로 고려될 수 없는 경우 다시 해석할 수 없다. 마찬가지로, 다항식은 적분 영역의 분수 영역에 걸쳐서 해석할 수 없는 경우 다시 해석할 수 없다. 예를 들어${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {다항식\mathrm{}}^{}}$ 2 ( x 2 - ${\displaystyle 2}$) ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mathrm{Z}}$[${\displaystyle x\mathbb{}}$ ${\displaystyle 2(x^{2}-2)\in \mathb$ {$Z}[x]}$은(는) 첫 번째 정의가 아닌 두 번째 정의에 대해 수정할 수 없다. 반면 $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle$ x$^{2$}-2$}$는 두 $정의$에 대해 Z$$ [${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \mathb {Z}[x]$에서 수정할 수 없는 반면$$, Z ${\displaystyle [x}$ ${\displaystyle ]}$ . .${\displaystyle \mathb {Z}[x]$에서 축소할 수 있다.$}$

계수를 포함하는 어떤 필드에서도 해석할 수 없는 다항식은 절대적으로 해석할 수 없다. 대수학의 근본적인 정리에 의해, 단변 다항식은 그 정도가 하나일 경우에만 절대적으로 해석할 수 없다. 한편, 몇 개의 불분명한 것을 가지고, 임의의 양의 정수 n에$$ $대해{\displaystyle {}^{}}$ x${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ + ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle$ x$^{2$}+y$^{n}-1,$ 같은 임의의 정도의 절대적으로 수정할 수 없는 다항식이 있다.

되돌릴 수 없는 다항식은 때로 환원 가능한 다항식이라고 한다.^[1][2]

다항식 인자화 및 대수장 확장에 관한 연구에서는 불가해한 다항식이 자연적으로 나타난다.

수정 불가능한 다항식들을 소수들과 비교하는 것은 도움이 된다: (동일한 크기의 해당 음수와 함께) 소수들은 수정 불가능한 정수들이다. 그들은 본질적으로 고유한 요소화(primary actorization to prime or rereduccessible factors)와 같이, 수정 불가능한 다항식에도 동일하게 적용되는 "수정성" 개념의 일반적 특성 중 많은 부분을 보여준다. 계수 링이 필드 또는 다른 고유한 인자화 영역인 경우, 수정 불가능한 다항식은 원시 이상을 생성하기 때문에 원시 다항식이라고도 한다.

정의

F가 필드인 경우, 비정규 다항식은 계수가 F에 속하고 F에 계수가 있는 비정규 다항식 두 개의 곱으로 인수할 수 없는 경우 F에 대해 다시 해석할 수 없다.

정수 계수를 가진 다항식, 또는 보다 일반적으로 고유 인수 영역 R에 계수를 둔 다항식은 다항식 링의 불가침 요소인 경우, 즉 0이 아니라 불가역성이며, 0이 있는 두 개의 비반복성 다항식의 곱에 인수될 수 없는 경우, R에 대해 불가항식(또는 불가항식)이라고 하는 경우가 있다. R의 계수 이 정의는 필드 전체에 걸쳐 비정수 다항식이 정확하게 비반복성과 비제로인 다항식이기 때문에 필드의 계수의 경우에 주어진 정의를 일반화한다.

또 다른 정의는 다항식이 R의 분수 분야(R이 정수인 경우 합리적인 수의 분야)에 걸쳐서 해석할 수 없는 경우 R에 대해 해석할 수 없다는 것을 말하며 자주 사용된다. 이 두 번째 정의는 이 글에서 사용되지 않는다.

인자의 성질

인자에 대한 명시적 대수적 표현이 없다는 것 자체가 다항식이 해석할 수 없다는 것을 의미하지는 않는다. 다항식이 인자로 환원될 수 있는 경우, 이러한 인자는 명시적인 대수적 표현식 또는 암시적 표현일 수 있다. For example, ${\displaystyle x^{2}+2}$ can be factored explicitly over the complex numbers as ${\displaystyle \left(x-{\sqrt {2}}i\right)\left(x+{\sqrt {2}}i\right);}$ however, the Abel–Ruffini theorem states that there are polynomials of any degree greater than 4 for which complex 명시적인 대수적 표현이 없는 요인들이 존재한다. 이러한 인자는 간단히 (${\displaystyle x}$- ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \left(x-x_{1}\right)$로 작성할 수 $있으며$, ${\displaystyle {여기}_{}}$서 x$$1 {\$displaystyle x_{$1}는 다항식을 0으로 설정하는 방정식의 특정 솔루션으로 암묵적으로 정의된다$$. 또한 (${\displaystyle x}$-${\displaystyle 1.2837}$…${\displaystyle }$)와 같은 루트 탐색 알고리즘을 통해 얻을 수 있는 수치 근사치로도 표현할 수 있다${\displaystyle .}$ ${\디스플레이$ 스타일 $\left(x-1.2837\ldots \right).$$}$

간단한 예

다음의 6개의 다항식은 환원 가능 및 환원 불가능 다항식의 몇 가지 기본적인 특성을 보여준다.

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{1}(x)&=x^{2}+4x+4\,={(x+2)(x+2)}\\p_{2}(x)&=x^{2}-4\,={(x-2)(x+2)}\\p_{3}(x)&=9x^{2}-3\,=3\left(3x^{2}-1\right)\,=3\left(x{\sqrt {3}}-1\right)\left(x{\sqrt {3}}+1\right)\\p_{4}(x)&=x^{2}-{\frac {4}{9}}\,=\left(x-{\frac {2}{3}}\right)\left(x+{\frac {2}{3}}\right)\\p_{5}(x)&=x^{2}-2\,=\left(x-{\sqrt {2}}\right)\left(x+{\sqrt{2}}\오른쪽)\\p_{6}(x)&=x^{2}+1\,={(x-i)(x+i)}\end{aigned}}}}}}}$

정수에 걸쳐, 처음 세 개의 다항식은 환원할 수 있다(인자 3은 정수에 반전할 수 없기 때문에 세 번째 다항식은 환원할 수 있다). 마지막 두 개는 환원할 수 없다. (물론 넷째는 정수에 대한 다항식은 아니다.)

합리적 숫자에 비해 처음 두 개와 네 번째 다항식은 환원할 수 있지만, 나머지 세 개의 다항식은 환원할 수 없다(합리적인 것에 대한 다항식으로서 3은 하나의 단위로서, 따라서 인자로 계산되지 않는다).

실수에 비해 처음 5개의 다항식은 환원할 수 있지만, ${\displaystyle {p\mathrm{}}_{}}$ 6${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle }$x ) ${\displaystyle p_{6}(x)}$은(는) 환원할 수 없다.

복잡한 숫자에 걸쳐서, 6개의 다항식 모두 축소할 수 있다.

복잡한 숫자에 걸쳐서

복잡한 분야, 그리고 더 일반적으로는 대수적으로 닫힌 분야보다 단변 다항식은 그 학위가 하나일 경우에만 재확보할 수 없다. 이 사실은 복잡한 숫자의 경우 대수학의 근본적인 정리로 알려져 있으며, 일반적으로 대수적으로 닫히는 조건으로 알려져 있다.

따라서 모든 비정규적 일변량 다항식은 다음과 같이 간주될 수 있다.

${\displaystyle a\좌측(x-z_{1}\우측)\cdots \좌측(x-z_{n}\우측)}$

여기서 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이(가) 도이고$,$ {\$displaystyle a}$이(가) 선행 계수이고$$, ${\displaystyle {}_{}}$ 1${\displaystyle }$,${\displaystyle }$z ${\displaystyle n_{}}$ ${\$은 다항식의 0이다$$(꼭 구별되는 것은 아니며, 반드시 명시적인 대수적 표현식을 갖는 것도 아님).

복잡한 숫자에 대한 모든 도에 대한 수정 불가능한 다변량 다항식이 있다. 예를 들어, 다항식

${\displaystyle x^{n}+y^{n1}-1,}$

Fermat 곡선을 정의하는 모든 양의 n에 대해 수정할 수 없다.

오버 더 리얼스

현실의 분야에서, 수정 불가능한 일변량 다항식의 정도는 하나 또는 둘 중 하나이다. 더 정확히 말하면, unreducable polyomials는 도 1의 다항식이고, 2차 다항식은 ${\displaystyle {음}^{}}$의${\displaystyle {}^{}\mathrm{판별}}$ b${\displaystyle }$2$$-${\displaystyle {}^{}4}$ ${\displaystyle a}$ .${\displaystyle ax^{2$$}+bx$$+c$$}$이다$.$$}$ 모든 비정규적 일변량 다항식은 기껏해야 2도 정도의 다항식의 산물로 간주될 수 있다는 점에$$ 따른다. For example, ${\displaystyle x^{4}+1}$ factors over the real numbers as ${\displaystyle \left(x^{2}+{\sqrt {2}}x+1\right)\left(x^{2}-{\sqrt {2}}x+1\right),}$ and it cannot be factored further, as both factors have a negative discriminant: ${\displaystyle \left(\pm {\sqrt{$$2}}\오른쪽)^{2}-4=-2<0.$$}$

고유 인자화 속성

필드 F에 대한 모든 다항식은 0이 아닌 상수와 제한된 수의 (F 이상) 다항식으로 인수될 수 있다. 이 분해는 1인 0이 아닌 상수에 의한 인자의 순서와 곱셈에 따라 고유하다.

고유한 요인화 영역에 걸쳐 동일한 정리가 사실이지만 원시 다항식의 개념을 사용하여 보다 정확하게 공식화된다. 원시 다항식은 고유한 요인화 영역에 대한 다항식이며, 1은 계수의 가장 큰 공통점이다.

F를 고유한 요인화 도메인으로 합시다. F에 대한 일정하지 않은 다항식은 원시적이다. F에 대한 원시 다항식은 F의 분수 영역에 대해 수정할 수 없는 경우에만 F에 대해 다시 설명할 수 없다. F를 초과하는 모든 다항식은 0이 아닌 상수와 일정하지 않은 원시 다항식의 유한 개수의 산물로 분해될 수 있다. 0이 아닌 상수는 그 자체가 F의 단위와 F의 한정된 숫자의 불가해한 요소의 산물로 분해될 수 있다. 두 인자 모두 인자의 순서와 F의 단위에 의한 인자의 곱셈에 따라 고유하다.

이것은 고유한 요인화 영역에 대한 수정 불가능한 다항식의 정의가 종종 다항식이 비정수적이라고 가정하는 동기를 부여하는 이 정리다.

정수와 합리적 숫자에 걸쳐 다항식을 인수하기 위해 현재 구현된 모든 알고리즘은 이 결과를 사용한다(다항식의 인자화 참조).

정수 및 유한 필드 상공

정수 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\$$mathb {Z}$에 대한 다항식의 비reducibility는 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ p$}$ 요소의$$$$ $F{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 필드 위에 있는 다항식($primary{\displaystyle }$ p ${\displaystystyle$ p$})$과 관련이 있다$$. 특히 $일부{\displaystyle \mathbb{}}$ p ${\$ 위에 있는 일변량 다항식 f가 f의 선행 계수(변수의 최고 출력의 계수)를 나누지 않는$$ $일부$ $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ p}에 대해 F p ${\$displaystytle \mathb ${F}$ $_$${p$}_{p$}$에 대해 해석할 수 없는 경우$$, F는 $Z$에 대해 해석할 수 없다$.$$displaystyle \mathb {Z$ 에이젠슈타인의 기준은 p ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$에 대한 재확인이 불가능한 이 속성의 변형이다$$.

그러나 그 반대는 사실이 아니다: 임의적으로 큰 정도의 다항식이 있는데, 그 다항식은 정수에 걸쳐서 해석할 수 없고 모든 한정된 분야에 걸쳐서 축소할 수 있다.^[3] 이러한 다항식의 간단한 예는 $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$+ 1${\displaystyle$ x$^{4}+1이다.$$}$

정수에 대한 무적합성과 무적합성 modulo p 사이의 관계는 이전 결과보다 더 깊다: 현재까지 정수에 대한 인자와 무적합성에 대한 모든 구현 알고리즘은 한정된 필드에 대한 인자를 서브루틴으로 사용한다.

q $prime$ ${\displaystyle {}_{}}$에$$대한 필드 F q {\$displaystyle \mathb${F} _{$q}$에 대한 n irreducable monic 다항식의 개수는 다음과 같다^[4].

${\displaystyle N(q,n)={\frac {1}{n}\sum _{d\mid n}\mu(d)q^{\frac {n},}$

여기서 μ는 뫼비우스 함수다. q = 2의 경우, 그러한 다항식들은 유사 항문 이진 시퀀스를 생성하는 데 일반적으로 사용된다.

어떤 의미에서는 계수가 0이거나 1인 거의 모든 다항식은 정수에 걸쳐서 해석할 수 없다. 더 정확히 말하면, 디데킨드 제타 함수에 대한 리만 가설의 버전을 가정할 경우, {0, 1}에서 무작위 계수를 갖는 다항식의 정수에 대해 설명할 수 없는 확률은 정도가 증가할 때 1이 되는 경향이 있다.^[5][6]

알고리즘

다항식의 고유한 인자화 속성은 주어진 다항식의 인자화가 항상 계산될 수 있다는 것을 의미하지는 않는다. 다항식의 재확정성조차 계산에 의해 항상 증명되는 것은 아니다: 임의 다항식의 재확정성을 결정하기 위한 알고리즘이 존재할 수 없는 분야가 있다.^[7]

다항식 인수와 불분명한 결정을 위한 알고리즘은 이 분야의 정수, 합리적 수, 유한장 및 정밀하게 생성된 필드 확장에 대한 컴퓨터 대수 시스템에 알려져 구현된다. 이 모든 알고리즘은 유한한 분야에 걸친 다항식의 인자화를 위한 알고리즘을 사용한다.

필드 익스텐션

해석할 수 없는 다항식 및 대수장 확장의 개념은 다음과 같은 방식으로 강하게 관련되어 있다.

x는 필드 K의 확장 L의 요소가 되도록 한다. 이 원소는 K에 계수가 있는 다항식의 뿌리라면 대수학이라고 한다. x가 루트인 다항식 중에서 정확히 x의 최소 다항식이라고 불리는 단항식 및 최소 정도의 다항식이 있다. L의 대수적 요소 x의 최소 다항식(minimum polyomial)은 unreduccessible이며, x가 루트인 유일무이한 다항식이다. x의 최소 다항식은 x가 있는 모든 다항식을 루트로 나눈다(이것이 아벨의 불가역성 정리다).

Conversely, if ${\displaystyle P(X)\in K[X]}$ is a univariate polynomial over a field K, let ${\displaystyle L=K[X]/P(X)}$ be the quotient ring of the polynomial ring ${\displaystyle K[X]}$ by the ideal generated by P. 그렇다면 L은 P가 K에 대해 해독할 수 없는 경우에만 밭이다. 이 경우 x가 L에서 X의 이미지인 경우 x의 최소 다항식은 선행 계수에 의한 P의 몫이다.

$위$의 예는 C${\displaystyle }$= ${\displaystyle R\mathbb{}}$[ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle ]}$/${\displaystyle }$( ${\displaystyle {X\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$+ 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \mathb {C} =\mathb {R}[X]\;/\왼쪽(X^{2}+1\$오른쪽)으로 복잡한 숫자의 표준 정의다$.$$}$

다항식 P가 1도보다 큰 K에 대한 수정 불가능한 요인 Q를 갖는 경우, P가 K에 비해 최소한 하나의 루트를 더 갖는 확장을 얻기 위해 대수적 확장의 선행구축 Q에 적용할 수 있다. 이 구조를 반복하면 결국 P 요인을 선형 인자로 만드는 분야가 생긴다. 장 이형성까지 독특한 이 분야를 P의 분열장이라고 한다.

통합 도메인 이상

R이 일체형 영역인 경우, 0도 아니고 단위도 아닌 R의 요소 f를 f = gh를 가진 비 유니트 g와 h가 없는 경우 unreducable이라고 한다. 사람들은 모든 주요 요소들이 되돌릴 수 없다는 것을 보여줄 수 있다;^[8] 그 반대는 일반적으로 사실이 아니라 독특한 요소화 영역을 가지고 있다. 필드 F(또는 모든 고유 요인화 도메인) 위에 있는 다항식 링 F[x]는 다시 고유한 요인화 도메인이다. 유도적으로, 이는 (R 링 위에) nindeterminates의 다항식 링이 R에 대해 동일한 경우 고유한 인수 영역임을 의미한다.

참고 항목

• 가우스 보조정리(폴리노말)
• 합리적인 뿌리 정리, 다항식이 합리적인 계수를 갖는 선형 인자를 가지는지 알아내는 방법
• 아이젠슈타인의 기준
• Perron의 재확정성 기준
• 힐베르트의 불가해성 정리
• 쿤의 불가해성 기준
• 위상학적 공간의 불가해한 구성요소
• 유한분야에 대한 다항식의 인자화
• 사분위 함수 § 환원 가능한 사분위수
• 입방 함수 § 인자화
• 3개의 진짜 뿌리가 있는 무수정 입방체 카수스 이레두시빌리스
• 2차 방정식 § 2차 인자화

메모들

참조

• 이 고전 책은 이 기사의 대부분의 내용을 다루고 있다Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556.
• Gallian, Joseph (2012), Contemporary Abstract Algebra (8th ed.), Cengage Learning, ISBN 978-1285402734
• Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997), Finite fields (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-39231-0, 페이지 91.
• Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999), Algebra (3rd ed.), American Mathematical Society, ISBN 9780821816462
• Menezes, Alfred J.; Van Oorschot, Paul C.; Vanstone, Scott A. (1997), Handbook of applied cryptography, CRC Press, ISBN 978-0-8493-8523-0, 페이지 154.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Irreducible Polynomial". MathWorld.
• PlanetMath의 Ireducible Polyomial.
• Prevident 및 Ireducible Polyomials, The (Combinatorial) Object Server에 대한 정보.